函数的单调性知识点及例题解析

名师总结 优秀知识点
函数的单调性知识点及例题解析
知识点一：基本概念（增减函数、增减区间、最大最小值）
知识点二：函数单调性的判定方法（常用的）
（1） 定义法（基本法）；
①取值 ：任取
x
1
,x
2
?D
，且
x
1
?x
2
；②作差：
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
；
③变形：通常是因式分解或配方；④定号：即判断差
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
的正负；
⑤下结论：即指出函数
f
?
x
?
在给 定区间
D
上的单调性.
（2） 利用已知函数的单调性；（现所知道的一次函数，一元二次函数，反比例函数，能够画出图像的函数）
（3）
利用函数的图像；
y?x
，
y?x?2
，
y?2?
1
.
x?2
（4） 依据一些常用结论及复合函数单调性的判定方法；
①两个增（减）函数的和仍为增（减）函数；②一个 增（减）函数与一个减（增）函数的差是增（减）函数；
?如果
y?f(u)和u?g(x)
单调性相同，那么
y?f[g(x)]
是增函数；如果
y?f(u)和u?g (x)
单调性相
反，那么
y?f[g(x)]
是减函数.对于复合函数的单调 性，列出下表以助记忆.
y?f(u)







u?g(x)



y?f[g(x)]





上述规律可概括为“同增，异减”
知识点三：函数单调性的应用
利用函数的单调性可以比较函数值的大小；利用函数的单调性求参数的取值范围；

附 加：
①
y?ax?b
?
a?0
?
的单调性：
a?0
增函数，
a?0
减函数；
②
y?
k
?
k ?0
?
的单调性：
k?0
减区间
?
??,0
?,
?
0,??
?
；
k?0
增区间
?
? ?,0
?
,
?
0,??
?
；
x
2
③
y?ax?bx?c
?
a?0
?
的单调性：
a?0，减区间
?
??,?
?
?
b
??
b
?
?,??
，增区间
?
；
??
2a
??
2 a
?
b
???
b
?
a?0
，增区间
???,?
?
，减区间
?
?,??
?
；
2a< br>???
2a
?
④
f
?
x
?
在区间< br>A
上是增（减）函数，则
k?0
时，
kf
?
x
?
在
A
上是增（减）函数；
k?0
时则相反；
⑤若f
?
x
?
、
g
?
x
?
是区间
A
上的增（减）函数，则
f
?
x
?
?g
?
x
?
在区间
A
上是增（减）函数；
⑥若
f
?
x
?
?0
且在区间
A
上是增（减）函数，则
函 数；
1
在
A
上是减（增）函数，
f
?
x
?
f
?
x
?
在
A
上是增（减）

名师总结 优秀知识点
1.函数y=x+4x﹣1的递增区间是什么？
分析：根据二次函数的开口方向和对称轴可判断出在对称轴右侧单调递增
2
解：∵函数y=x+4x﹣1的图象开口向上，对称轴为x=﹣2，
2
∴ y=x+4x﹣1在（﹣∞，﹣2）上单调递减，在（﹣2，+∞）上单调递增．故答案为（﹣2，+∞）．

2
2.函数y=x﹣6x+5在区间（0，5）上是（ ）
A递增函数B递减函数C先递减后递增D先递增后递减
分析：本题考察函数单调性的判断与证明，根据二次函数的图象与性质直接进行求解即可
22 2
解：∵y=x﹣6x+5?y=（x﹣3）﹣4，∴对称轴为x=3，根据函数y=x﹣6x+5可知 a=1＞0，抛物线开口朝上，
∴函数图象在（﹣∞，3]上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，
∴在函数在（0，5）上先递减后递增，故选C

3.如图，已知函数y=f（x） ，y=g（x）的图象（包括端点），根据图象说出函数的单调区间，以及在每一个区间
上，函数是增函 数还是减函数．
分析：本题考察函数单调性的性质，根据函数单调性和
图象之间的关系进行求解即可
解：（1）由图象知函数在[﹣2，﹣1]，[0，1]上为减函数，
则[-1，0]，[1，2]上为增函数，
即函数的单调递增区间为[-1，0]，[1，2]，
函数单调递减区间为[-2，-1]，[0，1]
2）由图象知函数在[-3，-1.5]， [1.5，3]上为减函数，则[﹣1.5，1.5]上为增函数，
即函数的单调递增区间为[-3， -1.5]，[1.5，3]，函数单调递减区间为[﹣1.5，1.5]

2
4.已知函数f（x）=x﹣2ax+1在（-∞，1〕上是减函数，求实数a的取值范围
分析：如图，先求出对称轴方程，利用开口向上的二次函数在对称轴右边递增，
左边递减，比较区间端点和对称轴的大小即可
解：因为开口向上的二次函数在对称轴右边递增 ，左边递减；而其对称轴为x=a，又在（-∞，1〕上是减函数，
故须a≥1
2
5 .已知函数f（x）=x+4（1﹣a）x+1在[1，+∞）上是增函数，求a的取值范围
分析：通 过二次函数的解析式观察开口方向，再求出其对称轴，根据单调性建立不等关系，求出a的范围即可
2
解：函数f（x）=x+4（1﹣a）x+1是开口向上的二次函数，其对称轴为x=2（a﹣1），
根据二次函数的性质可知在对称轴右侧为单调增函数，所以2（a﹣1）≤1，解得a≤1.5

2
6.若函数y=x+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，6）上递减，求a的取值范围 分析：由f（x）在区间（﹣∞，6]上递减知：（﹣∞，6]为f（x）减区间的子集，由此得不等式，解 出即可．
解：f（x）的单调减区间为：（﹣∞，1﹣a]，又f（x）在区间（﹣∞，6]上递减，
所以（﹣∞，6]?（﹣∞，1﹣a]，则1﹣a≥6，解得a≤﹣5，所以a的取值范围是（﹣∞，﹣ 5]
7.如图，分析函数y=|x+1|的单调性，并指出单调区间
分析：去掉绝对值，根据基本初等函数的图象与性质，即可得出函数y的单调性
与单调区间．
2
解：∵函数y=|x+1|=；∴当x＞﹣1时，y=x+1，是单调增
函数，单 调增区间是（0，+∞）；当x＜﹣1时，y=﹣x﹣1，是单调减函数，单调减区间是（﹣∞，0）

名师总结 优秀知识点
8.求函数f（x）=x﹣2x+5在区间[﹣2，2]上的最大值与最小值
242
分析：本题考察二次函数在闭区间上的最值，菁令t=x，可得0≤t≤4，根据二次函数g（t）=f（x）= x﹣2x+5=
2
（t﹣1）+4 的对称轴为t=1，再利用二次函数的性质求得函数g（t） 在区间[0，4]上的最值．
2422 2
解：令t=x，由﹣2≤x≤2，可得0≤t≤4，由于二次函数g（t）=f（x）=x﹣2x+5 =t﹣2t+5=（t﹣1）+4 的对
称轴为t=1，则函数g（t） 在区间[0，4]上的最大值是g（4）=13，最小值为 g（1）=4，故答案为 13，4．

9.证明函数在[﹣2，+∞）上是增函数
分析：本题考查的是函数单调性的判断与证明，在 解答时要根据函数单调性的定义，先在所给的区间上任设两个
数并规定大小，然后通过作差法即可分析获 得两数对应函数值之间的大小关系，结合定义即可获得问题的解答
证明：任取x
1
， x
2
∈[﹣2，+∞），且x
1
＜x
2
，则f（x
1
）－f（x
2
）=
x
1
?2
－
x
2
?2

=
42
(x
1
?2?x
2?2)(x
1
?2?x
2
?2)
x
1
?2?x
2
?2
=
x
1
?x
2
x
1
?2?x
2
?2
，
因为x
1
-x
2
＜ 0，
x
1
?2
+
x
2
?2
＞0，
得f（x
1
）＜f（x
2
）所以函数
10.函数f（x）=
在[﹣2，+∞）上是增函数．
，①用定义证明函数的单调性并写出单调区间；
②求f（x）在[3，5]上最大值和最小值
分析：①分离常数得到f（x）=，根据反比例 函数的单调性便可看出f（x）的单调递增区间为（﹣∞，
﹣1），（﹣1，+∞），根据单调性的定义 证明：设任意的x
1
，x
2
≠﹣1，且x
1
＜x
2
，然后作差，通分，说明x
1
，x
2
∈（﹣∞，﹣1），或x
1
，x
2
∈（﹣1，+∞）上时都有f（x
1
）＜f（x
2
），这样即可得出f（x）的单调区间；
②根据f（x）的单调性便知f（x）在[3，5 ]上单调递增，从而可以求出f（x）的值域，从而可以得出f（x）在
[3，5]上的最大、最小值．
解：①f（x）=
2x?12(x?1)?11
==2-；
x?1x?1x?1
x
1
?x
2
11
-=； x
2
?1
x
1
?1
(x
1
?1)(x
2
?1)
该函数的定义域为{x|x≠﹣1}，设x
1
，x
2
∈{x|x≠﹣1}，
且x
1
＜x
2
，则：f（x
1
）- f（x
2
）=
∵x
1
＜x
2
；∴x
1
﹣x2
＜0；∴x
1
，x
2
∈（﹣∞，﹣1）时，x
1+1＜0，x
2
+1＜0；
x
1
，x
2
∈（ ﹣1，+∞）时，x
1
+1＞0，x
2
+1＞0；∴（x
1
+1）（x
2
+1）＞0；∴f（x
1
）＜f（x
2
）；
∴f（x）在（﹣∞，﹣1），（﹣1，+∞）上单调递增，即f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣1） ，（﹣1，+∞）；
②由上面知f（x）在[3，5]上单调递增；∴f（3）≤f（x）≤f（5） ；∴7／4≤f（x）≤11／6；∴f（x）在[3，
5]上的最大值为11／6，最小值为7／4
1
）=3x．（1）求f（x）的解析式及定义域；（2）指出f（x）的单调区间并加以证明
x
11136
解：（1）由 f(x)+2f()＝3x ①，用代替x，得 f()+2f(x)＝ ②；②×2-①，得 3f(x)＝-3x，
xxxxx
2
所以 f(x)＝-x（x≠0）
x< br>2
（2）由（1），f(x)＝-x（x≠0）其递减区间为（-∞，0）和（0，+∞），无增 区间．
x
11.已知f（x）+2f（
事实上，任取x
1
，x2
∈（-∞，0）且x
1
＜x
2
，
则f(x
1
)-f(x
2
)＝
2(x
1
?x
2
)2 ?x
1
x
2
2
2
-x
1
-+x
2
＝-(x
1
-x
2
)＝(x
2
-x
1)? ，
x
1
x
2
x
1
x
2
x
1
x
2
∵x
1
＜x
2
＜0∴x
2
-x
1
＞0，x
1
x
2
＞0，2+x
1
x
2
＞0，

名师总结 优秀知识点
所以 (x
2
-x
1
)?
2?x
1
x< br>2
＞0，即f（x
1
）＞f（x
2
）故f（x）在（-∞，0 ）上递减．
x
1
x
2
1
在（3，+∞）上是增函数，在（ 2，3]上是减函数
x?2
同理可证其在（0，+∞）上也递减
12.证明：f（x）=x+
分析：利用函数单调性的定义证明．
证明：设任意的x
1
，x
2
∈（3，+∞），且x
1
＜x
2
，
则f（x
1
）﹣f（x
2
）=（x
1
+
(x?2)(x
2
?2)?1
11
）-（x
2
+）=（x
1
﹣x
2
）?
1
，
(x
1
?2 )(x
2
?2)
x
1
?2x
2
?2
∵x< br>1
，x
2
∈（3，+∞），且x
1
＜x
2
， ∴x
1
﹣x
2
＜0，x
1
﹣2＞1，x
2
﹣2＞1，（x
1
﹣2）（x
2
﹣2）＞1，
(x
1?2)(x
2
?2)?1
＜0，∴f（x
1
）﹣f（x
2
）＜0，即f（x
1
）＜f（x
2
），
(x
1
?2)(x
2
?2)
1
∴f（x）=x+在（3，+∞）上是增函数 ．
x?2
∴（x
1
﹣x
2
）?
同理可证，f（x ）=x+
1
在（2，3]上是减函数
x?2
1
的单调性，并画出它的大致图像．
x

【例6】讨论函数f(x)＝x＋
解 定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，任取定义域内 两个值x
1
、x
2
，且x
1
＜x
2
． < br>∵f(x
1
)－f(x
2
)＝(x
1
－x
2
)
x
1
x
2
?1
，又x
1
－x< br>2
＜0，
x
1
x
2

∴当0＜x
1
＜x
2
≤1或－1≤x
1
＜x
2
＜0时，有x1
x
2
－1＜0，x
1
x
2
＞0，f(x1
)＞f(x
2
)
∴f(x)在(0，1]，[－1，0)上为减函数．
当1≤x
1
＜x2
或x
1
＜x
2
≤－1时，有x
1
x
2
－1＞0，x
1
x
2
＞0，f(x
1
)＞f(x
2
)，
∴f(x)在(－∞，－1]，[1，＋∞)上为增函数．
根据上面讨论的单调区间的结果，又x＞0时，f(x)
min
＝f(1)＝2，
当x＜0时，f(x)
max
＝f(－1)＝－2．
由上述的单调区间及最值可大致画出图像。
函数y＝|x
2
－2x－3|的单调增区间是________．
【解析】 y＝|x
2
－2x－3|＝|(x－1)
2
－4|，
作出该函数的图像(如图)．

由图像可知，其增区间为[－1,1]和[3，＋∞)．