二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 高考数学知识点总结 高考数学真题复习

§7.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规
划问题
2014高考会这样考 1.考查二元一次不等式组表示的区域面积和目标函数最值(或取值范
围)；2.考查约束条件、目标函数中的参变量的取值范围；3.利用线性规划方法设计解决实际
问题的 最优方案．
复习备考要这样做 1.掌握确定平面区域的方法(线定界、点定域)；2.理解目标函数 的几何
意义，掌握解决线性规划问题的方法(图解法)，注意线性规划问题与其他知识的综合．


1． 二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地，二元一次不等式 Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0
某一侧所有点组成的平面区域．我 们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我
们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的 平面区域时，此区域应包括边界直线，
则把边界直线画成实线．
(2)由于对直线Ax＋By ＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C
所得到实数的符号都相 同，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x
0
，y
0
)，由Ax
0
＋
By
0
＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示直线Ax＋By＋ C＝0哪一侧的平面区域．
2． 线性规划相关概念
名称
约束条件
线性约束条件
意义
由变量x，y组成的一次不等式
由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数
线性目标函数
可行解
可行域
最优解
线性规划问题
3. 应用
欲求最大值或最小值的函数
关于x，y的一次解析式
满足线性约束条件的解
所有可行解组成的集合
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题
利用线性规划求最值，一般用图解法求解，其步骤是：
(1)在平面直角坐标系内作出可行域．
(2)考虑目标函数的几何意义，将目标函数进行变形．
(3)确定最优解：在可行域内平行移动目标函数变形后的直线，从而确定最优解．
(4)求最值：将最优解代入目标函数即可求出最大值或最小值.
[难点正本 疑点清源]
1． 确定二元一次不等式表示平面区域的方法与技巧
确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．
2． 求二元一次函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线的斜截式：y＝
azzz
－
x＋
，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值．要注意：当b>0时， 截距取最
bbbb
zz
大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b <0时，截距取最大值时，
bb
z
z取最小值；截距
取最小值时，z取最大值 ．
b

1． 若点(1,3)和(－4，－2)在直线2x＋y＋m＝0的两侧，则m的取值范围是__________．
答案 －5

解析 由题意可得(2×1＋3＋m)[2×(－4)－2＋m]<0，
即(m＋5)(m－10)<0，∴－52． 如图所示的平面区域(阴影部分)满足不等式____________．

答案 x＋y－1>0
xy
解析 平面区域的边界线方程为
＋＝1，
11
即x＋y－1＝0.所以平面区域满足不等式是
x＋y－1>0.
3． 完成一项装修工程需要木工和瓦工共同完成．请木工需付工资每人50元，请瓦工需付工
资每人40元，现有工人工资预算2 000元，设木工x人，瓦工y人，则请工人的约束条
件是________________．
50x＋40y≤2 000
?
?
*
答案
?
x∈N
?
?
y∈N
*


x－y≥－1，
?
?
x＋y≤3，
4． (2012·课标全国)设 x，y满足约束条件
?
x≥0，
?
?
y≥0，
______ __．
答案 [－3,3]

则z＝x－2y的取值范围为
解析 作出不等式组的可行域，如图阴影部分所示，

作直线x－2y＝0，并向左 上，右下平移，当直线过点A时，z＝x－2y取最大值；当直线
过点B时，z＝x－2y取最小值．
??
?
x－y＋1＝0，
?
y＝0，
由
?
得B(1,2)，由
?
得A(3,0)．
?
x＋y－3＝0
?x＋y－3＝0
??
∴z
max
＝3－2×0＝3，z
min< br>＝1－2×2＝－3，∴z∈[－3,3]．
5． (2012·四川)某公司生产甲、乙两种 桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A原料1千克、
B原料2千克；生产乙产品1桶需耗A原料2千克， B原料1千克．每桶甲产品的利润
是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的 计划中，要求每天消
耗A、B原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种 产品
中，公司共可获得的最大利润是
A．1 800 元
C．2 800 元
答案 C
解析 设生产甲产品x桶，乙产品y桶，每天利润为z元，






( )

B．2 400 元
D．3 100 元
?
?
2x＋y≤12，
则
?
x≥0，
?
?
y≥0，
x＋2y≤12，
z＝300x＋400y.

作出可行域，如图阴影部分所示．
作直线300x＋400y＝0，向右上平移，过点A时，
z＝300x＋400y取最大值，
??
?
x＋2y＝12，
?< br>x＝4，
由
?
得
?

??
?
2x＋y＝12
?
y＝4，
∴A(4,4)，
∴z
max
＝300×4＋400×4＝2 800.


题型一 二元一次不等式(组)表示的平面区域
x≥0，
?
?
例1 若不等式组
?
x＋3y≥4，
?
?
3x＋y≤4
分，则k的 值是
7
A.
3



4
所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积相等的两部
3









3
D.
4
( )
3
B.
7
4
C.
3
44
0，
?
在已知的平面区域内，直线系过定点
?
0，
?
，
思维启迪：画出平面区域，显然点
?
?
3
??
3
?
结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
答案 A
解析 不等式组表示的平面区域如图所示．

4
44
0，
?
.因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx＋
能平分平面由于直线y＝kx ＋过定点
?
?
3
?
33
区域．
15
?< br>因为A(1,1)，B(0,4)，所以AB中点D
?
?
2
，
2
?
.
15
?
45k4
，
时，＝＋， 当y＝k x＋过点
?
?
22
?
3223
7
所以k＝
.
3
探究提高 不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域点集的交集，画出< br>图形后，面积关系可结合平面知识探求．
0≤x≤2，
?
?
已知关 于x，y的不等式组
?
x＋y－2≥0，
?
?
kx－y＋2≥0则k的值为
A．1









所表示的平面区域的面积为4，
( )
B．－3
D．0 C．1或－3
答案 A
解析 其中平面区域kx－y＋2≥0是含有坐标原点的半平面．直线kx
－y＋2＝0又过定点(0,2)，这样就可以根据平面区域的面积为4，确定
一个封闭的区域，作出平面区域即可求解．
平面区域如图所示，根据平面区域面积为4，得A(2,4)，代入直线方程，

得k＝1.
题型二 求线性目标函数的最值
7x－5y－23≤0
?
?
例2 已知x，y满足条件
?
x ＋7y－11≤0
?
?
4x＋y＋10≥0

，求4x－3y的最大值和最小值．
思维启迪：目标函数z＝4x－3y是直线形式，可通过平行移动，求最值．
7x－5y－23≤0
?
?
解 不等式组
?
x＋7y－11≤0
?
?
4x＋y＋10≥0

表示的区域如图所示．

可观察出4x－3y在A点取到最大值，在B点取到最小值．
解方程组
?
?
7x－5y－23＝0
，
?
?
4x＋y＋1 0＝0
?
?
?
x＝－1
得
?
，
?
?
y＝－6
则A(－1，－6)．


??< br>?
x＋7y－11＝0
?
x＝－3
解方程组
?
，得< br>?
.
?
4x＋y＋10＝0
?
??
y＝2
则B(－3,2)，因此4x－3y的最大值和最小值分别为14，－18.

探究提高 (1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处
取得．
(2 )求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线
的纵截距的关系．
(2011·广东)已知平面直角坐标系xOy上的区域D由不等式组
?
0≤x≤< br>?
y≤2，
?
x≤2y
2，

→→
给定．若 M(x，y)为D上的动点，点A的坐标为(2，1)，则z＝OM·OA
的最大值为
A．3
答案 B







( )
B．4 C．32 D．42
解析 由线性约束条件
0≤x≤
?
?
?
y≤2，
?
?
x≤2y
2，



→→
画出可行域 如图阴影部分所示，目标函数z＝OM
·OA
＝2x＋y，将其化为y＝－2x＋z，
结合图形可知，目标函数的图象过点(2，2)时，z最大，将点(2，2)的坐标代入z＝2
x＋y得 z的最大值为4.
题型三 线性规划的简单应用
例3 某公司计划在甲、乙两个电视台做总 时间不超过300分钟的广告，广告总费用不超过
9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元 分钟和200元分钟．假定甲、乙

两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来 的收益分别为0.3万元和0.2万
元．问该公司如何分配在甲、乙两个电视台的广告时间，才能使公司 的收益最大，最大
收益是多少万元？
思维启迪：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示 变量，找出各量的关系列出约
束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解 设公司在甲电视台和乙电视台做广告的时间分别为x分钟和y分钟，总收益为z元，
由题意得
x＋y≤300，
?
?
?
500x＋200y≤90 000，
?
?
x≥0，y≥0.


目标函数为z＝3 000x＋2 000y.
二元一次不等式组等价于
x＋y≤300，
?
?
?
5x＋2y≤900，
?
?
x≥0，y≥0.

作出二元一次不等式组所表示的平面区域，
即可行域，如图：
作直线l：3 000x＋2 000y＝0，
即3x＋2y＝0.
平移直线l，从图中可知，当直线l过M点时，目标函数取得最大值．
?
?
x＋y＝300，
联立
?

?
5x＋2y＝900.
?
解得x＝100，y＝200.

∴点M的坐标为(100,200)，
∴z
max
＝3 000x＋2 000y＝700 000(元)．
即该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视 台做200分钟广告，公司的收益最大，
最大收益是70万元．
探究提高 解线性规划应用问 题的一般步骤是：(1)分析题意，设出未知量；(2)列出线性
约束条件和目标函数；(3)作出可行 域并利用数形结合求解；(4)作答．
(1)(2012·江西)某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植 面积不超过50亩，投入资
金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表

黄瓜
韭菜
年产量亩
4吨
6吨
年种植成本亩
1.2万元
0.9万元
每吨售价
0.55万元
0.3万元
为使一年的种植总利润(总利润＝总销售收入－总种植成本)最大，那么黄瓜和韭 菜的种
植面积(单位：亩)分别为
A．50,0












( )
B．30,20
D．0,50 C．20,30
2x－y＋2≥ 0，
?
?
(2)如果点P在平面区域
?
x＋y－2≤0，
?
?
2y－1≥0
的最小值为
3
A.
2














B.


上，点Q在曲线x
2
＋(y＋2)
2
＝1上，那么|PQ|
( )
4
－1
5
C．22－1
答案 (1)B (2)A
D.2－1

x＋y≤50，
?
?
解析 (1)设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
?
1.2x＋0.9y≤54，
?< br>?
x，y∈N
，
＋

求目标函数
z＝x＋0.9y的最大值，根据题意画可行域如图阴影所示．

当目标函数线l向右平移，移至点A(30,20)处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植
30亩 ，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．

1
3
0，
?
， Q取点(0，－1)时，|PQ|有最小值为
. (2)如图，当P取点
?
?
2
?
2

利用线性规划思想求解非线性目标函数的最值

x－4y＋3≤0
?
?
典例：(14分)变量x、y满足
?
3x＋5y－25≤0
，
?
?
x≥1
y
(1)设z＝，求z的最小值；
x
(2)设z＝x
2
＋y
2
，求z的取值范围；
(3)设z＝x
2
＋y
2
＋6x－4y＋13，求z的取值范围．

审题视角 (x，y)是可行域内的点．(1)z＝
y－0
x－0
可以理解为点(x，y)与点(0,0)连线的斜
率．(2)x
2
＋y
2
可以理解为点(x，y)与点(0,0)连线距离的平方．(3)x
2
＋y
2
＋6x－4y＋13＝(x
＋3)
2
＋(y－2)
2可以理解为点(x，y)与(－3,2)的距离的平方．结合图形确定最值．
规范解答
?
x－4y＋3≤0
解 由约束条件
?
3x＋5y－25≤0
?
x≥1
?
?
x＝1
由
?
，
?
?
3x＋5y－25＝0
22
1，
?
.
解得A
?
5
??

，作出(x，y)的可行域如图所示．

?
?
x＝1
由
?
，解得C(1,1)．
?
x－4y＋3＝0
?
?
?
x－4y＋3＝0
由
?
，解得B(5,2)．[5分]
?
?
3x＋5y－25＝0
y< br>y－0
(1)∵z＝
＝
.
x
x－0
∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率．
2
观察图形可知z
min
＝k
OB
＝
.[8分]
5
(2)z＝x
2
＋y
2
的几何意义是可行域上的点到原点 O的距离的平方．结合图形可知，可行域
上的点到原点的距离中，
d
min
＝|OC|＝2，d
max
＝|OB|＝29.∴2≤z≤29.[11分]

(3)z＝x
2
＋y
2
＋6x－4y＋1 3＝(x＋3)
2
＋(y－2)
2
的几何意义是可行域上的点到点(－3,2 )的距
离的平方．结合图形可知，可行域上的点到(－3,2)的距离中，d
min
＝ 1－(－3)＝4，d
max
＝?－3－5?
2
＋?2－2?
2＝8.
∴16≤z≤64.[14分]
温馨提醒 (1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法．
(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义．
( 3)本题错误率较高．出错原因是，很多学生无从入手，缺乏数形结合的应用意识，不知
道从其几何意义 入手解题．

方法与技巧
1．平面区域的画法：线定界、点定域(注意实虚线)．
2．求最值：求二元一次函数z＝ax＋by (ab≠0)的最值，将函数z＝ax＋by转化为直线 的斜截
azz
式：y＝－
x＋
，通过求直线的截距的最值间接求出z的最值． 最优解在顶点或边界取
bbb
得．
3．解线性规划应用题，可先找出各变量之间的关 系，最好列成表格，然后用字母表示变量，
列出线性约束条件；写出要研究的函数，转化成线性规划问题 ．
失误与防范
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
zz
2．在通过求直线的截距
的最值间接求出z的最值时，要注意：当b>0时，截距 取最大值时，
bb
zz
z也取最大值；截距
取最小值时，z也取最小值；当b <0时，截距取最大值时，z取最小
bb

z
值；截距取最小值时，z取 最大值．
b

A组 专项基础训练
(时间：35分钟，满分：57分)
一、选择题(每小题5分，共20分)
1． 设A＝{(x，y)|x，y,1－x－y是三 角形的三边长}，则A所表示的平面区域(不含边界的阴
影部分)是 ( )


答案 A
x＋y>1－x－y，
?
?
解析 由已知得
?
x＋?1－x －y?>y，
?
?
y＋?1－x－y?>x，

?
?
1
即
?
y<
2
，
1
?
.
?x<
2
1
x＋y>
，
2


x≥0，
?
?
y≥0，
2． (2011·湖北)直线2x＋y－1 0＝0与不等式组
?
x－y≥－2，
?
?
4x＋3y≤20

表示的平面区域的公共点有
( )

A．0个
答案 B
解析 在坐标平面内画出直线2 x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域，易知直线与此
区域的公共点有1个．
x＋2y≥2，
?
?
3． (2012·山东)设变量x，y满足约束条件< br>?
2x＋y≤4，
?
?
4x－y≥－1，
是










B．1个 C．2个 D．无数个

则目标函数z＝3x－y的取值范围
( )
3
－，6
?
A.
?
?
2
?
C.
[
－1，6
]

答案 A
3
－，－1
?
B.
?
?
2
?
3
－6，
?
D.
?
2
??

解析 作出不等式组表示的可行域，如图阴影部分所示，作直线3x－y＝0，并向左上、
右下平移．

由图可得，当直线过点A时，z＝3x－y取最大值；当直线过点B时，z＝3x－y取最小值．
?
?
x＋2y－2＝0，
由
?
解得A(2,0)；
?
?
2x＋y－4＝0

?
?
4x －y＋1＝0，
1
?
，3
由
?
解得B
?
2
?
.
?
?
2x＋y－4＝0
?
13
∴z
max
＝3×2－0＝6，z
min
＝3×－3 ＝－
.
22
3
－，6
?
.
∴z＝3x－y的取值范围是
?
?
2
?
4． 某加工厂用某 原料由甲车间加工出A产品，由乙车间加工出B产品，甲车间加工一箱原
料需耗费工时10小时可加工出 7千克A产品，每千克A产品获利40元，乙车间加工一
箱原料需耗费工时6小时可加工出4千克B产品 ，每千克B产品获利50元．甲、乙两
车间每天共能完成至多70箱原料的加工，每天甲、乙两车间耗费 工时总和不得超过480
小时，甲、乙两车间每天总获利最大的生产计划为
A．甲车间加工原料10箱，乙车间加工原料60箱
B．甲车间加工原料15箱，乙车间加工原料55箱
C．甲车间加工原料18箱，乙车间加工原料50箱
D．甲车间加工原料40箱，乙车间加工原料30箱
答案 B
解析 设甲车间加工原料x箱，
乙车间加工原料y箱，
( )
x＋y≤70
?
?
则
?
10x＋6y≤480
?
?
x，y∈N


目标函数z＝280x＋200y，
结合图象可得：当x＝15，y＝55时，z最大．
二、填空题(每小题5分，共15分)

5． (2011·陕西)如图，点(x，y)在四边形ABCD内部和边界上运动，那 么2x－y的最小值为
________．
答案 1
解析 令b＝2x－y，则y＝2x－b，如图所示，作斜率为2的平行线
y＝2x－b，
当经过点 A时，直线在y轴上的截距最大，为－b，此时b＝2x－y取得最小值，为b＝2×1
－1＝1. < br>?
3≤2x＋y≤9，
?
?
?
6≤x－y≤9，
6． (2011·课标全国)若变量x，y满足约束条件
?
________．
答案 －6

则z＝x＋2y的最小值为
解析 作出不等式表示的可行域如图(阴影部分)．

易知直线z＝x＋2y过点B时，z有最小值．
??
?
x－y＝9，
?
x＝4，
由
?
得
?

??
?
2x＋y＝3
?
y＝－5.
所以z
min
＝4＋2×(－5)＝－6 .
7． 某企业生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产

每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨．销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙
产品可 获得利润3万元，该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超
过18吨，那么该企业 可获得的最大利润是________万元．
答案 27
解析 设生产甲产品
x
吨、乙产品
y
吨，
则获得的利润为
z
＝5
x
＋3
y
.
x≥ 0，
?
?
y≥0，
由题意得
?
3x＋y≤13，
?
?
2x＋3y≤18，
可行域如图阴影所示．
由图可知当x、y在A点取值 时，z取得最大值，此时x＝3，y＝4，z＝5×3＋3×4＝27(万
元)．
三、解答题(共22分)
8． (10分)画出2x－3

?
y>2x－3，
解 先将所给不等式转化为
?

?
y≤3.
而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，

?y>2x－3
即求
?
y≤3
?
x，y>0

的整数解．
?
y>2x－3
所给不等式等价于
?

?
y≤3.
依照二元一次不等式表示平面区域可得如图(1)．