高中不等式的基本知识点和练习题(含答案)

不等式的基本知识
（一）不等式与不等关系
1、应用不等式（组）表示不等关系；
不等式的主要性质：
(1)对称性：
a?b?b?a
(2)传递性：
a?b,b?c?a?c

(3)加法法则：
a?b?a?c ?b?c
；
a?b,c?d?a?c?b?d
(同向可加)
(4)乘法法则：
a?b,c?0?ac?bc
；
a?b,c?0?ac?bc

a?b?0,c?d?0?ac?bd
(同向同正可乘)
(5)倒数法则：
a?b,ab?0?
n
11
?
(6) 乘方法则：
a?b?0?a
n
?b
n
(n?N*且n?1)

ab
(7)开方法则：
a?b?0?a?
n
b(n?N*且n?1)

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小：作差法（作差——变形——判断符号——结论）
3、应用不等式性质证明不等式
（二）解不等式
1、一元二次不等式的解法 一元二次不等式
ax?bx?c?0或ax?bx?c?0
?
a?0
?< br>的解集：
22
设相应的一元二次方程
ax?bx?c?0
?
a?0
?
的两根为
x
1
、x
2
且x
1?x
2
，
??b?4ac
，则不等式的解的各种情况
2
2
如下表：
2、
简单的一元高次不等式的解法：
标根法：其步骤是：（1 ）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因
式的根标 在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿偶不穿；（3）根据曲线显现
f(x)
的符号变
化规律，写出不等式的解集。
如：
?
x?1
??< br>x?1
??
x?2
?
?0

23

3、分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每 一个
因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正 或恒为负时可去
分母。
f(x)
?0?f(x)g(x)?0;
g(x)< br>?
f(x)g(x)?0
f(x)

?0?
?
g(x )
?
g(x)?0
4、不等式的恒成立问题：常应用函数方程思想和“分离变量法”转 化为最值问题
若不等式
f
?
x
?
?A
在区间D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?
x
?< br>min
?A

若不等式
f
?
x
?
? B
在区间
D
上恒成立,则等价于在区间
D
上
f
?< br>x
?
max
?B

（三）线性规划
1、用二元一次不等式（组）表示平面区域
二元一次不等式
Ax
+
By
+
C
＞0在平面直角坐标系中表示直线
Ax
+
By+
C
=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示
区域不包括边界直线）
2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法
由于对在直线
Ax
+By
+
C
=0同一侧的所有点(
x,y
)，把它的坐标（
x,y
)代入
Ax
+
By
+
C
，所得到实数的符 号都相同，
所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（
x
0
,
y
0
)，从
Ax
0
+
By
0
+
C
的正负即可判断
Ax
+
By
+
C
＞0表示直线哪一侧的平面 区域.
（特殊地，当
C
≠0时，常把原点作为此特殊点）
3、线性规划的有关概念：
①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约 束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等
式，故又称线性约束条件．
②线性目标函数：
关于x、y的一次式z=ax+by是欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x、y的解析式，叫线性目标函数．
③线性规划问题：
一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题．
④可行解、可行域和最优解：
满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解．
由所有可行解组成的集合叫做可行域．
使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解．
4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：
（1）寻找线性约束条件，列出线性目标函数；
（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；
（3）依据线性目标函数作参照直线a
x
+b
y＝0，
在可行域内平移参照直线求目标函数的最优解
（四）基本不等式
ab?
a?b

2
1．若a,b∈R,则 a
2
+b
2
≥2ab,当且仅当a=b时取等号.
2．如果a,b是正数，那么
a?b
?ab(当且仅当a?b时取?号).

2
2
?
a?b
?
变形： 有:a+b≥
2ab
；ab≤
??
,当且仅当a=b时取等号.
2
??
3．如果a,b∈R+,a
·
b=P(定值),当且仅当a=b时,a+ b有最小值
2P
;
S
2
如果a,b∈R+,且a+b=S(定值),当且仅当a=b时,ab有最大值.
4
注：（1）当两个正数的积为定值时，可以求它们和的最小值，当两个正数的和为定值时，可 以求它们的积的最小值，
正所谓“积定和最小，和定积最大”．
（2）求最值的重要条件“一正，二定，三取等”

22
4.常用不等式有 ：（1）
a?b
?
a?b
?ab?
2
(
根据目标不 等式左右的运算结构选用) ；（2）
a
、
b
、
c
?
221
?
1
ab
bb?m
222
R，
a?b?c ?ab?bc?ca
（当且仅当
a?b?c
时，取等号）；（3）若
a?b? 0,m?0
，则
?
（糖水的
aa?m

浓度问题）。
不等式主要题型讲解
（一） 不等式与不等关系
题型二：比较大小（作差法、函数单调性、中间量比较，基本不等式）
1. 设
a?2
，
p?a?




（二） 解不等式
题型三：解不等式
2
1
，
q?2
?a?4a? 2
，试比较
p,q
的大小
a?2
解不等式
(x?1)(x?2)
2
?0
。 3 .

5?x
??1

x
2
?2x?3



2.
不等式
ax
2
?bx?12?0
的解集为{x|-1＜x＜2}，则
a
=_____, b=_______




3. 关于
x
的不等式
ax?b?0
的解集为
(1,??)
，则关于
x
的不等式


题型四：恒成立问题
ax?b
?0
的解集为
x?2
4.
关于x的不等式a x
2
+ a x+1＞0 恒成立，则a的取值范围是_____________


5. 若不等式
x
2
?2mx?2m?1?0
对
0?x?1
的所有实数
x< br>都成立，求
m
的取值范围.



6. 已知x?0,y?0
且
19
??1
，求使不等式
x?y?m
恒成立的实数
m
的取值范围。
xy



（三）基本不等式
ab?
a?b

2
题型五：求最值
7. 求下列函数的值域
（1）
y
＝3
x
2
＋

1
2
x
2

（2）当时，求
y?x(8?2x)
的最大值。

x
2
?7x?10
(x??1)
的值域。 8. （耐克函数型）求
y?
x?1






注意：在应用基本不等式求最值时，若遇等号取不到的情况，应结合函数
f(x)?x?
9. （用耐克函数单调性）求函数
y?


（1） 若实数满足
a?b?2
，则
3
a
?3
b
的最小值是 .
（2） 已知
x?0,y?0
，且


（3） 已知x，y为正实数，且



1
（4） 已知a，b为正实数，2b＋ab＋a＝30，求函数y＝ 的最小值.
ab



题型六：利用基本不等式证明不等式
10. 已知
a,b,c
为两两不相等的实数，求证：
a



11. 已知a、b、c
?R
，且
a?b?c?1
。求证：
?

?
a
的单调性。
x
x
2
?5
x?4
2
的值域。
19
??1
，求
x?y
的最小值。
xy
x
2
＋
y
2
＝1，求x1＋y
2
的最大值.
2
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca

?
1
??
1
??
1
?
?1
??< br>?1
??
?1
?
?8

a
???
b
??
c
?

（四）线性规划
题型八：目标函数求最值
?
2x?y?3?0
?
12. 满足不等式组
?
7x?y? 8?0
，求目标函数
k?3x?y
的最大值
?
x,y?0
?

?
x?0
?
?
3x?4y?4
?
y?0
22
x?y?2x
的最小值是
x,y
?
13. 已知满足约束条件： ,则


?
x?2y?3?0
?
14. 已知变量
x,y满足约束条件
?
x?3y?3?0.若目标函数
z?ax?y
（其中a>0）仅在点（3，0）处 取得最大值，
?
y?1?0
?
则a的取值范围为 。


?
y?1，
?
15. 已知实数
x，y
满足
?
y?2x?1，
如果目标函数
z?x?y
的最小值为
?1
，则实数
m
等于（ ）
?
x?y?m．
?


题型九：实际问题
某饼店制作的豆沙月饼每个成本35元，售
价50元；凤梨月饼每个成本20元，售价30元 。现在要将这两种月饼装成一盒，个数不超过10个，售价不超过
350元，问豆沙月饼与凤梨月饼各放 几个，可使利润最大？又利润最大为多少？




复习――不等式的基本知识参考答案

高中数学必修内容练习---不等式
1.
2.
3.
②③⑥⑦⑧；
p?q
；
当
0?x?1
或
x?
444
时，1+
log
x
3
＞
2log
x
2
；当
1?x?
时，1+
log
x
3
＜
2log
x
2
；当
x?< br>时，1+
log
x
3
＝
2log
x
2

333

4. ∵
a?b?1
∴
lga?0, lgb?0
Q?
1
（
lga?lgb)?lga?lgb?p

2
a?b1
R?lg()?lgab?lgab?Q
∴R>Q>P。
22
5.
6.
7.
8.
9.
{x|x?1
或
x??2}
；
；
(?1,1)U(2, 3)
）
不等式
ax
2
?bx?12?0
的解集为{x|-1 ＜x＜2}，则
a
=___-6____, b=__6_____
(??,?1)?(2,??)
）.
10. 解：当a＝0时，不等式的解集为
xx?1
； 2分
??
11
)(x－1)＜0；当a＜0时，原不等式等价于(x－)(x－1)＞0
a
a
1
??
不等式的解集为
?
xx?1或x??
； ......................................... ...................................... 6分
a
??
当a≠0时，a(x－
1
1
??
，不等式的解集为
?
x1?x?
?
； ............................................. 8分 < br>a
?
a
?
1
?
1
?
当a＞1时，＜ 1，不等式的解集为
?
x?x?1
?
； .................................................. 10分
a
?
a
?
当0＜a＜1时，1＜
当a＝1时，不等 式的解为φ． ........................................... ................................................. 12分
11. _____0≤x＜4________
12.
13.
m??
1
）
2
m?
?
??,16
?

1
≥2
2x
2
1
3x
2
·
2
＝6 ∴值域为[6 ，+∞）
2x
1
x· ＝2；
x
1
x· =－2
x
14. 解：（1）y＝3x
2
＋
1
（2）当x＞0时，y＝x＋ ≥2
x
11
当x＜0时， y＝x＋ = －（－ x－ ）≤－2
xx
∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞）
15. （1）解
Q x?
当且仅当
5?4x
5
11
??
,?5?4x?0
，
?y?4x?2???
?
5?4x?
?
?3
??2?3 ?1

4x?55?4x
4
??
?
1
，即
x?1
时，上式等号成立，故当
x?1
时，
y
max
?1< br>。
5?4x
（2）
当
16. 解析一：
，即x＝2时取等号 当x＝2时，
y?x(8?2x)
的最大值为8。

当,即时,
y?2（x?1)?
4
?5?9
（当且仅当x＝1时取“ ＝”号）。
x?1
解析二：本题看似无法运用基本不等式，可先换元，令t=x＋1，化简原 式在分离求最值。

(t?1)
2
?7(t?1）+10t
2
?5t?44
y?=?t??5

ttt
4
当,即t=时,
y?2t??5?9
（当t=2即x＝1时取“＝”号）。
t
17. 解： 令
2
x
2
?4?t(t?2)
，则
y?
x?5?x
2
?4?
x
2
?4
1
?t?(t?2)< br>
t
x
2
?4
1
1
1
?0,t?? 1
，但
t?
解得
t??1
不在区间
?
2,???
，故等号不成立，考虑单调性。
t
t
15
因为
y? t?
在区间
?
1,??
?
单调递增，所以在其子区间
?2,??
?
为单调递增函数，故
y?
。
t2
因
t
所以，所求函数的值域为
?
5
?
,??
?
。
?
2
??
18. （条件不等式）
（1）
当
3
a
解：
3
a
和3
b
都是正 数，
3
a
?3
b
≥
23
a
?3
b
?23
a?b
?6

?3
b
时等号成立，由
a?b?2
及
3
a
?3
b
得
a?b?1
即当
a?b?1
时，
3
a
?3
b
的最小值是6．
解：
Q
（2）
?
19
?
y9x
19x?0,y?0,??1
，
?x?y?
?
x?y
?
?< br>?
?
???10?6?10?16

xy
?
xy?
xy
当且仅当
19
y9x
?1
，可得
x?4 ,y?12
时，
?
x?y
?
min
?16

?
时，上式等号成立，又
?
xy
xy
解：x1＋y
2
＝x
1＋y
2
2· ＝2 x·
2
1y
2
＋
22
（3）
下面将x，
1y
2
＋ 分别看成两个因式：
22
x
2
＋(
1y
2
2
y
2
1
2
＋ )x＋ ＋
2222
3
＝ ＝ 即x1＋y
2
＝2 ·x
224
x·
1y
2
＋ ≤
22
1y
2
3
＋ ≤
224
2
（4）
30－2b30－2b－2 b
2
＋30b
解：法一：a＝ ， ab＝ ·b＝
b＋1b＋1b＋1
由a＞0得，0＜b＜15
－2t
2
＋34t－31
1616
令t＝b+1，1＜t＜16，ab＝ ＝－2（t＋ ）＋34∵t＋ ≥2
ttt
1
∴ ab≤18 ∴ y≥ 当且仅当t＝4，即b＝3，a＝6时，等号成立。
18
法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵ a＋2b≥22
ab
∴ 30－ab≥22
ab

2
令u＝
ab
则u＋22 u－30≤0， －52 ≤u≤32
1
∴
ab
≤32 ，ab≤18，∴y≥
18
19. 已知
t·
16
＝8 < br>t
a,b,c
为两两不相等的实数，求证：
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca

?
1
??
1
??
1
?
?1
??
?1
??
?1
?
?8

a
???
b
??
c
?
20. 正数a，b，c满足a＋b＋c＝1，求证：(1－a)(1－b)(1－c)≥8abc
21. 已 知a、b、c
?R
，且
a?b?c?1
。求证：
?
?

证明：
Q
a、b、c
?R
，
a?b?c?1
。
?
式两边均为正，分别相乘，得
?
11?ab?c2bc
?1 ???
aaaa
。同理
12ac
?1?
bb
，
12 ab
。上述三个不等
?1?
cc
1
?
1
??
1
??
1
?
2bc2ac2ab
。当且仅当
时取等号。
a?b?c?
?1?1?1?
gg
?8
??????
3abc
?
a
??
b
??
c
?
22. 解： 若设污水池长为x米，则宽为 （米） 水池外圈周壁长：
（米） 中间隔墙长：
（米）
池底面积：200（米
2
）
目标函数：
≥
23. 4
(?3,?
1
)
24.
2

25. 1
26.
(
1
2
,??)
。
27. 5
解：设一盒內放入x个豆沙月饼，y个凤梨月饼，利润为z元
则x，y必须满足，
目标函数为z＝15x＋10y

P