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椭圆的知识点方法总结

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:39
tags:高中数学的知识点

高中数学数列题-成都新东方高中数学名师

2020年9月22日发(作者:明光)


1.(1)定义:平面内与两个定点F
1
,F
2
的距离的和等 于常数(大于|F
1
F
2
|)的点的轨迹叫做椭
圆.这两个定点叫做 椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
注意当到两定点的距离之和等于|F
1
F
2
|时,动点的轨迹是线段F
1
F
2
;当到两定点的距 离
之和小于|F
1
F
2
|时,动点的轨迹不存在.
x2
y
2
(2)标准方程:中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆的标准方程为:< br>2
?
2
?1
(a>b>0);
ab
y
2x
2
中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆的标准方程为:
2
?
2
?1
(a>b>0).
ab
注意当焦点的位置不能确定时,椭圆方程可 设成Ax
2
+By
2
=1的形式,其中A,B是不
x
2y
2
相等的正常数,或设成
2
?
2
?1
(m
2
?n
2
)的形式.
mn
2.(1)椭圆的几何性 质:①与坐标系无关的椭圆本身固有的性质,如:长轴长、短轴长、焦
距、离心率等;②与坐标系有关的 性质,如:顶点坐标、焦点坐标等.
注意在解题时要特别注意第二类性质,先根据椭圆方程的形式判断 出椭圆的焦点在哪条
坐标轴上,再进行求解.
(2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质, 求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)有两种方
法:①求出
a,c
代入公式
e?
222
c
;②只需要根据一个条件得到关于
a,b,c
的齐次式 ,结
a
2

b=a-c
转化为
a,c
的齐次式,然 后等式(不等式)两边分别除以
a

a
转化为关于e
或e
2
的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范围).
3.(1)位置关系的判断
直线与椭圆方程联立方程组,消掉y,得到Ax
2
+Bx+C=0的形式(这里的系数A一定不为
0),设其判别式为Δ,
①Δ>0?直线与椭圆相交;②Δ=0?直线与椭圆相切;③Δ<0?直线与椭圆相离.
(2)弦长公式
①若直线y=kx+b与椭圆相交于两点A(x
1
,y1
),B(x
2
,y
2
),则
AB?1?k
| x
1
-x
2
|?
2
1?
1
|y
1
-y
2
|
.
2
k
2b
2
②焦点 弦(过焦点的弦):最短的焦点弦为通径长,最长为
2a
.
a
(3)中点弦的重要结论
x
2
y
2
AB为椭圆
2
?
2
?1
(a>b>0)的弦,A(x
1
,y< br>1
),B(x
2
,y
2
),弦中点M(x
0
,y
0
).
ab


b
2
x
0
①斜率:k=-
22
;②弦AB的斜率与弦中点M和椭圆中心O的连线的斜率之积为定
ay
0
b
2

?
2
.
a
4.求轨迹方程
(1)定义法:求轨迹方程时,若动点轨迹的条件满足圆、椭圆、 双曲线、抛物线的定义,则
可以直接根据定义求出动点的轨迹方程,这种求轨迹方程的方法叫做定义法.
①运用圆锥曲线的定义求轨迹方程,可从曲线定义出发直接写出方程,或从曲线定义出发建
立关 系式,从而求出方程;②定义法和待定系数法适用于已知轨迹是什么曲线,其方程是什
么形式的方程的情 况.利用条件把待定系数求出来,使问题得解.
(2)相关点法(代入法):若动点P(x,y)所满 足的条件不易表述或求出,但随另一动点
且动点Q的轨迹方程给定或容易求得,则可先将
x?, y?

Q(x?,y?)
的运动而有规律地运动,
示为x,y的式子,再代入 Q的轨迹方程,然后整理得点P的轨迹方程,这种求轨迹方程的
方法叫做相关点法,也称代入法. 用相关点法求轨迹方程的关键是寻求关系式:
x?=f(x,y),y?=g(x,y)
, 然后代入已知
曲线方程.求对称曲线(轴对称、中心对称等)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题 .
1.(1)求椭圆的方程多采用定义法和待定系数法,利用椭圆的定义定形状时,一定要注意常
2a?|F
1
F
2
|
这一条件.
(2)利 用定义求焦点三角形的周长和面积,解焦点三角形常利用椭圆的定义和正弦正理,常
用到结论有:(其中 ,
?
=?F
1
PF
2
)
①|
PF2a

1
|+PF
2

2
4c=PF
1
+PF
2
-2PF
1
?PF< br>2
cos
?

22
③当P为短轴端点时,θ最大.

S
?PF
1
F
2

1sin
?
PF
1
PF
2
sin
?
=?b
2
21?cos
?
?b
2
tan
?
2
?c?y< br>0
.

y
0
=?b
,即P为短轴端点时,
S
?PF
1
F
2
有最大值为bc.
⑤焦点三角形的周长为2(a+c).
2.椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆 几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使画不出图形,思考时也要联想到
一个图形.

< p>
(2)椭圆的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如
-a?x?a,-b?y?b,0 ?e?1

在求椭圆的相关量的范围时,要注意应用这些不等关系.
3.(1)解决 直线与椭圆的位置关系的相关问题,其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,
消元、化简,然后应用 根与系数的关系建立方程,解决相关问题.涉及弦中点的问题常常用
“点差法”解决,往往会更简单.
(2)代入法求轨迹方程的关键是寻找所求动点与已知动点间的等量关系.常涉及中点问题、
三 角形重心问题及向量相等或向量间关系等知识.

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