高一数学下册第二单元直线平面垂直的判定及其性质知识点及练习题(含答案)

2.3直线、平面垂直的判定及其性质
2.3.1直线与平面垂直的判定
1、定义
如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直， 记作L⊥α，直
线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一 公共点P叫做垂足。
L

p
α

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。
注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；
b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。
2.3.2平面与平面垂直的判定
1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形
A
梭 l β
B
α
2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β
3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。
2.3.3 — 2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质
1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。
2性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

直线、平面垂直的判定及其性质
一、选择题
1、“直线
l
垂直于平面?内的无数条直线”是“
l
⊥?” （ ）
A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、既不充分也不必要条件
2、如果一 条直线
l
与平面?的一条垂线垂直，那么直线
l
与平面?的位置关系是 （ ）
A、
l
?? B、
l
⊥? C、
l
∥? D、
l
??或
l
∥?
3、若两直线a⊥b，且a⊥平面?，则
b
与?的位置关系是 （

）
A、相交 B、b∥? C、b?? D、b∥?，或b??
4、a∥
?
，则a平行于
?
内的( )
A、一条确定的直线 B、任意一条直线
C、所有直线 D、无数多条平行线
5、如果直线a∥平面
?
，那么直线a与平面
?
内的 ( )
A、一条直线不相交 B、两条直线不相交
C、无数条直线不相交 D、任意一条直线都不相交
6、若直线l 上有两点P、Q到平面
?
的距离相等，则直线l与平面
?
的位置关系是( )
A、平行 B、相交
C、平行或相交 D、平行、相交或在平面
?
内
二、填空题
7、过直线外一点作直线的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平行平
面有 个.
8、过平面外一点作该平面的垂线有 条；垂面有 个；平行线有 条；平
行平面有 个.
9、过一点可作________个平面与已知平面垂直.
10、过平面α的一条斜线可作_________个平面与平面α垂直.
11、过平面α的一条平行线可作_________个平面与平面α垂直.
三、解答题
12、求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面

13、过一点和已知平面垂直的直线只有一条


14、有 一根旗杆
AB
高
8m
，它的顶端
A
挂一条长
10m
的绳子，拉紧绳子并把它的下端
放在地面上的两点（和旗杆脚不在同一直线上）
C,D
，如果这两点都和旗杆脚
B
的距离是
6m
，那么旗杆就和地面垂直， 为什么？




15、已知直线
l
⊥平面α，垂足为A，直线AP⊥
l

求证：AP在α内



参考答案
一、选择题
1、B；2、D；3、D；4、D；5、D；6、D
二、填空题
7、无数，一，一，无数
8、一，无数，无数，一
9、无数
10、一个
11、一个
三、解答题
12、已知：a∥b,a⊥
?

求证：b⊥α

证明：设
m
是
?
内的任意一条直线
am
b
?
a?
?
?
?
?a?m
?
?

?
m?
?
?
b?m
?
ab
?
?
?b?
?
m?
?
?

13、已知：平面
?
和一点P
?
P
求证：过点P与
?
垂直的直线只有一条
证明：不论< br>P
在平面
?
内或外，设直线
PA?
?
，垂足为
A
（或
P
）
?
A
B
a
若另一直线PB?
?
，设
PA,PB
确定的平面为
?
，且
?
I
∴
PA?a,PB?a

又∵
PA,PB
在平面
?
内，与平面几何中的定理矛盾
所以过点
P
与
?
垂直的直线只有一条
?
?a

B
?
A
?
P

14、解：在
?ABC
和
?ABD
中，
∵
AB?8m,BC?BD?6m,AC?AD?10m

∴
AB?BC?6?8?10?AC

222222
A
C< br>?
B
D
AB
2
?BD
2
?6
2?8
2
?10
2
?AD
2

∴
?ABC??ABD?90

即
AB?BC,AB?BD

又∵
B,C,D
不共线
∴
AB?
平面
BCD
，即旗杆和地面垂直；
15、证明：设AP与
l
确定的平面为β如果AP不在α内，
o
则可设α与β相交于直线AM
∵
l
⊥α，∴
l
?
AM又AP⊥
l
，于是在平面β内过点A有两条直线垂直于
l
，这 是不可
能的所以AP一定在α内