高中数学知识点总结大全_______：空间向量与立体几何

.. . .. . .
高中数学知识点总结 空间向量与立体几何
一、考点概要：
1、空间向量及其运算
（1）空间向量的基本知识：
①定义：空间向量的定义和平面向量一样，那些具有大小和方向的量叫做向量，并且仍用有向线
段表示空 间向量，且方向相同、长度相等的有向线段表示相同向量或相等的向量。
②空间向量基本定理：
ⅰ定理：如果三个向量
y、z，使。且把< br>不共面，那么对于空间任一向量
叫做空间的一个基底，
，存在唯一的有序实数组x、都叫基向量。
ⅱ正交基底：如果空间一个基底的三个基向量是两两相互垂直，那么这个基底叫正交基底。
ⅲ 单位正交基底：当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称为单位正交基底，通常用
表示。
ⅳ 空间四点共面：设O、A、B、C是不共面的四点，则对空间中任意一点 P，都存在唯一的有
序实数组x、y、z，使
③共线向量（平行向量）：
ⅰ定义：如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量 叫做共线向量或
平行向量，记作。
。
ⅱ规定：零向量与任意向量共线；
ⅲ共线向量定理：对空间任意两个向量
。
④共面向量：
ⅰ定义：一般地，能平移到同一平面的向量叫做共面向量；空间的任意两个向量都是共面向量。
ⅱ向量与平面平行：如果直线OA平行于平面或在α，则说向量平行于平面α，记作
S. . . . . ..
平行的充要条件是：存在实数λ，使
。

.. . .. . .
平行于同一平面的向量，也是共面向量。

与 向量、共面的充要条件是：存在实数对x、ⅲ共面向量定理：如果两个向量、不共线，则向量
y，使。
ⅳ空间的三个向量共面的条件：当、、都是非零向量时，共面向量定理实际上也 是、、
所在的三条直线共面的充要条件，但用于判定时，还需要证明其中一条直线上有一点在另两条直线 所
确定的平面。
ⅴ共面向量定理的推论：空间一点P在平面MAB的 充要条件是：存在有序实数对x、y，使得
，或对于空间任意一定点O，有。
，
。
（两个向 ⑤空间两向量的夹角：已知两个非零向量、，在空间任取一点O，作
量的起点一定要相同），则叫做向量与的夹角，记作，且

⑥两个向量的数量积：
ⅰ定义：已知空间两个非零向量、，则
即：。
叫做向量、的数量积，记作，
ⅱ规定：零向量与任一向量的数量积为0。
S. . . . . ..

.. . .. . .
ⅲ注意：两个向量的数量积也叫向量、的点积（或积），它的结果是一个实数，它等于两向量
的模与其夹 角的余弦值。
ⅳ数量积的几何意义：
即：数量积
ⅴ基本性质：
叫做向量在方向上的投影（其中θ为向量和的夹角）。
等于向量的模与向量在方向上的投影的乘积。


ⅵ运算律：

（2）空间向量的线性运算：
①定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下：
②加法：
④数乘向量：
ⅲ数乘分配律：
二、复习点睛：
1、立体几何初步是侧重于定性研究，而空间向量则侧重于定量研究。空间向量的引入，为解决三维
空间 中图形的位置关系与度量问题提供了一个十分有效的工具。
2、根据空间向量的基本定理，出 现了用基向量解决立体几何问题的向量法，建立空间直角坐标系，
形成了用空间坐标研究空间图形的坐标 法，它们的解答通常遵循“三步”：一化向量问题，二进行向量
运算，三回到图形问题。其实质是数形结 合思想与等价转化思想的运用。
S. . . . . ..
③减法：
ⅱ加法结合律： ⑤运算律： ⅰ加法交换律：

.. . .. . .
3、实数的运算与向量的运算既有联系又有区别，向量的数量积满足交换律和分配律，但不满足结合
律， 因此在进行数量积相关运算的过程中不可以随意组合。值得一提的是：完全平方公式和平方差公式
仍然适 用，数量积的运算在许多方面和多项式的运算如出一辙，尤其去括号就显得更为突出，下面两个
公式较为 常用，请务必记住并学会应用：
2、空间向量的坐标表示：
（1）空间直角坐标系：
。
①空间直角坐标系O- xyz，在空间选定一点O和一个单位正交基底
分别以
向量
zOx平面。
， 以点O为原点，
的方向为正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴，点O叫做原点，
叫做坐标向量，通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为xOy平面，yOz平面，
②右手直角坐标系：右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以90°角度转向正向y轴时，大拇
指的指 向就是z轴的正向；

③构成元素：点（原点）、线（x、y、z轴）、面（xOy平面，yOz平面，zOx平面）；
④空间直角坐标系的画法：作空间直角坐标系O- xyz时，一般使∠xOy=135°(或45°), ∠
yOz=90°，z轴垂直于y轴，z轴、y 轴的单位长度相同，x轴上的单位长度为y轴（或z轴）的一半；
（2）空间向量的坐标表示：
S. . . . . ..

.. . .. . .
①已知空间直角坐标系和向量，且设为坐标向量（如图），

由空间向量基本定理知，存在唯一的有序实数组
。
②在空间直角坐标系O-xyz中，对于空间任一点A，对应一个向量，若，则
叫做向量在此直角坐标系 中的坐标，记作
有序数组(x，y，z)叫做点在此空间直角坐标系中的坐标，记为A(x，y，z)， 其中x叫做点A的横坐标，
y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标，写点的坐标时，三个坐标间的顺序不能变。
③空间任一点的坐标的确定：过P分别作三个与坐标平面平行的平面（或垂面），分别交坐标轴于
A、B 、C三点，│x│=│OA│，│y│=│OB│，│z│=│OC│，当
当与的方向相反时，x＜0， 同理可确y、z（如图）。
与的方向相同时，x＞0，

④规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应。
⑤一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
设
则：
（3）空间向量的直角坐标运算：
，，

S. . . . . ..

.. . .. . .

⑦空间两点间距离：
⑧空间线段
⑨球面方程：
二、复习点睛：
4、过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为 原点且一般具有相同的长度单位。这三条轴分
别叫做z轴（横轴）、y轴（纵轴）、z轴（竖轴）；统称 坐标轴。通常把x轴和y轴配置在水平面上，而
z轴则是铅垂线；它们的正方向要符合右手规则，即以这 样的三条坐标轴就组成了一个空间直角坐标系，
点O叫做坐标原点。
5、空间直角坐标系中的特殊点:
（1）点（原点）的坐标：(0,0,0)；
（2）线（坐标轴）上的点的坐标：x轴上的坐标为(x,0,0)，y轴上的坐标为(0 ,y,0)，z轴上的坐标
为(0,0,z)；
（3）面（xOy平面、yOz 平面、zOx平面）的点的坐标：平面上的坐标为(x,y,0)、平面上的坐标
为(0,y,z)、平 面上的坐标为(x,0,z)
6、要使向量与z轴垂直，只要z=0即可。事实上，要使向量与哪一个 坐标轴垂直，只要向量的相
应坐标为0即可。
7、空间直角坐标系中，方程x=0表 示yOz平面、方程y=0表示zOx平面、方程z=0表示xOy平
面，方程x=a表示平行于平面y Oz的平面、方程y=b表示平行于平面zOx的平面、方程z=c表示平
S. . . . . ..
；
的中点M（x，y，z）的坐标：

；

.. . .. . .
行于平面xOy平面；
8、只要将和代入，即可证明空间向量的运算法则与平面向量一样；
9、由空间向量基本定理 可知，空间任一向量均可以由空间不共面的三个向量生成．任意不共面的三
个向量都可以构成空间的一个 基底，此定理是空间向量分解的基础。
立体几何中的向量方法
1．空间向量的坐标表示及运算
(1)数量积的坐标运算
设
a
＝ (
a
1
，
a
2
，
a
3
)，
b
＝(
b
1
，
b
2
，
b
3)，
则①
a
±
b
＝(
a
1
±
b
1
，
a
2
±
b
2
，
a
3
±
b
3
)；
②
λa
＝(
λa
1
，
λa
2
，
λa
3
)；
③
a
·
b
＝
a
1
b
1
＋
a
2
b
2
＋
a
3
b
3
.
(2)共线与垂直的坐标表示
设
a
＝(
a
1
，< br>a
2
，
a
3
)，
b
＝(
b
1
，
b
2
，
b
3
)，
则
a∥
b
?
a
＝
λb
?
a
1
＝< br>λb
1
，
a
2
＝
λb
2
，
a
3
＝
λb
3
(
λ
∈R)，
a
⊥
b
?
a·b
＝0?
a
1
b
1
＋
a
2
b
2
＋
a
3
b
3
＝ 0(
a
，
b
均为非零向量)．
(3)模、夹角和距离公式
设
a
＝(
a
1
，
a
2
，
a3
)，
b
＝(
b
1
，
b
2
，
b
3
)，
22
则|
a
|＝
a·a
＝
a
1
＋
a
2
2
＋
a
3
，
cos〈
a
，
b
〉＝
a·ba
1
b
1
＋
a
2
b
2
＋
a
3
b
3
＝
22
.
2222
|a||b|
a
1
＋
a
2
＋
a
3
·
b
1
＋
b
2
＋
b
3
设
A
(
a
1
，
b
1
，
c
1
)，
B
(
a
2
，
b
2
，
c
2
)，
→|＝则
d
AB
＝|
ABa
2
－
a
1< br>2
＋
b
2
－
b
1
2
＋
c< br>2
－
c
1
2
.
2．立体几何中的向量方法
(1)直线的方向向量与平面的法向量的确定
→
为直线
l
的方向向 量，与
AB
→
平①直线的方向向量：
l
是空间一直线，
A< br>，
B
是直线
l
上任意两点，则称
AB
行的任意非零向 量也是直线
l
的方向向量．
②平面的法向量可利用方程组求出：设
a
，
b
是平面
α
两不共线向量，
n
为平面
α
的法向量，则求法向
S. . . . . ..

.. . .. . .
?
n·a
＝0，
量的方程组为
?

?
n·b
＝0.
(2)用向量证明空间中的平行关系
①设直线l
1
和
l
2
的方向向量分别为
v
1
和
v
2
，则
l
1
∥
l
2
(或
l
1
与
l
2
重合)?
v
1
∥
v
2
.
②设直线
l
的方向向量为
v
，与平面
α
共面的两个不共线向量
v
1
和
v
2
，则
l
∥
α
或
l
?
α
?存在两个实数
x
，
y
，使
v
＝
xv
1
＋
y v
2
.
③设直线
l
的方向向量为
v
，平面
α
的法向量为
u
，则
l
∥
α
或
l
?
α
?
v
⊥
u
.
④设平面
α
和
β
的法向量分别为
u
1
，
u
2
，则α
∥
β
?
u
1
∥
u
2
.
(3)用向量证明空间中的垂直关系
①设直线
l
1
和
l< br>2
的方向向量分别为
v
1
和
v
2
，则
l
1
⊥
l
2
?
v
1
⊥v
2?
v
1
·v
2
＝0.
②设直线
l
的 方向向量为
v
，平面
α
的法向量为
u
，则
l
⊥
α
?
v∥u
.
③设平面
α
和
β的法向量分别为
u
1
和
u
2
，则
α
⊥
β
?
u
1
⊥u
2
?
u
1
·u
2
＝0.

(4)点面距的求法
→
·
n< br>|
|
AB
如图，设
AB
为平面
α
的一条斜线 段，
n
为平面
α
的法向量，则
B
到平面
α
的距离
d
＝.
|
n
|

一种思想
向 量是既有大小又有方向的量，而用坐标表示向量是对共线向量定理、共面向量定理和空间向量基本定
理的 进一步深化和规，是对向量大小和方向的量化：
(1)以原点为起点的向量，其终点坐标即向量坐标；
S. . . . . ..

.. . .. . .
(2)向量坐标等于向量的终点坐标减去其起点坐标．
得到向量坐标后，可通过向量的坐标运算解决平行、垂直等位置关系，计算空间成角和距离等问题．
三种方法
主要利用直线的方向向量和平面的法向量解决下列问题：
?
直线 与直线平行
(1)平行
?
直线与平面平行
?
平面与平面平行
?
直线与直线垂直
(2)垂直
?
直线与平面垂直
?
平面与平 面垂直
(3)点到平面的距离




求点到平面距离是 向量数量积运算(求投影)的具体应用，也是求异面直线之间距离，直线与平面距离和
平面与平面距离的 基础．
双基自测
1．两不重合直线
l
1
和
l
2
的方向向量分别为
v
1
＝(1,0，－1)，
v
2
＝(－2,0,2)，则
l
1
与
l
2
的位置关系是( )．
A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定
解析 ∵
v
2
＝－2
v
1
，∴
v
1
∥v
2
.
答案 A
2．已知平面
α
有一个点
M(1，－1,2)，平面
α
的一个法向量是
n
＝(6，－3,6)，则下 列点
P
中在平面
α
的是( )．
A．
P
(2,3,3)
C．
P
(－4,4,0)
解析 ∵
n
＝(6，－3,6)是平面
α
的法向量，
→→ →
∴
n
⊥
MP
，在选项A中，
MP
＝(1,4,1 )，∴
n
·
MP
＝0. 答案 A
→
·
AB< br>→
＝0，
→
·
AC
→
＝0是
AP
→
·
BC
→
＝0的( )．3．(2011·月考)已知点
A
，
B
，
C
∈平面
α
，点
P
?
α
，则
AP
且
AP

A．充分不必要条件
C．充要条件
→→
?
AP
?
·
AB
＝0
解析 由
?
→→
?
?
AP
·
AC
＝0
B．必要不 充分条件
D．既不充分也不必要条件
B．
P
(－2,0,1)
D．
P
(3，－3,4)

→
·(
AB
→
－
AC
→
)＝0， ，得
AP
S. . . . . ..

.. . .. . .
→
·
CB
→
＝0，亦即
AP
→
·
BC
→< br>＝0，反之，若
AP
→
·
BC
→
＝0， 即
AP
→
·(
AC
→
－
AB
→
)＝0?AP
→
·
AB
→
＝
AP
→
·
AC
→
，未必等于0. 则
AP
答案 A
4．(人教A版教材习题 改编)已知
a
＝(－2，－3,1)，
b
＝(2,0,4)，
c＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的
是( )．
A．
a∥c
，
b∥c

C．
a∥c
，
a⊥b

B．
a∥b
，
a⊥c

D．以上都不对
解析 ∵
c
＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2
a
，∴
a∥c
，
又
a·b
＝－2×2＋(－3)×0＋1×4＝0，∴
a⊥b
.
答案 C
→
＝(2,2,1)，
AC
→
＝(4,5,3) ，则平面
ABC
的单位法向量是________． 5．(2012·调研)已知
AB
解析 设平面
ABC
的法向量
n< br>＝(
x
，
y
，
z
)．
→
?
AB
?
·
n
＝0，
则
?
→
?
?
AC
·
n
＝0，

?
2
x
＋2< br>y
＋
z
＝0，
即
?

4
x
＋5
y
＋3
z
＝0.
?
< br>1
?
x
＝
2
，
令
z
＝1，得
?
?
y
＝－1，
22
??
1
，－，
?< br> 答案 ±
?
333
??

22
?
n
?
1
??
1
∴
n
＝
?
，－1，1
?
， ∴平面
ABC
的单位法向量为±＝±
?
，－，
?
.
33
?
|n|
?
2
??
3
考向一 利用空间向量证明平行问题

【例1】?如图所示，在正方体
ABCD
?< br>A
1
B
1
C
1
D
1
中，
M
、
N
分别是
C
1
C
、
B
1
C
1
证：
MN
∥平面
A
1
BD
.
[审题视点] 直接用线面平行定理不易证明，考虑用向量方法证明．
证明 法一 如图所示 ，以
D
为原点，
DA
、
DC
、
DD
1所在直线分别为
x
轴、
y
轴、
z
轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，
的中点．求
S. . . . . ..

.. . .. . .

1
???
1
?
则
M
?
0，1，
?
，
N
?
，1，1
?
，
D
(0,0,0)，
A
1
(1,0,1)，
B
(1,1,0)，
2
???< br>2
?
→
＝
?
1
，0，
1
?
， 于是
MN
?
2
?
2
??
设平面
A1
BD
的法向量是
n
＝(
x
，
y
，< br>z
)．
?
x
＋
z
＝0，
→→
则< br>n
·
DA
1
＝0，且
n
·
DB
＝0 ，得
?

?
x
＋
y
＝0.
取
x< br>＝1，得
y
＝－1，
z
＝－1.∴
n
＝(1，－1， －1)．
1
??
1
→
，0，
又
MN
·< br>n
＝
?
·(1，－1，－1)＝0，
2
?
?
2
?
→
⊥
n
，又
MN
?平面
ABD， ∴
MN
1
∴
MN
∥平面
A
1
BD
.
1
→
1
→
1
→
1
→→→→→
法二
MN
＝
C
1
N
－
C
1
M
＝
C
1
B
1
－
C
1
C
＝(
D
1
A
1
－
D
1
D
)＝
DA< br>1
，
2222
→
∥
DA
→
，又∵
MN
与
DA
不共线，∴
MN
∥
DA
， ∴
MN
111
又∵
MN
?平面
A
1
BD
，< br>A
1
D
?平面
A
1
BD
， ∴
MN
∥平面
A
1
BD
.
【训练1】 如图所示 ，平面
PAD
⊥平面
ABCD
，
ABCD
为正方形，△PAD
是直角三角形，且
PA
＝
AD
＝
2，
E
、
F
、
G
分别是线段
PA
、
PD
、
CD
的中点．求证：
PB
∥平面
EFG
.
证明 ∵平面
PAD
⊥平面
ABCD
且
ABCD
为正方形， ∴
AB
、
AP
、
AD
两两垂直，以
A
为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系
A
?
xyz
，则
A(0,0,0)、
B
(2,0,0)、

C
(2,2,0)、< br>D
(0,2,0)、
P
(0,0,2)、
E
(0,0,1)、
F
(0,1,1)、
G
(1,2,0)．
S. . . . . ..

.. . .. . .
→
＝(2,0，－2)，
FE
→
＝(0，－1,0)，
FG
→
＝(1,1，－1)， ∴
PB
→
＝
sFE
→
＋
tFG
→
， 设
PB
即(2,0，－2)＝
s
(0，－1, 0)＋
t
(1,1，－1)，
?
t
＝2，
∴
?< br>t
－
s
＝0，
?
－
t
＝－2，

解得
s
＝
t
＝2.
→
＝2
FE
→
＋2
FG
→
， ∴
PB
→
与
FG
→
不共线，∴
PB
→
、FE
→
与
FG
→
共面． 又∵
FE
∵
PB
?平面
EFG
，∴
PB
∥平面
EFG
.
考向二 利用空间向量证明垂直问题

【例2】?如图所示，在棱长为1的正方体< br>OABC
?
O
1
A
1
B
1
C
1
中，
E
，
F
分别是棱
AB
，
BC上的动点，且
AE
＝
BF
＝
x
，其中0≤
x< br>≤1，以
O
为原点建立空间直角坐标系
O
?
xyz
.
(1)求证
A
1
F
⊥
C
1
E
；
1
→→→
(2)若
A
1
，
E
，
F
，
C
1
四点共面,求证：
AF
＝
A
1C
1
＋
A
11
E
.
2
[审题视点] 本题已建好空间直角坐标系，故可用向量法求解，要
准点的坐标．
证明 (1)由已知条件
注意找
A
1
(1,0,1)，
F
(1－
x,
1,0)，
C
1
(0,1,1)，
E
(1，
x,
0)，
→→
A
1
F
＝(－
x,
1，－1)，C
1
E
＝(1，
x
－1，－1)，
→→
则< br>A
1
F
·
C
1
E
＝－
x
＋ (
x
－1)＋1＝0，
→→
∴
A
1
F
⊥
C
1
E
，即
A
1
F
⊥
C
1
E
.
→→
(2)
A
1
F
＝(－
x,
1，－1)，
A
1
C
1
＝(－1,1,0)，
→
A
1
E
＝(0，
x
，－1)，
S. . . . . ..

.. . .. . .
－
x
＝－
λ
，
?
→→→
?
1＝
λ
＋
μx
，
设
AF
＝
λAC
＋
μAE
，
?
?
?
－1＝－
μ
，
1111


1
解得
λ
＝，
μ
＝1.
2
1
→→→
∴
AF
＝
A
1
C
1
＋A
11
E
.
2
证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的 方向向量垂直，
而直线与平面垂直，平面与平面垂直可转化为直线与直线垂直证明．

【训练2】 如图所示，在四棱锥
P
?
ABCD
中，
PA< br>⊥底面
ABCD
，
AB
∠
ABC
＝60°，
PA
＝
AB
＝
BC
，
E
是
PC
的 中点．证明：
(1)
AE
⊥
CD
；
(2)
PD
⊥平面
ABE
.
证明
AB
、
AD
、
AP
两两垂直，
建立如图所示的空 间直角坐标系，设
PA
＝
AB
＝
BC
＝1，则
P< br>(0,0,1)．
(1)∵∠
ABC
＝60°，
△
ABC
为正三角形．
?
1
??
1
33 1
?
∴
C
?
，，0
?
，
E
?，，
?
.
?
22
??
442
?
→< br>·
CD
→
＝0， 设
D
(0，
y,
0)，由
AC
⊥
CD
，得
AC
⊥
AD
，
A C
⊥
CD
，
S. . . . . ..

.. . .. . .
即
y
＝
23
??
23
，则
D
?
0，，0< br>?
，
3
3
??
?
1
?
→
?
1
331
?
→
∴
CD
＝
?
－， ，0
?
.又
AE
＝
?
，，
?
，
?
26
??
442
?
1133
→→
∴
AE
·
CD
＝－
×
＋
×
＝0，
2464→
⊥
CD
→
，即
AE
⊥
CD
. ∴
AE
??
23
→
(2)法一 ∵
P
(0,0,1 )，∴
PD
＝
?
0，，－1
?
.
3
??
→
·
PD
→
＝
3
×
23
＋
1
×(－1)＝0，
又
AE
432
→
⊥
AE< br>→
，即
PD
⊥
AE
.
AB
→
＝(1 ,0,0)，∴
PD
→
·
AB
→
＝0， ∴
PD< br>∴
PD
⊥
AB
，又
AB
∩
AE
＝< br>A
，∴
PD
⊥平面
AEB
.
?
1
31
?
→→
法二
AB
＝(1,0, 0)，
AE
＝
?
，，
?
，
?
442?
设平面
ABE
的一个法向量为
n
＝(
x
，< br>y
，
z
)，
?
x
＝0，
则
?131
?
4
x
＋
4
y
＋
2
z
＝0，


令
y
＝2，则
z
＝－3，∴< br>n
＝(0,2，－3)．
3
?
23
→
＝
?
→
∵
PD
?
0，，－1
?
，显然
PD＝
3
n
.
3
??
→
∥
n
， ∴
PD
→
⊥平面
ABE
，即
PD
⊥平面
A BE
. ∵
PD
考向三 利用向量求空间距离

【例3】?在三棱 锥
SABC
中，△
ABC
是边长为4的正三角形，平面
SAC
⊥平面
ABC
，
SA
＝
SC
＝23，
M
、
N
分别为
AB
、
SB
的中点，如图所示，求点
B
到平面
CMN
的距离．
[审题视点] 考虑用向量法求距离，距离公式不要记错．
解 取
AC
的中点
O
，连接
OS
、
OB
.
∵
SA
＝
SC
，
AB
＝
BC
，
S. . . . . ..

.. . .. . .
∴
AC
⊥
SO
，
AC
⊥
BO
.
∵平面
SAC
⊥平面
ABC
，平面
SAC
∩平面< br>ABC
＝
AC
，
∴
SO
⊥平面
ABC，∴
SO
⊥
BO
.
如图所示，建立空间直角坐标系
O
?
xyz
，
则
B
(0,23，0)，
C
(－2,0,0)，
S
(0,0,22)，
M
(1，3，0)，
N
(0，3，2)．
→
＝(3，3，0)，
MN
→
＝(－1,0，2)， ∴
CM
→
＝(－1，3，0)．
MB
设
n
＝(< br>x
，
y
，
z
)为平面
CMN
的一个法向量，
→
·
n
＝3
x
＋3
y
＝0，
?< br>CM
?
则
?
→
?
?
MN
·
n
＝－
x
＋2
z
＝0，

取
z
＝1，
则
x
＝2，
y
＝－6，∴
n
＝(2，－6，1)．
∴点
B
到平面
CMN
的距离
→
|42|
n
·
MB
d
＝＝.
|
n
|3
点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，它的理论基础
→
＝
BM
→
＋
MH
→
及
BH
→
·
n
＝
n
·
BM
→
， 仍出于几何法，如 本题，事实上，作
BH
⊥平面
CMN
于
H
.由
BH
→
·
n
|＝|
n
·
BM
→
|＝|
BH
→
|·|
n
|， 得|
BH
S. . . . . ..

.. . .. . .
→
|
→
||
n
·
BM
|
n
·
BM
→
所以|
BH
|＝，即
d
＝.
|
n
||
n
|

【训练3】 (2010·)如图 ，△
BCD
与△
MCD
都是边长为2的正三角形，平面
MCD
⊥平面
BCD
，
AB
⊥
平面
BCD
，
A B
＝23.
(1)求点
A
到平面
MBC
的距离； (2)求平面
ACM
与平面
BCD
所成二面角的正弦值．
解 取< br>CD
中点
O
，连
OB
，
OM
，则
O B
⊥
CD
，
OM
⊥
CD
.
又平面
MCD
⊥平面
BCD
，则
MO
⊥平面
BCD
.
取
O
为原点，直线
OC
、
BO
、
OM为
x
轴、
y
轴、
z
轴，建立空间直角坐标系如图． < br>OB
＝
OM
＝3，则各点坐标分别为
C
(1,0,0)，M
(0,0，3)，
B
(0，－3，0)，
A
(0，－3，23 )．
→
＝(1，3，0)，
BM
→
＝(0，3，3)， (1)设
n
＝(
x
，
y
，
z
)是平面
MB C
的法向量，则
BC
→
得
x
＋3
y
＝0； 由
n
⊥
BM
→
得3
y
＋3
z
＝0 . 由
n
⊥
BC
→
·
n
|
23215|< br>BA
→
＝(0,0,23)，则
d
＝取
n
＝(3，－1,1)，
BA
＝＝.
|< br>n
|5
5
→
＝(－1,0，3)，
CA
→
＝ (－1，－3，23)． (2)
CM
设平面
ACM
的法向量为
n< br>1
＝(
x
，
y
，
z
)，
?
?
－
x
＋3
z
＝0，
→→
由
n
1
⊥
CM
，
n
1
⊥
CA
得
?解得
x
＝3
z
，
y
＝
z
，取
n
1
＝
?
－
x
－3
y
＋23
z< br>＝0，
?
1,1)．
又平面
BCD
的法向量为
n
2
＝(0,0,1)．
所以cos〈
n
1
，
n
2
〉＝

(3，
n
1
·n
2
125
＝. 设所求二面角为
θ
，则sin
θ
＝.
|n
1
| |n
2
|
5
5
规解答15——立体几何中的探索性问题
【问题研究】 高考中立体几何部分在对有关的点、线、面位置关系考查的同时，往往也会考查一些探< br>索性问题，主要是对一些点的位置、线段的长度，空间角的围和体积的围的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，这类题目往往难度都比较大，设问的方式一般是“是否存在？存在给出证明，不
存在说明理由.”
【解决方案】 解决存在与否类的探索性问题一般有两个思路：一是直接去找存在 的点、线、面或是一
些其他的量；二是首先假设其存在，然后通过推理论证或是计算，如果得出了一个合 理的结果，就说明
S. . . . . ..

.. . .. . .
其存在；如果得出了一个矛盾的结果，就说明其不存在.
【示例】? (本小题满分14分) (2011·)如图，四棱锥
PABCD
中，
PA
⊥底面
ABCD< br>.四边形
ABCD
中，
AB
⊥
AD
，
AB< br>＋
AD
＝4，
CD
＝2，∠
CDA
＝45°.
(1)求证：平面
PAB
⊥平面
PAD
；
(2)设
AB
＝
AP
.
(ⅰ)若直线
PB
与平面
PCD
所成的角为30°，求线段
AB
的长；
(ⅱ)在线 段
AD
上是否存在一个点
G
，使得点
G
到点
P、
B
、
C
、
D
的距离都相等？
[解答示] (1)因为
PA
⊥平面
ABCD
，
AB
?平面
AB CD
，
所以
PA
⊥
AB
.
又
AB⊥
AD
，
PA
∩
AD
＝
A
， 所以
AB
⊥平面
PAD
.
又
AB
?平面
PAB
，所以平面
PAB
⊥平面
PAD
.(4分)
(2)以
A
为坐标原点，建立空间直角坐标系
Axyz
(如图)．
在平面
ABCD
，作
CE
∥
AB
交
AD< br>于点
E
，
则
CE
⊥
AD
.
在Rt△
CDE
中，
DE
＝
CD
·cos 45°＝1，
CE
＝
CD
·sin 45°＝1.
设
AB
＝
AP
＝
t
，则
B
(
t,
0 ,0)，
P
(0,0，
t
)． 由
AB
＋
AD
＝4得，
AD
＝4－
t
，
→
＝(0,4－
t
，－
t
)．(6分) 所以
E< br>(0,3－
t,
0)，
C
(1,3－
t,
0)，D
(0,4－
t,
0)，
C
→
D
＝(－1,1 ,0)，
PD
(ⅰ)设平面
PCD
的法向量为
n
＝(
x
，
y
，
z
)，
?
－
x
＋< br>y
＝0，
→→
由
n
⊥
CD
，
n⊥
PD
，得
?

4－
ty
－
tz＝0.
?
取
x
＝
t
，得平面
PCD
的 一个法向量
n
＝(
t
，
t,
4－
t
)．
又
P
→
B
＝(
t,
0，－
t
)，
?
n
·
P
→
?
2
B
|2
t
－4
t
|
??
故由直线
PB
与平面
PC D
所成的角为30°得cos 60°＝
?
即
22
＝
22< br>?
，
→
t
＋
t
＋4－
t
·2
t
?
|
n
|·|
PB
|
?
1
，
2
44
解得
t
＝或
t
＝4(舍去)，因为
AD
＝4－
t
＞0，所以
AB
＝.(9分)
55

S. . . . . ..

.. . .. . .

(ⅱ)法一 假设在线段
AD
上存在一个点
G
，使得点
G< br>到
P
，
B
，
C
，
相等，
设
G
(0，
m,
0)(其中0≤
m
≤4－
t
)，
则
G
→
C
＝(1,3－
t
－
m,
0)，
G
→
D
＝(0,4－
t
－
m,
0) ，
G
→
P
＝(0，－
m
，
t
)．
D
的距离都
→
|得1
2
＋(3－
t
－
m
)
2
＝(4－
t
－
m
)
2
， 即
t
＝3－
m
；(1) 由|
G
→
C
|＝ |
GD
→
|＝|
G
→
由|
GDP
|得(4 －
t
－
m
)
2
＝
m
2
＋
t
2
.(2)
由(1)、(2)消去
t
，化简得
m
2
－3
m
＋4＝0.(3)(12分)
由于方程(3)没有实数根，所以 在线段
AD
上不存在一个点
G
，使得点
G
到点
P< br>、
C
、
D
的距离都相等．从
而，在线段
AD
上不存在一个点
G
，使得点
G
到点
P
、
B
、
C
、
D
的距离都相等．(14分)
法二 (1)同法一． (2)(ⅰ)以
A
为坐标原点，建立空间直角坐标系
Axyz
(如图)．
在平面
ABCD
，作
CE
∥
AB
交
AD< br>于点
E
，则
CE
⊥
AD
.
在Rt△
CDE
中，
DE
＝
CD
·cos 45°＝1，
CE
＝
CD
·sin 45°＝1.
设
AB
＝
AP
＝
t
，则
B
(
t,
0,0 )，
P
(0,0，
t
)， 由
AB
＋
AD
＝4得
AD
＝4－
t
.
所以
E
(0,3－
t,
0)，
C
(1,3－t,
0)，
D
(0,4－
t,
0)，
S. . . . . ..

.. . .. . .

→
＝(0,4－
t
，－
t
)．
C
→< br>D
＝(－1,1,0)，
PD
→
，
n
⊥
P< br>→
设平面
PCD
的法向量为
n
＝(
x
，y
，
z
)， 由
n
⊥
CDD
，
?
－
x
＋
y
＝0，
得
?
取
x
＝
t
，得平面
PCD
的一个法向量
n
＝(
t，
t,
4－
t
)．
?
4－
ty
－
tz
＝0.
?
n
·
P
→
?
B
→
?
， 又
PB
＝ (
t,
0，－
t
)，故由直线
PB
与平面
PCD< br>所成的角为30°得cos 60°＝
?
??
→
|
n
|·|
PB
|
??
1
即
22
＝，
t＋
t
＋4－
t
2
·2
t
2
2
44
解得
t
＝或
t
＝4(舍去，因为
AD
＝4－< br>t
＞0)，所以
AB
＝.
55
法二 假设在线段
AD
上存在一个点
G
，使得点
G
到点
P
，
B
，
C
，
D
的距离都相等．
由
GC
＝< br>GD
，得∠
GCD
＝∠
GDC
＝45°，
从而∠
CGD
＝90°，即
CG
⊥
AD
， 所以
GD
＝
CD
·cos 45°＝1.
设
AB
＝
λ
，则
AD
＝4－
λ
，
AG
＝
AD
－
GD
＝3－
λ
，(11分)
在Rt△
ABG
中，
GB
＝
AB
＋
A G
＝
λ
＋
这与
GB
＝
GD
矛盾．
所以在线段
AD
上不存在一个点
G
，使得点
G
到点
B
，
C
，
D
的距离都相等．
从而，在线段
AD
上不存在一个点
G
，使得点
G
到点
P
，
B
，
C
，
D
的距离都相等．(14分)
[解答示] ∵函数
y
＝
c
x
在R上单调递减， ∴0＜
c
＜1.(2分)
S. . . . . ..
222

|2
t
2
－4
t
|
3－
λ
2
＝
3
?
2
9
?
2
?
λ
－
?
＋＞1，
2
?
2
?

.. . .. . .
?
1
?
即
p
：0＜
c
＜1.∵
c
＞0且< br>c
≠1，∴綈
p
：
c
＞1.(3分) 又∵
f(
x
)＝
x
－2
cx
＋1在
?
，＋∞
?
上为增函数，
?
2
?
2
111
∴c
≤.即
q
：0＜
c
≤. ∵
c
＞0且
c
≠1，∴綈
q
：
c
＞且
c
≠1.(6分 )
222
又∵“
p
∨
q
”为真，“
p
∧
q
”为假，∴
p
真
q
假或
p
假
q
真．(7分)
?
1
??
?
?
1
①当p
真，
q
假时，{
c
|0＜
c
＜1}∩
?
c
|
c
＞且
c
≠1
?
＝
?< br>c
?
＜
c
＜1
?
；(9分)
22

??
?
?
?
②当
p
假，
q
真时， {
c
|
c
＞1}∩
?
?
1
?
?< br>c
|0＜
c
≤
2
?
?
＝?.(11分) < br>综上所述，实数
c
的取值围是
?
?
?
c
?< br>?
1
?
2

＜
c
＜1
?
?
?
.(12分)


S. . . . . ..