函数的奇偶性与周期性知识点与经典例题

函数的奇偶性与周期性知识点和经典试题

本节知识点详解：
1．函数的奇偶性
奇偶性 定义
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个
偶函数 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数f(x)
是偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个
奇函数 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数f(x)
是奇函数

2.函数的周期性
(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得
当x取定义域内的任何值时，都有 f(x＋T)＝f(x) ，那么就称函数y
＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．
(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中 存在一个最
小 的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的 最小 正周期．
重要结论：
1.函数奇偶性的四个重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0) 有意义，那么一
定有f(0)＝0.
(2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两
关于 原点 对称
关于 y轴 对称
图象特点

个对称的区间上具有相反的单调性．
(4)奇函数的图像在对称的区间上单调性相同，偶函数在对称的
区间上单调性相反。
(5)运算性质
①“奇＋奇”是奇，“奇－奇”是奇，“奇·奇”是偶，“奇÷
奇”是偶；
②“偶＋偶”是偶，“偶－偶”是偶，“偶·偶”是偶，“偶÷
偶”是偶；
③“奇·偶”是奇，“奇÷偶”是奇．
2．函数周期性的三个常用结论
对f(x)定义域内任一自变量的值x：
(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a；
1
(2)若f(x＋a)＝，则T＝2a；
f?x?
1
(3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a.(a>0)
f?x?
3．函数对称性的三个常用结论
(1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数， 即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝
f(x)的图象关于直线x＝a对称；
(2)若 对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，
则y＝f(x)的图 象关于直线x＝a对称；
(3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b) ＝0，则函数y
＝f(x)关于点(b,0)中心对称．
经典选题
一、判断题：
判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里打“√”，错

误的打“×”．
(1)函数y＝x
2
，x∈(0，＋∞)是偶函数．( )
(2)偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( )
(3)如果函数f( x)，g(x)为定义域相同的偶函数，则F(x)＝f(x)＋g(x)
是偶函数．( )
(4)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)关于直线x＝a对
称．( )
(5)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b,0)中心对
称．
答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√ (5)√
二、选择题：
1．已 知f(x)＝ax
2
＋bx是定义在[a－1,2a]上的偶函数，那么a＋b
的值是 ( )
1111
A．－
3
B.
3
C.
2
D．－
2

答案：B
2．下列函数为奇函数的是( )
1
A．y＝2
x
－
2
x

C．y＝2cos x＋1
答案：A
3．下列函数为奇函数的是( )
A．y＝x
C．y＝cos x
答案：D
4．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递减，并且是偶函数的是
B．y＝|sin x|
D．y＝e
x
－e
－
x
B．y＝x
3
sin x
D．y＝x
2
＋2
x

( )
A．y＝x
2

C．y＝－ln|x|
答案：C
5．(高考全国Ⅰ卷)设函数f(x)，g(x )的定义域都为R，且f(x)是奇
函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是( )
A．f(x)g(x)是偶函数
C．f(x)|g(x)|是奇函数
答案：C
1
6.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，当0＜x＜
2
时，
?
5
?
f(x)＝4，则f
?
－
4< br>?
＝( )
??
x
B．y＝－x
3

D．y＝2
x

B．|f(x)|g(x)是奇函数
D．|f(x)g(x)|是奇函数
22
A．－2 B．－
2
C．－1 D.
2

答案：A
7． 已知f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2
x
＋m，则f(－2)＝( )
55
A．－3 B．－
4
C.
4
D．3
答案：A
8．已知f(x)是定义在 R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x
2
＋2x，
若f(2－a
2
)>f(a)，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－1)∪(2，＋∞) B．(－1,2)
C．(－2,1) D．(－∞，－2)∪(1，＋∞)
答案：C

1
9．定义在 R上的奇函数f(x)满足f(x＋2)＝－，且在(0,1)上f(x)
f?x?
＝3
x
，则f(log
3
54)＝( )
3232
A.
2
B.
3
C．－
2
D．－
3

答案：C
10 ．已知f(x)是定义在实数集R上的奇函数，对任意的实数x，
?
13
?
f (x－2)＝f(x＋2)，当x∈(0,2)时，f(x)＝－x，则f
?
2
?＝( )
??
2
9119
A．－
4
B．－
4
C.
4
D.
4

答案：D
11． (理科)(2015·高考新课标卷Ⅱ)设函数f(x)＝ln(1 ＋|x|)－
1
，则使得f(x)>f(2x－1)成立的x的取值范围是( )
1＋x
2
1
??
1
??
???
A.
3< br>，1
B.
－∞，
3
?
∪(1，＋∞)
????
1
? ?
1
?
11
???
?????
C.
－
3< br>，
3
D.
－∞，－
3
∪
3
，＋∞
?

??????
答案：A
12．已知f(x)是定义在R上的以3为周期的偶函 数，若f(1)＜1，
2a－3
f(5)＝，则实数a的取值范围为( )
a＋1
A．(－1,4) B．(－2,0)
C．(－1,0) D．(－1,2)
答案：A
13．已知f(x)是R上最小正周期为2的周期函数， 且当0≤x＜2
时，f(x)＝x
3
－x，则函数y＝f(x)的图象在区间[0,6 ]上与x轴的交点的
个数为( )

A．6 B．7 C．8 D．9
答案：B
14．已知定义在R上的奇函数f(x)满足 f(x－4)＝－f(x)，且在区
间[0,2]上是增函数，则( )
A．f(－25)＜f(11)＜f(80) B．f(80)＜f(11)＜f(－25)
C．f(11)＜f(80)＜f(－25) D．f(－25)＜f(80)答案：D
三、填空题
1． (2017·高考全国Ⅱ卷)已知函数f(x)是定义 在R上的奇函数，
当x∈(－∞，0)时，f(x)＝2x
3
＋x
2
，则f(2)＝ ________ .
答案：12
2．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，若当x∈(0，＋∞)时，f(x)
＝lg x，则满足f(x)>0的x的取值范围是 ________ .
答案：(－1,0)∪(1，＋∞)
3． (2015·高考全国Ⅰ卷)若函数f(x)＝xln (x＋a＋x
2
)为偶函数，
则a＝ ________ .答案：1
4． 已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)＝x
2
－4x，
则f(x )＝ ________ .
?
答案：
?
0，x＝0，
?
?
－x
2
－4x，x<0
2
x
?
－4x，x>0，


5．已知函数y＝f(x)是R上的偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，若f(a)≥f(2)，则实数a的取值范围是 __________ .
答案： {a|a≥2或a≤－2}