两条直线的位置关系知识点梳理及其典型练习题讲解

两条直线的位置关系知识点梳理及其典型练习题讲解
一、知识点梳理
（一）、直线平行
1、直线平行的条件；
2、运用直线平行的条件解答相关问题（ 判断两条直线是否平行，能运用条件确定两平
行直线的方程系数）.
直线
l
1
的方程为：
A
1
x?B
1
y?C
1
?0
，直线
l
2
的方程为：
A
2
x?B
2y?C
2
?0

?
ABC
111
?0,A2
B
2
C
2
?0
?
l
1
l< br>2
?
，则
A
1
B
1
C
1
? ??A
1
B
2
?A
2
B
1
?0,C
1
B
2
?C
2
B
1
?0
A
2< br>B
2
C
2
；
；
l
1
与
l< br>2
重合
?
A
1
B
1
C
1
? ??A
1
?
?
A
2
,B
1
?
?< br>B
2
,C
1
?
?
C
2
A
2
B
2
C
2
A
1
B
1
??A
1
B
2
?A
2
B
1
?0
.
A
2
B
2
l
1
与
l
2
相交
?
（适用于
A
l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0,C
1
B
2< br>?C
2
B
1
?0
；
1
、
B
1
、
C
1
、
A
2
、
B
2
、
C
2
取任
意值的情况）
（适用于
A
l
1
与
l
2
重合
?A
1
B
2
?A< br>2
B
1
?0,C
1
B
2
?C
2B
1
?0
；
1
、
B
1
、
C< br>1
、
A
2
、
B
2
、
C
2< br>取任意值的情况）
（适用于
A
.
l
1
与
l
2
相交
?A
1
B
2
?A
2
B< br>1
?0
1
、
B
1
、
C
1
、
A
2
、
B
2
、
C
2
取任意值的情 况）
（二）、直线相交
1、两条直线的交点坐标：解两条直线的方程所组成的方程组，就可以 得到两条直线交
点的坐标．
2、两条直线的夹角：两条直线相交所成的最小正角叫做这两条直 线的夹角，记作
?
．两
条直线的夹角的范围
?
?
?
0,90
0
?
.
??
（三）、两条直线垂直的条件：
1 、如果直线
l
1
与直线
l
2
的斜率都存在且不等于0，那么
l
1
?l
2
?
k
1
?k
2
??1
．
2、斜率不存在的直线与斜率为0的直线垂直．
两条直线的方程分别为
l
1
:A
1
x?B
1
y?C
1
? 0
，
l
2
:A
2
x?B
2
y?C
2
?0
，则直线
l
1
?l
2
的充要条件是：
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
.
二、典型例题讲解
题型1、判断或证明直线的平行关系
例1、已知直线
l
1
:3x?6y?10?0
，
l
2
:x??2y?5
，求证：
l
1
l
2
.

证法一： 把
l
1
与
l
2
的方程写成斜截式
y??
1 515
x?
，
y??x?
，
k
1
?k
2< br>，
b
1
?b
2
，
2322
?
l1
l
2
.
证法二：把
l
2
的方程写成一般式
x?2y?5?0
，
A
1
B
2
?A
2B
1
?3?2?1?6?0?
B
1
C
2
?B< br>2
C
1
?6?
?
?5
?
?2?10?0?< br>A
1
3
B
1
6
???
A
2
1B
2
2
，
B
1
6
C
1
10，
?
l
1
l
2
.
???
B
2
2C
2
?5
例2、已知两直线
l
1
:mx?8 y?n?0
，
l
2
:2x?my?1?0
，试确定
m
、
n
的值，使
l
1
l
2
.
分析：l
1
l
2
?A
1
B
2
?A
2
B
1
?0,C
1
B
2
?C
2
B< br>1
?0
.
解：
l
1
l
2
，
?
m8nm88n
??
，
?
由
?
得
m? ?4
，由
?
得，
2m12mm1
m??4
，
?n??2
，
即
m?4
，
n??2
或
m??4
，
n??2
时
l
1
l
2
.
题型2．根据平行或垂直条件求直线方程
例3、求直线
l
的方程：
（1）过点
P
?
2,?1
?
且与直线
3x?2y?6?0
平行；
（2）过点
P
?
2,?1
?
且与直线3x?2y?6?0
垂直.
解：（1）设直线
l
的斜率为
k< br>，直线
3x?2y?6?0
为
l
1
，斜率为
k
1
.
直线
l
1
方程为：
3x?2y?6?0
，
?
直线
l
1
的斜率
k
1
??
33
?
，
?22
ll
1
，
?
k?k
1
?
，
直线
l
过点
P
?
2,?1
?
，
?
直线
l
的方程为：
y?
?
?1?
?
3
2
3
0
.
?
x?2
?
，即
3x?2y?8?
2
另解为：因已知直线与所求直线平行，故所求直线 可设为
3x?2y?C?0
，由点
P
?
2,?1
?
在直线上解得
C??8
，故所求直线方程为
3x?2y?8?0
.
（2）设直线
l
的斜率为
k
，直线
3x?2y?6?0
为< br>l
1
，斜率为
k
1
.
直线
l
1< br>方程为：
3x?2y?6?0
，
?
直线
l
1
的斜率
k
1
??
33
?
，
?22
l?l< br>1
，

?
k.k
1
?k??1
，
?
k??
，
直线
l
过点
P
?
2,?1
?
，
?
直线
l
的方程为：
y?
?
?1
?
??
3
2
2
3
2
3y1?0?. 即
2x?
?
x?2
?
，
3
另解为：因已知 直线与所求直线垂直，故所求直线可设为
2x?3y?C?0
，由点
P
?2,?1
?
在直线上解得
C??1
，故所求直线方程为
2x?3 y?1?0
.
题型3．求直线交点
例4．求下列两直线的交点：
l
1
:3x?4y?2?0
，
l
2
:2x?y?2?0
.
解：解方程组
?
?
3x?4y?2?0
?
x??2
得
?
，所以两直线的交点是
?
?2,2
?
.
2x?y?2?0y?2
??
题型4．已知直线的位置关系，求参数值
2< br>例5．直线
l
1
:
?
m?2
?
x?m?3m y?4?0
，如果
l
1
l
2
，
l
2
:2x?4
?
m?3
?
y?1?0
，
??
求m
的值.
?
(m?2)?4(m?3)?(m
2
?3m)?2 ?0
解：：若
l
1
l
2
，则有
?
，解得：
m??4
或
m?3
.
2
?
(m?3m)?(?1 )?4?4(m?3)?0
例6．直线
l
1
:ax?
?
1? a
?
y?3?0
与
l
2
:
?
a?1
?
x?
?
2a?3
?
y?2?0
互相垂直，求
a
的
值.
解：利用直线垂直的充要条件：
A
1
A
2
?B
1
B
2
?0
得，
a
?
a?1
?
?
?
1?a
??
2a?3
?
?0
，
解得：
a??3
或
a?1
.