高二立体几何与直线方程的知识点总结

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立体几何初步
1、 柱、锥、台、球的结构特征


2、空间几何体的三视图
定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、
俯视图（从上向下）
注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系，即反映了物体的高度和长度；
俯视图反映了物体左右、前后的位置关系，即反映了物体的长度和宽度；
侧视图反映了物体上下、前后的位置关系，即反映了物体的高度和宽度。
3、空间几何体的直观图——斜二测画法
斜二测画法特点：①原来与x轴平行的线段仍然与x平行且长度不变；
②原来与y轴平行的线段仍然与y平行，长度为原来的一半。
4、柱体、锥体、台体的表面积与体积
（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和。
（2）特殊几何体表面积公式（c为底面周长，h为高，
h
'
为斜高，l为母 线）


S
圆柱表
?2
?
r
?
r?l
?

S
圆锥表
?
?
r
?
r?l
?

S
圆台表
?
?
?
r
2
?rl?Rl?R< br>2
?

（3）柱体、锥体、台体的体积公式
V
柱
?Sh
，
V
圆柱
?Sh?
?
r
2
h
，
V
1
3
Sh
1
2
锥
?
，
V
圆锥
?
3
?
rh

V?
1
3
(S
'
台
?S
'
S?S)h
V?1
''
1
圆台
3
(S?SS?S)h?
3
?< br>(r
2
?rR?R
2
)h

（4）球体的表面积和体 积公式：
V
球
=
4
3
?
R
3
；
S
球面
=4
?
R
2

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二 、点、直线、平面之间的关系
（一）、立体几何网络图：
⑹
公理4
⑴
线线平行
⑵
⑶
线面平行
⑷
⑸
面面平行
⑾
⑿
⒀
⒁
三垂线定理
⑺
线线垂直
⑼ ⒂
⑽
线面垂直
⒃
面面垂直
三垂线逆定理
⑻

1、线线平行的判断：
（1）、平行于同一直线的两直线平行。
（3 ）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么
这条直线和交线平行。
（6）、如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
（12）、垂直于同一平面的两直线平行。
2、线线垂直的判断：
（7）、在平 面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和
这条斜线垂直。
（8） 、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线
的射影垂直。
（10）、若一直线垂直于一平面，这条直线垂直于平面内所有直线。
补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。
3、线面平行的判断：
（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面
平行。
（5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面。
判定定理：


性质定理：


★判断或证明线面平行的方法
⑴ 利用定义(反证法)：
lI
?
??
，则
l
∥α (用于判断)；
⑵ 利用判定定理：线线平行线面平行 (用于证明)；
⑶ 利用平面的平行：面面平行线面平行 (用于证明)；
⑷ 利用垂直于同一条直线的直线和平面平行(用于判断)。
2

线面斜交和线面角：
l
∩ α = A
2.1 直线与平面所成的角(简称 线面角)：若直线与平面斜交，
则平面的斜线与该斜线在平面内射影的夹角θ。
2.2 线面角的范围：θ∈[0°，90°]

注意：当直线在平面内或者直线平行于平面时，θ=0°；
当直线垂直于平面时，θ=90°
图2-3 线面角
4、线面垂直的判断：
⑼如果一直线和平面内的两相交直线垂直，这条直线就垂直于这个平面。
⑾如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。
⒁一直线垂直于两个平行平面中的一个平面，它也垂直于另一个平面。
⒃如果两个平面垂直，那么在—个平面内垂直于交线的直线必垂直于另—个平面。

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判定定理：





性质定理：（1）若直线垂直于平面，则它垂直于平面内任意一条直线。
即：

（2）垂直于同一平面的两直线平行。
即：
★判断或证明线面垂直的方法
⑴ 利用定义，用反证法证明。
⑵ 利用判定定理证明。
⑶ 一条直线垂直于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面。
⑷ 一条直线垂直于两平行平面中的一个，则也垂直于另一个。
⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另
一平面。
★1.5 三垂线定理及其逆定理

⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，
斜线相等则射影相等，斜线越长则射影越长，垂线段最短。
如图：

⑵ 三垂线定理及其逆定理

已知PO⊥α，斜线PA在平面α内的射影为OA，a是平面
图2-7 斜线定理
α内的一条直线。
① 三垂线定理：若a⊥OA，则a⊥PA。即垂直射影则
垂直斜线。
② 三垂线定理逆定理：若a⊥PA，则a⊥OA。即垂直
斜线则垂直射影。
图2-8 三垂线定理
⑶ 三垂线定理及其逆定理的主要应用
① 证明异面直线垂直；
② 作出和证明二面角的平面角；
③ 作点到线的垂线段。
5、面面平行的判断：
⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行。
⒀垂直于同一条直线的两个平面平行。
6、面面垂直的判断：
⒂一个平面经过另一个平面的垂线，这两个平面互相垂直。
判定定理：

性质定理：

⑴ 若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为
90°
；
（2）



（3）

图2-10 面面垂直性质2



（4）


图2-11 面面垂直性质3

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（二）、其他定理：
（1）确定平面的条件：①不公线的三点；②直线和直线外一点；③相交直线；
（2）直线与直线的位置关系： 相交 ； 平行 ； 异面 ；
直线与平面的位置关系： 在平面内 ； 平行 ； 相交（垂直是它的特殊情况） ；
角形）
（1）异面直线所成的 角：通过直线的平移，把异面直线所成的角转化为平面内相交
直线所成的角。异面直线所成角的范围：< br>0
o
?
?
?90
o
；
（2）线面所成的角：①线面平行或直线在平面内：线面所成的角为
0
o
； ②线面垂
平面与平面的位置关系： 相交 ；； 平行 ；
（3）等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；
如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行，那么这两组直线所
成的锐角(或直角)相等；
4）射影定理（斜线长、射影长定理）：从平面外一点向这个平面所引的垂线段和
斜线段中，射 影相等的两条斜线段相等；射影较长的斜线段也较长；
反之，斜线段相等的射影相等；斜线段较长的射影 也较长；垂线段
比任何一条斜线段都短。
5）最小角定理：斜线与平面内所有直线所成的角中最小的是与它在平面内射影所
成的角。
（6）异面直线的判定：

①反证法；
②过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不过该点的直线是异面直线。
（7）过已知点与一条直线垂直的直线都在过这点与这条直线垂直平面内。
（8）如果—直线平行于两个相交平面，那么这条直线平行于两个平面的交线。
（三）、唯一性定理：
（1）过已知点，有且只能作一直线和已知平面垂直。
（2）过已知平面外一点，有且只能作一平面和已知平面平行。
（3）过两条异面直线中的一条能且只能作一平面与另一条平行。
四、空间角的求法：（所有 角的问题最后都要转化为解三角形的问题，尤其是直角三
直：线面所成的角为
90
o< br>；
③斜线与平面所成的角：范围
0
o
?
?
?90< br>o
；即也就是斜线与它在平面内的射影所成
的角。
线面所成的角范围
0
o
?
?
?90
o

（3）二面角：关键是找出二面角的平面角。方法有：①定义法；②三垂线定理法；
③垂面法；
二面角的平面角的范围：
0
o
?
?
?180
o；
五、距离的求法：
（1）点点、点线、点面距离：点与点之间的距离就是两点之间线 段的长、点与线、
面间的距离是点到线、面垂足间线段的长。求它们首先要找到表示距离的线段，然后再计算。
注意：求点到面的距离的方法：
①直接法：直接确定点到平面的垂线段长（垂线段一般在二面角所在的平面上）；
②转移法：转化为另一点到该平面的距离（利用线面平行的性质）；
③体积法：利用三棱锥体积公式。


（
（

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第三章 直线与方程


1、直线的倾斜角与斜率
（1）直线的倾斜角
① 关于倾斜角的概念要抓住三点：
ⅰ.与x轴相交; ⅱ.x轴正向; ⅲ.直线向上方向.
② 直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角为
0
0
.
③ 倾斜角
?
的范围
0
0
?
?
?180
0
.
④
0??
?
?90?,k?0
；
90??
?
?180?,k?0

（2）直线的斜率
①直 线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为
90
0
的直线斜率不存在。
②经过两点
P
1
(x
1
,y
y
2
?y1
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
（
x
1
?x
2
）的直线的斜率公式是
k?
x2
?x
1
x
1
?x
2
）
③每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。
2、两条直线平行与垂直的判定
（1）两条直线平行
对于两条不重合的直线
l
1
,l
2< br>，其斜率分别为
k
1
,k
2
，则有
l
1l
2
?k
1
?k
2
。
特别地，当直线
l
1
,l
2
的斜率都不存在时，
l
1
与l
2
的关系为平行。
（2）两条直线垂直
如果两条直线
l
1,l
2
斜率存在，设为
k
1
,k
2
，则
l
1
?l
2
?k
1
k
2
??1

二、直线的方程
1、直线方程的几种形式
名称 方程的形式 已知条件 局限性
点斜式
y?y
1
?k(x?x
1
)

( x
1
,y
1
)
为直线上一定点，
不包括垂直于x轴
k
为斜率
的直线
斜截式
y?kx?b

k
为斜率，
b
是直线在y不包括垂直于x轴
轴上的截距 的直线
两点式
y?y
1
x
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
)
是直线上
不包括垂直于x轴
y
?
?x
1
2
?y
1
x
2
?x< br>1
两定点
和y轴的直线
(其中x
1
?x
2
,y
1
?y
2
)

截距式
x
?
y
ab
?1

a
是直线在x轴上的非 零不包括垂直于x轴
截距，
b
是直线在y轴上和y轴或过原点的
的非零截距 直线
一般式
Ax?By?C?0
A
，
B
，
C
为系数 无限制，可表示任
(其中A,B不同时为0）

何位置的直线
2、线段的中点坐标公式
若两点
P
1
(x
1
,y
1
),P
2
(x
2
,y
2
)
，且 线段
P
1
,P
2
的中点
M
的坐标为
(x, y)
，则
?
?
x
1
?x
2
?
x?
?
2
?
y?

?
?
y?
1
y
2
2
（

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3. 过定点的直线系
①斜率为
k
且过定点
(x
0
,y< br>0
)
的直线系方程为
y?y
0
?k(x?x
0
)
；
②过两条直线
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
的交点的直线系方程为
A
1
x?B
1
y?C
1
?
?
(A
2
x ?B
2
y?C
2
)?0
（
?
为参数），其中直线< br>l
2
不在直线系中.
三、直线的交点坐标与距离公式
1.两条直线的交点
设两条直线的方程是
l
1
:A
1x?B
1
y?C
1
?0
,
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
两条直线的交
点 坐标就是方程组
?
?
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
?0
的解，
?
A
2
x?B
2y?C
2
若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；
若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。
2.几种距离
（1）两点间的距离
平面上的两点
P
1
,y
1
) ,P
2
(x
2
,y
2
)
间的距离公式
P( x
2
1
(x
1
P
2
?
2
?x1
)?(y
2
?y
1
)
2

特别地， 原点
O(0,0)
与任一点
P(x,y)
的距离
OP?x
2
?y
2

（2）点到直线的距离
点
P(x
Ax< br>0
?By
0
?C
0
,y
0
)
到直线
l:Ax?By?C?0
的距离
d?
A
2
?B
2< br>
（3）两条平行线间的距离
两条平行线
l
1
:Ax?By?C
1
?0
,
l< br>C
2
?C
1
2
:Ax?By?C
2
?0间的距离
d?
A
2
?B
2

补充：
1、直线的倾斜角与斜率

2、利用斜率证明三点共线的方法：
已知A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
),C(x
3
,y
3
),
若
x
1
?x2
?x
3
或k
AB
?k
AC
，则有A、B、C 三点共
线。
注：斜率变化分成两段，
90
0
是分界线，遇到斜率要 谨记，存在与否需讨论。
3. 两条直线位置关系的判定：
已知
l
1
:Ax?By?C
1
?0
,
l
2
:Ax?By?C
2
?0
，
如果
A
2
B
2
C
2
?0
时，则：
(1)
ll
A
1
A
1
?
2
?B
?
2
??1

1
B
2
(2)
ll
A
1
BC
1
1

2
?
A?
1
B
?(A
2
,B
2
,C
2
不为0）
；
22
C
2
(3)
l
l
AB C
1
与
2
重合
?
1
A
?
1
B
?
1
(A
2
,B
2
,C
2
不 为0）

22
C
2
(4)
l
A
1
B
1
与
l
2
相交
?
A
?
1
(A
2
,B
2
不为0）

2
B
2