第三章 函数的概念与性质-天津市蓟州区擂鼓台中学人教版(2019)高中数学必修第一册知识点

必修 第一册 第三章 函数的概念与性质
3.1 函数的概念及其表示 1．函数的概念：一般地，设A、B是非空的数集，如果对于集合A中的任意一个数x，
按照某种确 定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B
为从集合A到集合B的 一个函数。记作：y=f(x)，x∈A。其中，x叫做自变量，x的取值范
围A叫做函数的定义域；与 x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫
做函数的值域。
2．构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域
（1）函数的定义域的求法：①自然型：解 析式自身有意义，如分式函数的分母不为零，
偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数 ；
②实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量x的实际意义。
③初中学过的几种基本函数的定义域与值域：
函数 定义域
R
R
值域
R
y?kx?b(k?0)

y?ax
2
?bx?c,a?0

4ac?b
2
a?0.时，{y|y?}
4a

4ac?b
2
a?0.时，{y|y?}
4a

{y|y≠0}
y?

k
,k?0

x
{x|x≠0}
（2）求函数的值域的方法：①配方法（将函数转化为二次函数） ；②不等式法（运用
不等式的各种性质）；③函数法（运用函数的单调性、函数图象等）。
（ 3）两个函数的相等：当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分别相同时，这两个
函数才是同一个函数 。
3．常用的函数表示法
（1）解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示， 这个等式叫做函数的
解析表达式，简称解析式；
（2）列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；
（3）图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系。
4．分段函数：若一个函数的定义 域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，
这种函数又称分段函数；
5.区间的概念：设a,b是两个实数，且a（1）满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做闭区间，表示[a,b];
（2）满足不等式a（3）满足不等 式a≤xa,b都叫做区间的端点。
（4）代数与几何表示对照表（数轴上用实心点表示包括在区间内 的端点，用空心点表
示不包括在区间内的端点）

（5）

3.2 函数的基本性质
1．单调性：（1）定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I， 区间D
?I
:
①
?
x
1
，x
2
∈D，当x
1
2
时，都有f(x
1
)2
)，那么就说f(x)在区间D上是增函数；特别地，
当函数f(x)在它的定义域上单调 递增时，我们成它是增函数。
②
?
x
1
，x
2
∈D，当x
1
2
时，都有f(x
1
)>f(x
2
)，那么就说f(x)在区间D上是减函数；特别地，
当函数f(x)在它的定义域上单调递 减时，我们成它是减函数。
（2）如果函数y=f(x)在某个区间D上是增函数或是减函数，那么就 说函数y=f(x)在这一
区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。
（3）判断函数单调性的方法步骤： ① 任取x
1
，x
2
∈D，且x
1
2
； ②作差f(x
1
)－f(x
2
)；
③ 变形（通常是因式分解和配 方）；④定号（即判断差f(x
1
)－f(x
2
)的正负）；⑤下结论（即< br>指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）。
2．最大（小）值：
（1）最大值 ：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：①对于
?
x
∈I ，都有f(x)≤M；②
?
x
0
∈I，使得f(x
0
) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最大值。
（2）最小值：一般地，设函数y=f(x)的定义域 为I，如果存在实数M满足：①对于
?
x
∈I，都有f(x)≥M；②
?x
0
∈I，使得f(x
0
) = M。那么，称M是函数y=f(x)的最小值。
（3）求最值的方法：①利用函数单调性；②利用不等式或基本不等式；③函数图像等。
3.奇偶性：
（1）定义：①一般地，设函数f(x)定义域内为I，如果
?
x∈I,都有-x∈I,且f(－x)=f(x)，
则称f(x)为偶函数；
②一般地， 设函数f(x)定义域内为I，如果
?
x∈I,都有-x∈I,且f(－x)=-f(x)，则 称f(x)为
奇函数；
③如果函数f(x)不具有上述性质，则f(x)不具有奇偶性.如果 函数同时具有上述两条性质，

则f(x)既是奇函数，又是偶函数。
（2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ①首先确定函数的定义域，并判断其定义域
是否关于原点对称； ② 确定f(－x)与f(x)的关系； ③ 得出结论：
（3）图象的对称性质：一个函数是奇函数的充 要条件是它的图象关于原点对称；一个函数
是偶函数的充要条件是它的图象关于y轴对称；
3.3 幂函数
1．幂函数：一般地，
y?x
?
叫做幂函数，其 中x是自变量，
?
是常数。
2．几个幂函数的性质：

定义域
值域
奇偶性
单调性
公共点
图象
3.图像：
y?x

R
R
奇函数
增函数
y?x

R
2
y?x

R
R
奇函数
增函数
（1，1）
都不过的第4象限
3
y?x

[0,??)

[0,??)

非奇非偶函
数
增函数
1
2
y?x
?1

{x|x≠0}
{y|y≠0}
奇函数
原点左右都
为减
[0,??)

偶函数
先减再增