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作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:40
tags:高中数学的知识点

萍乡哪里可以补高中数学-高中数学数系和复数公式

2020年9月22日发(作者:俞海潮)


一般地,我们把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫做集合(简
称集).
1.集合中元素具的有几个特征
⑴确定性-因集合是由一些元素组成的总体,当然,我们所说的“一些元
素”是确定的. ⑵互异性-即集合中的元素是互不相同的,如果出现了两个(或几个)相同
的元素就只能算一个,即 集合中的元素是不重复出现的.
⑶无序性-即集合中的元素没有次序之分.
2.常用的数集及其记法
我们通常用大写拉丁字母A,B,C,?表示集合,用小写拉丁字母a,
b,c,?表示集合中的元素.
常用数集及其记法
非负整数集(或自然数集),记作N
正整数集,记作N
*
或N
+

整数集,记作Z
有理数集,记作Q
实数集,记作R
3.元素与集合之间的关系


4.反馈演练
1.填空题

2.选择题
⑴ 以下说法正确的( )
(A) “实数集”可记为{R}或{实数集}
(B){a,b,c,d}与{c,d,b,a}是两个不同的集合


(C)“ 我校高一年级全体数学学得好的同学”不能组成一个集合,因为其元
素不确定
⑵ 已知2是集合M={ }中的元素,则实数为( )
(A) 2 (B)0或3 (C) 3 (D)0,2,3均可
二、集合的几种表示方法
1、 列举法-将所给集合中的元素一一列举出来,写在大括号里,元素与
元素之间用逗号分开.

*有限集与无限集*
⑴ 有限集-------含有有限个元素的集合叫有限集
例如: A={1~20以内所有质数}
⑵ 无限集-------- 含有无限个元素的集合叫无限集
例如: B={不大于3的所有实数}
2、 描述法-用集合所含元素的共同特征表示集合的方法.
具体方法:在花括号内先写上表示这个 集合元素的一般符号及以取值
(或变化)范围,再画一条竖线,在竖线后写出这个集合中元素所具有的共 同
特征.


3、 图示法 -- 画一条封闭曲线,用它的内部来表示一 个集合.常用于表示
不需给具体元素的抽象集合.对已给出了具体元素的集合也当然可以用图
示 法来表示
如: 集合{1,2,3,4,5}用图示法表示为:


三、集合间的基本关系
观察下面几组集合,集合A与集合B具有什么关系?
(1) A={1,2,3},B={1,2,3,4,5}.


(2) A={x|x>3},B={x|3x-6>0}.
(3) A={正方形},B={四边形}.
(4) A=
?
,B={0}.
1.子集
定义:一般地,对于两 个集合A与B,如果集合A中的任何一个元素都是集合
B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或集合 B包含集合A,记作A
?
B(或
B
?
A),即若任意x
?< br>A,有x
?
B,则A
?
B(或A
?
B)。这时我们也 说集合A是集合
B的
子集
(subset)。
如果集合A不包含于集合B, 或集合B不包含集合A,就记作A?B(或B?A),即:
若存在x
?
A,有x
?
B,则A?B(或B?A)
说明:A
?
B与B
?
A是 同义的,而A
?
B与B
?
A是互逆的。
规定:空集
?是任何集合的子集,即对于任意一个集合A都有
?
?
A。
例1.判断下列集合的关系.
(1) N_____Z; (2) N_____Q; (3) R_____Z; (4) R_____Q;
(5) A={x| (x-1)
2
=0}, B={y|y
2
-3y+2=0};
(6) A={1,3}, B={x|x
2
-3x+2=0};
(7) A={-1,1}, B={x|x
2
-1=0};
(8)A={x|x是两条边相等的三角形} B={x|x是等腰三角形}。
问题:观察(7)和(8),集合A与集合B的元素,有何关系?
?
集合A与集合B的元素完全相同,从而有:
2.集合相等
定义 :对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素
(即A
?
B), 同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素(即B
?
A),则称集
合A等于集合B, 记作A=B。如:A={x|x=2m+1,m
?
Z},B={x|x=2n-1,n
?
Z},
此时有A=B。
问题:(1)集合A是否是其本身的子集?(由定义可知,是)
(2)除去
?
与A本身外,集合A的其它子集与集合A的关系如何?(包
含于A,但不等于A)
3.真子集:
由“包含”与“相等”的关系,可有如下结论:
(1)A
?
A (任何集合都是其自身的子集);
(2)若A
?< br>B,而且A
?
B(即B中至少有一个元素不在A中),则称集合A是集
合B的< br>真子集
(proper subset),记作A
?
(空集是任何非空集合的真子集)

B。
(3)对于集合A,B,C,若A?B,B ?C,即可得出A?C;对A
?
B,B
?
C,同样
≠≠
有A
?
C, 即:包含关系具有“传递性”。

4.证明集合相等的方法:
(1) 证明集合A,B中的元素完全相同;(具体数据)


(2) 分别证明A
?
B和B
?
A即可。(抽象情况)
对于集合A,B,若A
?
B而且B
?
A,则A=B。
例1.判断下列两组集合是否相等?
(1)A={x|y=x+1}与B={y|y=x+1}; (2)A={自然数}与B={正整数}
例2.解不等式x-3>2,并把结果用集合表示。
结论:一般地,一个集合元素若为n个, 则其子集数为2
n
个,其真子集数为2
n
-1
个,特别地,空集的子 集个数为1,真子集个数为0。
5.课堂练习
1.设A={0,1},B={x|x
?
A},问A与B什么关系?
2.判断下列说法是否正确?
(1)N
?
Z
?
Q
?
R; (2)
?
?
A
?
A;
(3){圆内接梯形}
?
{等腰梯形}; (4)N
?
Z;
(5)
?
?
{
?
}; (6)
?
?
{
?
}

4.有三个元素的集合A, B,已知A={2,x,y},B={2x,2,2y},且A=B,求x,
y的值。
6.本节小结
1. 能判断存在子集关系的两个集合,谁是谁的子集,进一步确定其是否为
真子集;
注意:子集并 不是由原来集合中的部分元素组成的集合。(因为:“空集是
任何集合的子集”,但空集中不含任何元素 ;“A是A的子集”,但A中含有
A的全部元素,而不是部分元素)。
2. 空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集;
3.注意区别“包含于”,“包含”,“真包含”,“不包含”;
4. 注意区别“
?
”与“
?
”的不同涵义。
课堂练习:
集合的含义与表示
1.用符号
?

?
填空:
(1)
23

{x|x?11}

(2)3
{x|x?n
2
?1,n?N
?
}

(3)
(?1,1)

{y|y?x
2
}

(?1,1)

{(x,y)|y?x
2
}.

2.用列举法表示下列集合:
(1)
{(x,y)|x?y?3,n?N,y?N}
; (2)
{(x,y)|y?x
2
?1,|x|?2,x?Z}.

?
x?y?3,
3.可以表示方程组
?
的解集是 。(写出所有正确答案的序号)
x?y??1
?


(1)
{x?1,y?2}
; ( 2)
{1,2}
;(3)
{(1,2)}
;(4)
{(x,y)|x ?1,或y?2}

x?1,
?

22
(5)
{ (x,y)|x?1,且y?2}
;(6)
?
(x,y)
?
??(7)
{(x,y)|(x?1)?(y?2)?0}.

?
y?2?
4.设集合
A?{1,a,b},B?{a,a
2
,ab}
, 且
A?B
,求实数
a,b.

5.已知集合
M?{?2,3 x
2
?3x?4,x
2
?x?4}
,若
2?M,

x.

集合间的基本关系
1.下列各组中的两个集合相等的有( )

P?{x|x?2n,n?Z},Q?{x|x?2(n?1),n?Z}

P?{x|x?2n?1,n?N
?
},Q?{x|x?2n?1,n?N?
}

1?(?1)
n

P?{x|x?x?0}< br>,
Q?{x|x?,n?Z}.

2
2
A.①②③ B.①③ C.②③ D.①②
2.设集合
A?{2,8,a},B?{2,a
2
?3a?4}
,且
A
?
?
B
,求
a的值。
3.(1)已知集合
A?{1,3},B?{x|mx?3?0},
且< br>B?A
,则
m
的值是 。
(2)已知集合
A?{ x|?2?x?5},B?{x|m?1?x?2m?1}
,若
B?A
,求实数
m
的取
值范围。
4.(1)以下各组中两个对象是什么关系,用适当的符号表示出来。
①0与
{0}
;②0与
?
;③
?

{0}
;④
{0,1 }

{(0,1)}
;⑤
{(b,a)}

{(a,b)} .

(2)已知
A?{0,1},B?{x|x?A}
,则A与B的关系正确的是( )
A.
A?B

A.16个
B.
A
?
?
B

B.15个
C.
B
?
?
A

C.7个
D.
A?B

D.6个
5.(1)同时满足:①
M?{1 ,2,3,4,5}
;②
a?M
,则
6?a?M
的非空集合M有( )
6.(1)已知集合X满足
{1,2}?X?{1,2,3,4,5}
,求所有满 足条件的X。
(2)设集合
A?{x|x
2
?4x?0},B?{x|x< br>2
?2(a?1)x?a
2
?1?0,a?R}
。若
B?A< br>,
求实数
a
的值。

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