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向量的概念及运算知识点与例题讲解

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:31
tags:高中数学的知识点

普通高中数学新课程标准解读-段奎老师高中数学视频

2020年9月22日发(作者:程皓枫)



向量的概念及运算知识点与例题讲解
【基础知识回顾】

1.向量的概念
①向量
?
?
?
既有大小又有方向的量。 向量一般用
a,b,c
……来表示,或用有向线段的起点与终点的大写字母表示,如:
?
?
AB
几何表示法
AB

a
;坐标表示法
a?xi?yj?(x,y)
。向量的大小即向量的模(长度),记作|
AB
|即向 量
?
的大小,记作|
a
|。
向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小
②零向量
??
?
?
?
长度为0的向量,记为
0
,其方向是任意的,
0
与任意向 量平行零向量
a

0
?

a
|=0。由于
0
的方向
是任意的,且规定
0
平行于任何向量,故在有关向量平行(共线)的 问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条
件。(注意与0的区别)
③单位向量
模为1个单位长度的向量,向量
a
0
为单位向量
?

a0
|=1。
④平行向量(共线向量)
方向相同或相反的非零向量。任意一组平 行向量都可以移到同一直线上,方向相同或相反的向量,称为平行
??
?
?
向 量,记作
a

b
。由于向量可以进行任意的平移(即自由向量),平行向量总 可以平移到同一直线上,故平行向
量也称为共线向量。
数学中研究的向量是自由向量,只有大 小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量
中的“共线”与几何中的“共线”、 的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的
⑤相等向量
??
长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为
a?b
。大小 相等,方向相同
?
x
1
?x
2

(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)
?
?
y?y
2
?
1
2.向量的运算
(1)向量加法
求两个向量和的运算叫做向量的加法
?

AB?a,BC?b
,则
a
+
b
=
AB?BC
=
AC

规定:
C
b
A a
B
?
??
?
?
(1)
0?a?a?0?a

(2)向量加法满足交换律与结合律;
向量加法的“三角形法则”与“平行四边形法则” < br>(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角
线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。
(2) 三角形法则的特点是 “首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示



这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点
当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法则。
向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加:
AB?BC?CD?
尾相连”。
(2)向量的减法
??
①相反向量:与
a
长度相等、方向相反的 向量,叫做
a
的相反向量
?PQ?QR?AR
,但这时必须“首
? ????
?
?
?
记作
?a
,零向量的相反向量仍是零向量。 关于相反向量有: (i)
?(?a)
=
a
; (ii)
a+(
?a
)=(
?a
)+
a
=
0
;< br>??
???
?
?
?
?
(iii)若
a

b
是互为相反向量,则
a
=
?b
,
b
=
?a
,
a
+
b
=
0

②向量减法
?
??
?
向量
a
加上
b的相反向量叫做
a

b
的差,
?
?
?
?
记作:
a?b?a?(?b)
求两个向量差的运算,叫做向量的减法
?
?
?
??
?
③作图法:
a?b
可以表示为从
b
的终点指向
a
的终点的向量(
a

b
有共同起 点)。
(3)实数与向量的积
??
①实数λ与向量
a
的积是一个 向量,记作λ
a
,它的长度与方向规定如下:
(Ⅰ)
?
a?
?
?a

??
?
?
????
?
a?0
,(Ⅱ)当
?
?0
时,λa
的方向与
a
的方向相同;当
?
?0
时,λ
a
的方向与
a
的方向相反;当
?
?0
时,
方向是任意 的。
②数乘向量满足交换律、结合律与分配律
3.两个向量共线定理:
???
?
向量
b
与非零向量
a
共线
?
有且 只有一个实数
?
,使得
b
=
?
a

4.平面向量的基本定理
如果
e
1
,e
2
是一个 平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量
a
,有且只有一对实数
?1
,
?
2
使:
??
?
?????
a?
?
1
e
1
?
?
2
e
2
其 中不共线的向量
e
1
,e
2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
5.平面向量的坐标表示
(1)平面向量的坐标表示:在直角坐标系中,分别取与x轴、y轴 方向相同的两个单位向量
i,j
作为基底
由平面向量的基本定理知,该平面内的任一向 量
a
可表示成
a?xi?yj
,由于
a
与数对(x,y)是 一一对应的,因
此把(x,y)叫做向量
a
的坐标,记作
a
=(x, y),其中x叫作
a
在x轴上的坐标,y叫做在y轴上的坐标。
规定:
(1)相等的向量坐标相同,坐标相同的向量是相等的向量;
(2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关系。
(2)平面向量的坐标运算:
①若
a?
?
x
1
, y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?< br>,则
a?b?
?
x
1
?x
2
,y
1
?y
2
?

②若
A
?
x
1,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
,则
AB?
?
x
2
?x
1
,y
2
?y
1
?



③若
a
=(x,y),则
?
a
=(
?
x,
?
y);
④若
a?
?
x
1
,y
1
?
,b?
?
x
2
,y
2
?
,则
ab?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0

【思考·提示】
数学教材是学习数学基础知识、形成基本技能的“蓝本”,能力 是在知识传授和学习过程中得到培养和发展
的。新课程试卷中平面向量的有些问题与课本的例习题相同或 相似,虽然只是个别小题,但它对学习具有指导意
义,教学中重视教材的使用应有不可估量的作用。因此 ,学习阶段要在掌握教材的基础上把各个局部知识按照一
定的观点和方法组织成整体,形成知识体系。
学习本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处 理
向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离等。由于 向量是一
新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇 点
(1)向量的加法与减法是互逆运算;
(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件;
(3)向量平行与直线 平行有区别,直线平行不包括共线(即重合),而向量平行则包括共线(重合)的情况;
(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置有关系
【课前小测】
1.设平面向量
a?
?
3,5
?
, b?
?
?2,1
?
,则
a?2b?
( )

A.
?
7,3
?
B.
?
?7,?3
?
C.10 D.-10
2已知向量
a?
?
x,1
?
,b?
?
4,x
?
且ab
则的值为( )

A. 0 B. 2 C. 4 或-4 D. 2或-2
3已知点A(-1,0)、B( 1,3),向量
a?
?
2k?1,2
?
,若
AB?a
,则实数k的值为( )
A.-2 B.-1 C.1 D.2
4已知向量
a?
?
?3,4
?
,向量
a< br>与
b
方向相反,且
b?
?
a,b?1
,则实数
?
?


5.
已知直角梯形的顶点坐标分别为,则实数的值是
.

【典例解析】

题型1:平面向量的概念
例1.(1)给出下列命题:
①若|
a
|=|
b
|,则< br>a
=
b

②若A,B,C,D是不共线的四点,则
AB?D C
是四边形ABCD为平行四边形的充要条件;
③若
a
=
b

b
=
c
,则
a
=
c

④< br>a
=
b
的充要条件是|
a
|=|
b
|且a

b

⑤ 若
a

b

b< br>
c
,则
a

c

其中正确的序号是 。
(2)设
a
0
为单位向量,(1)若
a
为平面内的某个 向量,则
a
=|
a

a
0
;(2)若
a
与a
0
平行,则
a
=|
a

a
0

(3)若
a

a
0
平行且|
a
|=1,则
a
=
a
0
。上述命题中,假命题个数是( )



A.0 B.1 C.2 D.3
解析:(1)①不正确.两个向量的长度相等,但它们的方向不一定相同;
②正确;∵
AB?DC
,∴
|AB|?|DC|

ABDC

又 A,B,C,D是不共线的四点,∴ 四边形 ABCD为平行四边形;反之,若四边形ABCD为 平行四边形,
则,
ABDC

|AB|?|DC|

因此,
AB?DC

③正确;∵
a
=
b
,∴
a

b
的长度相等且方向相同;

b

c
,∴
b

c
的长度相等且方向相同,

a

c
的长度相等且方向相同,故
a

c

④不正 确;当
a

b
且方向相反时,即使|
a
|=|
b|,也不能得到
a
=
b
,故|
a
|=|
b|且
a

b
不是
a
=
b
的充要条
件,而是必要不充分条件;
⑤不正确;考虑
b
=
0
这种特殊情况;
综上所述,正确命题的序号是②③。
点评:本例主要复习向量的基本概念。向量的基本概念较多,因而 容易遗忘。为此,复习时一方面要构建良
好的知识结构,另一方面要善于与物理中、生活中的模型进行类 比和联想。
(2)向量是既有大小又有方向的量,
a
与|
a
|a
0
模相同,但方向不一定相同,故(1)是假命题;若
a

a
0
平行,则
a

a
0
方向有两种情况:一是同向二 是反向,反向时
a
=-|
a
|
a
0
,故(2)、( 3)也是假命题。综上所
述,答案选D。
点评:向量的概念较多,且容易混淆,故在学习中要 分清,理解各概念的实质,注意区分共线向量、平行向
量、同向向量等概念。
题型2:平面向量的运算法则
例2.如图所示,在平行四边形ABCD中,下列结论中错误的是(C )
A.
AB?DC
B.
AD?AB?AC
C.
AB?AD?BD
D.
AD?CB
=0
变式1.如图所示,D是△ABC的边AB上的中点,则向量等于 ( A)

A.
?BC?
111
BA
B.
?BC?BA
C.
BC?BA
D.
222
BC?
1
BA

2

2.下列各命题中,真命题的个数为 (D )
①若|a|=|b|,则a=b或a=-b;
②若
AB?DC
,则A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点;
③若a=b,b=c,则a=c;
④若a∥b,b∥c,则a∥c.
A.4 B.3 C.2 D.1




3.在四边形ABCD中,
AB
=a+2b,
BC
=-4a-b,
CD
=-5a-3b,其中a,b不共线,则四边形ABCD为(A)
A.梯形 B.平行四边形
C.菱形 D.矩形
4.在△ABC中,D、E分别为BC、AC边上的中点,G为BE上一点,且GB=2GE,设
AB
=a,
AC
=b,试用a、
b表示
AD
,
AG
, .













5.设P是△ABC所在平面内的一点,
BC?BA?2BP
,则 ( B)
A.
PA?PB?
0
B.
PC?PA?
0
C.
PB?PC?
0
D.
PA?PB?PC?
0

6.已知向量
a?(1,3)

b?(?2,0)
,则|
a?b
|=__________________ ___.
【答案】2
【解析】由
a?b?(?1,3),?|a?b|?1?3?2.

2
(x,1)
。。已知平面向量a= ,b=, 则向量
a?b
( )
(-x,x)
A平行于
x

C.平行于
y

答案 C
解析
a? b
?(0,?1x
2
,由
)
1?x
2
?0
及向量的性质可知,C正确.
题型3:平面向量的坐标及运算
B.平行于第一、三象限的角平分线
D.平行于第二、四象限的角平分线



例5.已知
?ABC
中,A(2,-1),B(3,2), C(-3,1),BC边上的高为AD,求
AD

解析:设D(x,y),则
AD?
?
x?2,y?1
?
,BD?
?
x?3,y?2< br>?
,BC?
?
?b,?3
?


AD?BC,BD?BC

?
?6
?
x?2?
?3
?
y?1
?
?0
?
x?1
得< br>?

?
?
?
?3
?
x?3
?
?6
?
y?2
?
?0
?
y?1
所以
AD ?
?
?1,2
?

例6.已知点
A(4,0),B(4, 4),C(2,6)
,试用向量方法求直线
AC

OB

O
为坐标原点)交点
P
的坐标。
解析:设
P(x,y)
,则
OP?(x,y),AP?(x?4,y)

因为
P

AC

OB
的交点,所以
P
在直线
AC
上,也在直线< br>OB
上。
即得
OPOB,APAC
,由点
A(4,0),B (4,4),C(2,6)
得,
AC?(?2,6),OB?(4,4)

得方程组
?
?
6(x?4)?2y?0
?
x?3
,解之得< br>?

?
4x?4y?0
?
y?3
故直线
A C

OB
的交点
P
的坐标为
(3,3)

题型4:平面向量的性质
例7.平面内给定三个向量
a?
?
3,2
?
,b?
?
?1,2
?
,c?
?
4,1< br>?
,回答下列问题:
(1)求满足
a?mb?nc
的实数m,n;
(2)若
?
a?kc
?
2b?a
,求实数k;
( 3)若
d
满足
d?ca?b
,且
d?c?5
,求
d

??
????
5
?
m?
?
?
?m?4n?3
9
。 解析:(1)由题意得
?
3,2
?
? m
?
?1,2
?
?n
?
4,1
?
,所以< br>?
,得
?
8
?
2m?n?2
?
n?
9
?
(2)
a?kc?
?
3?4k,2?k
?
,2 b?a?
?
?5,2
?

?2?
?
3?4k?
?
?
?5
??
2?k
?
?0,?k??16

13
(3)
d?c?
?
x?4,y?1
?
,a?b?
?
2,4
?

由题意得
?
?
4
?
x?4
?
?2
?
y?1
?
?0
?
x?3
?
x?5
,得或
?

?< br>22
?
?
x?4
?
?
?
y?1
?< br>?5
?
y??1
?
y?3
?
?
例8.已知< br>a?(1,0),b?(2,1).

?
?
(1)求
|a?3b|

?
?
?< br>?
(2)当
k
为何实数时,
k
a?
b
a?3b
平行, 平行时它们是同向还是反向?


?
?
解 析:(1)因为
a?(1,0),b?(2,1).

所以
a?3b?(7,3)


|a?3b|?7
2
?3
2
?58


?
?
?
?
(2)
k
a?
b
?(k ?2,?1)

a?3b
?(7,3)

?
1
?< br>?
?
因为
k
a?
b

a?3b
平行 ,所以
3(k?2)?7?0
即得
k??

3
???7
?
?
???
a?
k
?(k?2,?1)?(?,?1 )
b
此时,
a?3b
?(7,3)
,则
a?3b
? ?3(ka?b)
,即此时向量
a?3b

3
ka?b
方向 相反。
点评:上面两个例子重点解析了平面向量的性质在坐标运算中的体现,重点掌握平面向量的共线 的判定以及
平面向量模的计算方法。
题型5:共线向量定理及平面向量基本定理
例 9.(2009北京卷文)已知向量
a?(1,0),b?(0,1),c?ka?b(k?R),d? a?b
,如果
cd

那么 ( )
A.
k?1

c

d
同向 B.
k?1

c

d
反向
C.
k??1

c

d
同向 D.
k??1

c

d
反向
答案 D
解析 本题主要考查向量的共线(平行)、向量的加减法. 属于基础知识、基本运算考查.
∵a
?
?
1,0
?
,b
?
?
0,1?
,若
k?1
,则c
?
a
?
b
??
1,1
?
,d
?
a
?
b
?
?
1,?1
?

显然,a与b不平行,排除A、B.

k??1
,则c
?
?
a
?
b
?
?
?1,1
?
,d
?
?
a
?
b
? ?
?
?1,1
?

即c

d且c与d反向,排除C,故选D.

点评:熟练运用向量的 加法、减法、实数与向量的积的坐标运算法则进行运算;两个向量平行的坐标表示;
运用向量的坐标表示 ,使向量的运算完全代数化,将数与形有机的结合。
题型6:平面向量综合问题
例10.(2009上海卷文) 已知ΔABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c,设向量
m?(a,b)


n?(sinB,sinA)

p?(b?2,a?2)
.
(1) 若
m

n
,求证:ΔABC为等腰三角形;
(2) 若
m

p
,边长c = 2,角C =
?
,求ΔABC的面积 .
3
uvv
证明:(1)
Qmn,?asinA?bsinB,

ab
?b?
,其中R是三角形ABC外接圆半径,
a?b

??ABC
为等腰三角形
2R2R
uvuv
解(2)由题意可知< br>mp?0,即a(b?2)?b(a?2)?0


a?



?a?b?ab

由余弦定理可知,
4?a
2
?b
2
?ab?(a?b)< br>2
?3ab

即(ab)
2
?3ab?4?0

?ab?4(舍去ab??1)

11
?
absinC??4?sin?3

223
【随堂巩固】

?S?
1
(2009
湖南卷
)
对于非0向量时a,b,“ab”的正确是 ( )
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
2

05
年山东卷)已知向量,且,,则一定共线的三点是

A
.
A

B

D B
.
A

B

C C
.
B

C

D D
.
A

C

D
3
(04年浙江卷文)已知向量
A
.
B
.
C
.
D
.

,,且
且∥,则
=
4

05
年广东卷)已知向量,则 .

【课后巩固】

1.
.已知点
M

6

2
)和
M
2

0

8

.
直线
y=mx

7
与线段
M
1M
2
的交点
M
分有向线段
M
1
M
2< br>的比为
1

1
,则
m
的值为





A

B

C

D

4
,向量=(,
3
),且
,
则=
( )
2.
(06年全国卷Ⅱ文)已知向量=(
4

2
)< br>A

9 B

6 C

5 D

3
3.

05
年全国卷

)已知向量
4.
(08年江苏 卷)的夹角为,
,,
,则
,且
A

B

C
三点共线,则






5.
(2009湖南卷文)(每小题满分12分)
已 知向量
a?(sin
?
,cos
?
?2sin
?
) ,b?(1,2).

(Ⅰ)若
ab
,求
tan
?
的值;
(Ⅱ)若|a|?|b|,0?
?
?
?
,

?
的值。
答案:
【课前小测】



1.A 2.D 3.B 4.-15 5.-1或1
【随堂巩固】
1
A
2.
A


3.
A
4.
4
【课后巩固】

1

D

2.

B

3.


4.

7

5.
解析:(Ⅰ) 因为
ab
,所以
2sin
?
?cos
?
?2sin
?
,< br>
于是
4sin
?
?cos
?
,故
tan< br>?
?
1
.

4
(Ⅱ)由
|a|?|b|知,
sin
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