《直线的方程》全章知识点总结及典型例题

直线的方程
一、考点、热点回顾
知识点一、直线的方程

已知条件
点P(x
0
，y
0
)和斜
点斜式
率k

不能表示斜率不
y＝kx＋b
y轴上的截距b

P
1< br>(x
1
，
y
1
)
，
P
2
( x
2
，
两点式
y
2
)
，
其中x
1
≠x
2
，
y
1
≠y
2

在x
，
y轴上的截
截距式 距分别为a
，
b
且a≠0
，
b≠0
一般形式


Ax＋By＋C＝0
xy
＋＝
1
ab

斜率存在且
不为0，不过原
点
A，B不同时为0
x
1
≠x
2
，y
1
≠y
2
即不
y－y
1
y
2
－y
1
＝
x－x
1
x
2< br>－x
1

斜率存在且
不为0
能表示与坐标轴
平行的直线
不能表示与坐标
轴平行及过原点
的直线
无
斜率存在
存在的直线
y－y
0
＝k(x－x
0
) 斜率存在
图示 方程形式 适用条件 局限
不能表示斜率不
存在的直线
斜率k和直线在
斜截式

知识点二、线段的中点坐标公式
?
若点P，P的坐标分别为(x，y)， (x，y)，设P(x，y)是线段PP的中点，则
?
y＋y
y＝
?
2
.
12112212
12
x
1
＋x
2
x ＝，
2



知识点三、直线的一般式求直线平行或垂直
设直线l
1
与l
2
的方程分别为A
1
x＋B
1y＋C
1
＝0(A
1
，B
1
不同时为0)，A
2
x＋B
2
y＋C
2
＝0(A
2
，B
2< br>不同时为0)，
?
?
A
1
B
2
－A
2
B
1
＝0，
C
AB
则l
1
∥l
2
?
?
或
1
?
1
?
1
(A、
B
、
C均不为零)
A
2
B
2
C< br>2
?
?
B
1
C
2
－B
2
C
1
≠0或A
1
C
2
－A
2
C
1< br>≠0.
l
1
⊥l
2
?A
1
A
2＋B
1
B
2
＝0.

二、典型例题
考点一、直线的点斜式方程
例1、写出下列直线的点斜式方程．
(1)经过点A(2,5)，且与直线y＝2x＋7平行；
(2)经过点C(－1，－1)，且与x轴平行；
(3)经过点D(1,2)，且与x轴垂直．




变式训练1、(1)经过点(－3,1)且平行于y轴的直线方程是________．
(2 )直线y＝2x＋1绕着其上一点P(1,3)逆时针旋转90°后得到直线l，则直线l的点斜式方程是___ _____．
(3)一直线l
1
过点A(－1，－2)，其倾斜角等于直线l
2
：y＝
3
x的倾斜角的2倍，则l
1
的点斜式方程为_____ ___．
3


考点二、直线的斜截式方程
例2、(1)倾斜角为60°，与y轴的交点到坐标原点的距离为3的直线的斜截式方程是___ __．
(2)已知直线l
1
的方程为y＝－2x＋3，l
2
的方程 为y＝4x－2，直线l与l
1
平行且与l
2
在y轴上的截距相同，求直线l
的方程．


1
变式训练2、已知直线l的斜率为，且和两坐标轴 围成面积为3的三角形，求l的斜截式方程．
6


考点三、直线过定点问题
例3、求证：不论m为何值时，直线l：y＝(m－1)x＋2m＋1总过第二象限.



变式训练3、已知直线l：5ax－5y－a＋3＝0.求证：不论a为何值，直线l总经过第一象限.



考点四、直线的两点式方程
例4、已知A(－3,2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中，
(1)求BC边的方程；
(2)求BC边上的中线所在直线的方程．



变式训练4、若点P(3，m)在过点A(2，－1)，B(－3,4)的直线上，则m＝_ _______.

考点五、直线的截距式方程
命题角度1 与三角形有关的直线方程
例5、过点P(1,3)，且与x轴、y轴的正半轴围成的三角形的面积等于6的直线方程是( )
A．3x＋y－6＝0
C．3x－y＝0


4
变式训练5、直线l过点P(，2)，且与两坐标正半轴围成的三角形周长为12，求直线l的方程．
3


命题角度2 判断直线的条数
例6、过点A(3，－1)且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有( )
A．2条 B．3条 C．4条 D．无数多条

变式训练6、过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线有( )
A．1条 B．2条 C．3条 D．无数多条


考点六、直线的一般式方程
命题角度1 求直线的一般式方程
例7、根据下列条件分别写出直线的方程，并化为一般式方程：
(1)斜率是3，且经过点A(5,3)；
(2)斜率为4，在y轴上的截距为－2；
(3)经过点A(－1,5)，B(2，－1)两点；
(4)在x轴，y轴上的截距分别为－3，－1.




变式训练7、根据条件写出下列直线的一般式方程：
1
(1)斜率是－，且经过点A (8，－6)的直线方程为________________；
2
(2)经过点B(4,2 )，且平行于x轴的直线方程为________________；
3
(3)在x轴和y轴 上的截距分别是和－3的直线方程为________________；
2
(4)经过点P
1
(3，－2)，P
2
(5，－4)的直线方程为____________ ____．

B．x＋3y－10＝0
D．x－3y＋8＝0

命题角度2 由含参数的一般式求参数
例8、设直线l的方程为( m
2
－2m－3)x－(2m
2
＋m－1)y＋6－2m＝0.
(1)若直线l在x轴上的截距为－3，则m＝________；
(2)若直线l的斜率为1，则m＝________.


变式训练8、 若方程(a
2
＋5a＋6)x＋(a
2
＋2a)y＋1＝0表示一条直线，则 实数a满足______．


考点七、由直线的一般式研究直线的平行与垂直
命题角度1 利用两直线的位置关系求参数
例9、(1)已知直线l
1
：2 x＋(m＋1)y＋4＝0与直线l
2
：mx＋3y－2＝0平行，求m的值；
(2 )当a为何值时，直线l
1
：(a＋2)x＋(1－a)y－1＝0与直线l
2
：(a－1)x＋(2a＋3)y＋2＝0互相垂直？


变式训练9、已知直线 l
1
：ax＋2y－3＝0，l
2
：3x＋(a＋1)y－a＝0，求满足下 列条件的a的值．
(1)l
1
∥l
2
；(2)l
1
⊥l
2
.


命题角度2 求平行、垂直的直线方程
例10、已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：
(1)过点(－1,3)，且与l平行；
(2)过点(－1,3)，且与l垂直．


变式训练10、已知点A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.
求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；
(2)过点A和直线l垂直的直线方程．


三、课后练习
一、选择题（每小题只有一个正确答案）
1．不论m为何值，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5恒过定点( )
A.
?
1,?
?
?
1
?
?
B. (－2,0) C. (2,3) D. (9，－4)
2
?
2．已知 不等式组表示的平面区域为，若以原点为圆心的圆与无公共点，则圆的半径的取值

范围为( )
A. B. C. D.
3．若直线 l
1
：x＋ay＋6＝0与l
2
：(a－2)x＋3y＋2a＝0平行，则l
1
与l
2
之间的距离为( )
A. B. C. D.
4．若点
A
?
1,1
?
关于直线< br>y?kx?b
的对称点是
B
?
?3,3
?
，则直线< br>y?kx?b
在
y
轴上的截距是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5．已知直线
l
1
:x?y?1?0
，动直线
l
2
:
?
k?1
?
x?ky?k ?0
?
k?R
?
，则下列结论错误
．．
的是（ ）
A. 存在
k
，
l
1
使得
l
2
的倾斜角为90° B. 对任意的
k
，
l
1
与
l
2
都有公共点
C. 对任意的
k
，
l
1
与
l
2
都不
．
重合 D. 对任意的
k
，
l
1
与< br>l
2
都不垂直
．．．

6．设点
A
?
2,?3
?
，
B
?
?3,?2?
，直线l过点
P
?
1,1
?
，且与线段
AB
相交，则l的斜率
k
的取值范围 (
A.
k?
3
4
或
k??4
B.
?4?k?
3
4

C.
?
3
4
?k?4
D. 以上都不对
7．图中的直 线
l
1
,l
2
,l
3
的斜率分别是
k1
,k
2
,k
3
，则有（ ）

A.
k
1
?k
2
?k
3
B.
k
3
?k
1
?k
2
C.
k
3
?k
2
?k
1
D.
k
2
?k
3
?k
1

8．直线
x?3y?1?0
的倾斜角为（ ）.
A. B. C. D.
9．直线 的斜率和在轴上的截距分别是( )
A. B. C. D.
10．过点，且平行于向量的直线方程为（ ）
A. B. C. D.
)

11．过点A(3，3)且垂直于直线的直线方程为
A. B. C. D.
12．在平面直角坐标系中，已知
A
?
1,?2
?
，
B
?
3,0
?
，那么线段
AB
中点的坐标为（ ）．
A.
?
2,?1
?
B.
?
2,1
?
C.
?
4,?2
?
D.
?
?1,2
?



二、填空题
13．已知
a,b,c
为直角三角形的三边长， c为斜边长，若点
M
?
m,n
?
在直线
l:ax?by?2c?0
上，则
m< br>2
?n
2
的
最小值为__________．
14．
m?R
，动直线
l
1
:x?my?1?0
过定点
A
，动直线
l
2
:mx?y?2m?3?0
过定点
B
，若直 线l与
l
2
相交于
点
P
（异于点
A,B
） ，则
?PAB
周长的最大值为_________
15．过点(2，－3)且在两坐 标轴上的截距互为相反数的直线方程为_________________．
16．定义点
离分别是
①若
②若
③若
到直线
，给出以下命题：
，则直线
，则直线
，则直线
与直线平行；
与直线平行；
与直线垂直；④若
的有向距离为.已知点到直线的有向距
，则直线与直线相交；
其中正确命题的序号是_______________.

三、解答题
17．求符合下列条件的直线方程：
（1）过点
（2）过点
（3）过点






18．已知的三个顶点坐标分别为，，．
，且与直线
，且与直线
平行；
垂直；
，且在两坐标轴上的截距相等．

（1）求边
（2）求边








19．已知直线
l:3x?
?
y?2?2
?< br>x?4y?2
?
?0

（1）求证：直线l过定点。
（2）求过(1)的定点且垂直于直线
3x?2y?4?0
直线方程.













20．已知直线
m:
?
a?1
?
x?
?
2a?3
?
y?a?6?0
，
n:x?2y?3?0
.
（1）当
a?0
时，直线l过
m
与
n
的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线l的方程；
（2）若坐 标原点
O
到直线
m
的距离为
5
，判断
m
与
n
的位置关系.
上的高所在直线的一般式方程；
上的中线所在直线的一般式方程.




1．D2．D3．B4．D5．A6．A7．D8．B9．A10．A11．D12．A
13．4
14．
2?22

15．
16．④

17．解：（1）设直线方程为
把代入上式得：
．
，
，
，解得：，
直线方程为
（2）设直线方程为
把代入上式得：，解得：
．
，
，
直线方程为
（3）若截距为，则直线方程为
把代入上式得：，解得：，
故直线方程为，即；
若截距不为，设截距为，则方程为，
把代入上式得：，解得：
，综上：直线方程为
，
或． 故直线方程为
18．(1)
解析：
；(2).
（1）∵
∴边
（2）
∴边
∴边
，，∴，

∴
上的高所在直线的一般式方程为，即
的中点为，∵
的中线
上的中 线
的斜率为，

，
的一般式方程为
19． 解析：（1）根据题意 将直线l化为的
3x?4y?2?
?
?
2x?4y?2
?
? 0
。

{
3x?4y?2?0x??2

解得
{
，所以直线过定点
?
?2,2
?
。 2x?y?2?0y?2
（2）由（1）知定点为
?
?2,2
?
，设直线的斜率为k，
且直线与
3x?2y?4?0
垂直，所以
k??< br>所以直线的方程为
2x?3y?2?0
。
20．（1）
3x?7y? 0
或
x?y?12?0
；（2）
mn
或
m?n


解：（1）联立
{
2
，
3
?x?3y?6?0，x??21,

解得
{
即
m
与
n
的交点为（021，-9）.
x?2y?3?0 .y??9,
当直线l过原点时，直线l的方程为
3x?7y?0
；
当直线 l不过原点时，设l的方程为
xy
??1
，将（-21，-9）代入得
b?? 12
，
b?b
所以直线l的方程为
x?y?12?0
，故满足条件 的直线l方程为
3x?7y?0
或
x?y?12?0
.
（2）设原点
O
到直线
m
的距离为
d
，
则
d?
?a?6
?
a?1
?
?
?
2a?3
?
22
17
?5
，解得：
a??
或
a??
，
43
1
时，直线
m< br>的方程为
x?2y?5?0
，此时
mn
；
4
7当
a??
时，直线
m
的方程为
2x?y?5?0
，此时
m?n
.
3
当
a??