函数的基本性质知识点和典型例题

学生姓名： 年级： 班型：1对1
上课时间： （第 次课） 剩余课时：
上课内容：函数的基本性质

一、函数的单调性：
1、定义域为I的函数f（x）在区间D上的增减性
?
D?I,
（1）共同条件：
?
?

任意x,x? D
?
12
（2）假设前提：
x
1
?x
2
。
（3）判断依据：
①若__________________，则f（x）在区间D上是增函数；
②若__________________，则f（x）在区间D上是增函数。
2、单调区间
如果函数y=f（x）在区间D上是增函数或减函数，就说f（x）在区间D上 具有（严格的）___________，区
间D叫做f（x）的__________。
思考探究
1、把增（减）函数定义中的“任意两个自变量
x
1
,x
2
”换成“存在两个自变量
x
1
,x
2
”还能判断 函数是增（减）
函数吗？

2、把增（减）函数定义中的“某个区间D”去掉，其余条件不变，能否判断函数的增减性？

3、所有的函数都具有单调性吗？

自主测评
1、下列说法正确的是（ ）
A、定义在
(a,b)
上的函数f（x），若存在
x
1
?x
2
时，有
f(x
1
)?f(x
2
)
， 那么f（x）在
(a,b)
上为增函数
B、定义在
(a,b)
上的 函数f（x），若有无穷多对
x
1
,x
2
?(a,b)
使得
x
1
?x
2
时，有
f(x
1
)?f(x< br>2
)
，那么f（x）
在
(a,b)
上为增函数
C、 若f（x）在区间I
1
上为增函数，在区间I
2
上也为增函数，那以f（x） 在I
1
?
I
2
上也一定为增函数
D、若f（x）在区间I 上为增函数，且
f(x
1
)?f(x
2
)(x
1
, x
2
?I)
，那么
x
1
?x
2

在区间I
2
上也为增函数，那以f（x）在I
1
?
I
2
上也一定为增函数
2、函数y=f（x）的图象如较所示，其增区间是（ ）
A、[-4，4]
C、[-3，1]


B、[-4，-3]
?
[1，4]
D、[-3，4]

3、函数
y??x
2
的单调区间是（ ）
A、[0，+∞） B、（-∞，0] C、（-∞，0） D、（-∞，+∞）
4、函数y=|x|的增区间是_________，减区间是_________。
典例探究突破
类型一：依据函数图象给出单调区间
例1：求下列函数的单调区间并指出其在单调区间上是增函数还是减函数。
1
(1) y?3x?2;(2)y??;(3)y??x
2
?2x?3

x






变式：把（3）变成“
y??x
2
?2|x|?3
”先画出图象，再指明其单调区间，并写出它的值域。






类型二：单调性的证明
例2：判断函数
y?





变式训练：证明：函数
f(x)?x?
1
的单调性，并用定义加以证明。
x?1
1
在（0，1）上是减函数。
x

类型三：利用函数的单调性求参数的范围
例3：函数
y?ax
2
?bx?3
在（-∞，-1]上是增函数，在[-1，+∞）上是减函数 ，则（ ）
A、
b?0且a?0
B、
b?2a?0
C、
b?2a?0
D、
a,b
的符合不确定
变式训练：已知f(x)?x
2
?2mx?6
在（-∞，-1]上为减函数，则m 的范围为_________。





二、函数的最大值、最小值：
最值
最大值
类别
设函数y=f（x）的定义域为I，如果存在实数M满足
条件
（1）对于任意的
x?I
都有________
（2）存在
x
0
?I
，使得________
结论 M是函数y=f（x）的最大值
（1）对于任意的
x?I
都有________
（2）存在
x
0
?I
，使得________
M是函数y=f（x）的最小值
最小值
思考探究
1、在最大（小）值定 义中若把条件“存在
x
0
?I
，使得f（x
0
）=M”去掉 ，M还是函数y=f（x）的最大（小）
值吗？



2、函数的最值与值域、单调性之间有什么关系？


3、函数最大值或最小值的几何意义是什么？

自主测评
1、在函数y=f（x）的定义域中存在无数个实数满足f（x）>M，则（ ）
A、函数y=f（x）的最小值为M
B、函数y=f（x）的最大值为M
C、函数y=f（x） 最小值
D、不能确定M是函数y=f（x）的最小值
2、函数
y?ax?1(a?0)
在区间[0，2]上的最大值与最小值分别为（ ）
A、1，2
a
+1 B、2
a
+1，1 C、1+
a
，1 D、1，1+
a

数在[-1，2]上的最3、函数
y?f(x),x?[1,2]
的图象如图所示，则该函
大值为____ __，最小值为________。
4、函数
y?x
2
?2x?1(x?R )
有最________值，为
________值。
典例探究突破
类型一：图象法求函数最值
例1：求函数
y?|x?1|?|x?2|
的最大值和最小值。





变式训练：求函数
y?|x?1|?|x?1|
的最值。






类型二：利用单调性求函数最值
_______ _，无最

例2：已在函数
f(x)?x?
1
.

x
（1）证明：
f(x)
在
(1,??)
内是增函数；
（2）求
f(x)
在[2，4]上的最值。






类型三：与最值有关的应用问题
例3：某厂准备投资100 万生产A，B两种新产品，据测算，投资后的年收益，A产品是总投入的15，B产
品则是总投入开平方 后的2倍，问应该怎样分配投主数，使这两种产品的年总收益最大？






变式训练：某旅行团去风景区旅游，若每团人数不超过30人，飞机票每张收费9 00元；若每团人数多于
30人，则给予优惠，每多1人，机票每张减少10元，直至每张降为450为 止，每团乘飞机，旅行社需付给
航空公司包机费15000元，假设一个旅行团不能超过70人。
（1） 写出飞机票的价格关于人数的函数式；




（2）每团人数为多少时，旅行社可获得最大利润？




三、函数的奇偶性：
1、偶函数

（1）定义：对于函数f（x）的 定义域内_________x，都有_________，那么f（x）叫做偶函数。
（2）图象特征：图象关于_________对称。
2、奇函数
（1）定义：对 于函数f（x）的定义域内_________x，都有_________，那么函数f（x）叫做奇函数。
（2）图象特征：图象关于_________对称。
思考探究
1、 奇（偶）函数的定义域有何特征？


2、 奇函数、偶函数的图象有何特点？


3、 若奇函数f（x）在x=0处有定义，则f（0）是定值吗？



自主测评
1、函数y+x是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、奇函数又是偶函数 D、非奇非偶函数
2、函数f（x）=x
2
的图象（ ）
A、关于x对称 B、关于 y对称 C、关于原点对称 D、关于y=x对称
3、如果定义在区间[2-a，4]上的函数f（x）为偶函数，那么a=_________。
4、已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（2）=3，则f（-2）等于_______。
典例探究突破
类型一：判断函数的奇偶性
例1：判断列列函数的奇偶性
(1)f(x)?x
3
?2x;(2)f(x)?x;(3)f(x)?|x|;(4)f(x )?0.





变式训练：判断下列函数的奇偶性 < br>3x
2
?2x3x
(1)f(x)?x?3x;(2)f(x)?;(3)f( x)?
2
.

x?1x?3
42

类型二：利用奇偶性作图
例2：如图是给出的奇函数y=f（x）在区间（-∞，0] 上的图象，试作出函数在 [0，+∞）上的图象，并求
出f（3）的值。






变式训练：已知函数
f(x)?
其定义域内的图象。







类型三：利用函数的奇偶性求解析式
2
例3：已知函数
f(x)
是定义在R上的奇函数，当x>0时，
f(x)? ?2x?3x?1,
求：
1
在[0，+∞）上的图象如图所示，请据此在该坐标系中 补全函数
f(x)
在
x
2
?1
（1）
f(0)；
（2）当x<0时，
f(x)
的解析式；
（3）
f(x)
在R上的解析式。

变式：本例中若把“奇函数”换成“偶函数”，求x<0时
f(x)
的解析式。



课后练习:
1.下列函数中，是奇函数的为( ).
A.
2.已知奇函数
B.
在区间
C.
上的图像如图，则不等式
D.
的解集是( ).

A.
C.
3.设
4.已知
B.
D.
是定义在上的奇函数，当时，，则


.
，则函数的单调增区间是 .
5．某水果批发市场规定：批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元，小王携带现 金3000元到市
场采购水果，并以批发价买进水果x千克，小王付款后剩余现金为y元，则x与y之间 的函数关系为( )．
A．y＝3 000－2.5x，(100≤x≤1 200)
B．y＝3 000－2.5x，(100＜x＜1 200)
C．y＝3 000－100x，(100＜x＜1 200)
D．y＝3 000－100x，(100≤x≤1 200)
6. 设函数
f(x)
是定义在R上的以3为周期的奇函数，若
f (1)?1
，
f(2)?
3

4
33
（C）
a?
或
a??1
（D）
?1?a?

4
4
3a?4
，则
a
的取值范围是（ ）
a?1
（A）
a?
（B）
a?
3
且
a??1

4

7. 设
f
?
x
?
?x
3
?bx?c
是
?
?1,1
?
上的增函数, 且
f
?
?
( )
?
1
??
1?
?
?f
??
?0
, 则方
f
?
x< br>?
?0
在
?
?1,1
?
内
2
???
2
?
（A）可能有3个实根 （B）可能有2个实根 （C）有唯一实根 （D）没有实根

8. 已知0＜a＜1,则方程a
｜
x
｜
=

｜log
a
x｜的实根个数是
A.1个 B.2个 C.3个 D.1个或2个或3个

9．设函数f(x)对x
?
R都满足f(3+x)=f(3-x),且方程f(x)=0恰有6个不同的实数根，则这6个实根的和为
A.0 B.9 C.12 D.18
10．已知函数f(x)＝2mx＋4在区间[－2，1]上存在零点，则实数m的取值范围是______．


11. 已知函数f(x)＝ax
2
＋bx＋c的两个零点是－ 1和2，且f(5)＜0，则此函数的单调递增区间
为 ．




12．某宾馆有标准床位100张，宾馆每天的各种 费用支出800元，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床每天
的租金）不超过60元时，床位可全部租 出；当床价超过60元时，床价每提高10元，将有2张床位空闲，若用
x(元)表示床价，y表示该宾 馆一天出租床位的净收入（即扣除各种费用后的收入）。
（1）将y表示成x的函数；（2）当床价定为多少时，净收入最多，最多为多少？










13. 某市的一家报刊摊点从报社买进一种晚报的价格为每份0.12元，卖出的价格是每份0.20 元，卖不掉的报纸还
可以每份0.04元的价格退回报社。在一个月内（以30天计算），有20天每天 可卖出400份，其余10天每天只能卖
出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同。他每天应 该从报社买进多少份报纸，才能使每月可获得的利
润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？

14．（本小题共13分）已知 定义在
R
上的函数
f(x)
同时满足下列三个条件：①
f(3)??1
;
?
② 对任意
x、y?R
都有
f(xy)?f(x)?f(y)
；③
x?1时,f(x)?0
.
?
（1）求
f(9)
、
f(3)
的值；
（2）证明：函数
f(x)
在
R
上为减函数；
（3）解关于x的不等式
f(6x)?f(x?1)?2
.


?