高考知识点空间几何体的结构、三视图和直观图

第1节 空间几何体的结构、三视图和直观图
最新考纲 1.认识柱、锥、 台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特
征描述现实生活中简单物体的结构；2.能画出简单 空间图形(长方体、球、圆柱、
圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图，能识别上述三视图所表示的立体模 型，会
用斜二测画法画出它们的直观图；3.会用平行投影方法画出简单空间图形的三视
图与直 观图，了解空间图形的不同表示形式.

知 识 梳 理
1.简单多面体的结构特征
(1)棱柱的侧棱都平行且相等，上、下底面是全等且平行的多边形；
(2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形；
(3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上、下底面是相似多边形.
2.旋转体的形成
几何体
圆柱
圆锥
圆台
球
3.三视图
(1)几何体的三视图包括正视图、侧视图、俯视图，分别是从几何体的正前方、
正左方、正上方观察几何体画出的轮廓线.
(2)三视图的画法
①基本要求：长对正，高平齐，宽相等.
旋转图形
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
旋转轴
任一边所在的直线
任一直角边所在的直线
垂直于底边的腰所在的直线
直径所在的直线

②在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线.
4.直观图 < br>空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、
z轴两两垂直 ，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°(或135°)，z′轴与x′轴、
y′轴所在平面垂直.
(2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和
z轴的线段 在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为
原来的一半.
[常用结论与微点提醒]
1.台体可以看成是由锥体截得的，易忽视截面与底面平行且侧棱延长后必交于一
点.
2.空间几何体不同放置时其三视图不一定相同.
3.常见旋转体的三视图
(1)球的三视图都是半径相等的圆.
(2)水平放置的圆锥、圆台、圆柱的正视图和侧视图 分别均为全等的等腰三角形、
等腰梯形、矩形.
诊 断 自 测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( )
(2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( )
(3)用斜二测画 法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且
∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝ 45°.( )
(4)正方体、球、圆锥各自的三视图中，三视图均相同.( )
解析 (1)反例：由两个平行六面体上下组合在一起的图形满足条件，但不是棱
柱.
(2)反例：如图所示图形不是棱锥.
(3)用斜二测画法画水平放置的∠A时，把x，y轴 画成相交成
45°或135°，平行于x轴的线还平行于x轴，平行于y轴的线还

平行于y轴，所以∠A也可能为135°.
(4)正方体和球的三视图均相同，而圆锥的正视图和侧视图相同，且为等腰三角
形， 其俯视图为圆心和圆.
答案 (1)× (2)× (3)× (4)×
2.(必修2P1 0T1改编)如图，长方体ABCD－A′B′C′D′中被截
去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的 几何体是( )
A.棱台
C.五棱柱


B.四棱柱
D.六棱柱
解析 由几何体的结构特征，剩下的几何体为五棱柱.
答案 C
3.(2016·天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所示，则该几何体的侧视图为
( )

解析 先根据正视图和俯视图还原出几何体，再作其侧视图.由几何体的正视图
和俯视图可知该 几何体为图①，故其侧视图为图②.

答案 B

4.(一题多解) (2017·全国Ⅱ卷)如图，网格纸上小正方形的边长
为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几 何体由一平
面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A.90π
C.42π


解析 法一 (割补法)由几何体的三视图可知，该几何体是一个圆
柱被截去上面虚线部分所得，如图所示.
将圆柱补全，并将圆柱体从点A处水平分成上下两部分.由图可知，
1
该几何体的体积等于下 部分圆柱的体积加上上部分圆柱体积的
2
，所以该几何体
1
的体积V＝π×3
2
×4＋π×3
2
×6×
2
＝63π.
1
法二 (估值法)由题意知，
2
V
圆柱
几何 体
圆柱
，又V
圆柱
＝π×3
2
×10＝90π ，∴
45π几何体
<90π.观察选项可知只有63π符合.
答案 B
5.正△AOB的边长为a，建立如图所示的直角坐标系xOy，则它的直观图的面积
是___ _____.


B.63π
D.36π

解析 画 出坐标系x′O′y′，作出△OAB的直观图O′A′B′(如图).D′
11
为O′A′的 中点.易知D′B′＝
2
DB(D为OA的中点)，∴S
△
O
′A
′
B
′
＝
2
×
223
2
6
2
S×a＝
△
OAB
＝
24416
a.
6
2
答案
16
a

考点一 空间几何体的结构特征
【例1】 (1)给出下列命题：
①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；
②直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥；
③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.
其中正确命题的个数是( )
A.0
(2)以下命题：
①以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；
②圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面；
③一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台.
其中正确命题的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
B.1 C.2 D.3
解析 (1)①不一定，只有当这两点的连线平行于轴时才是母线；
②不一定，当以斜边所在直线为旋转轴时 ，其余两边旋转形成的面
所围成的几何体不是圆锥，如图所示，它是由两个同底圆锥组成的
几何 体；③错误，棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形，各侧棱延长
线交于一点，但是侧棱长不一 定相等.
(2)由圆台的定义可知①错误，②正确.对于命题③，只有平行于圆锥底面的平面
截圆锥，才能得到一个圆锥和一个圆台，③不正确.
答案 (1)A (2)B
规律方法 1.关于空间几何体的结构特征辨析关键是紧扣各种空间几何体的概
念，要善于通过举反例对概念进行辨 析，即要说明一个命题是错误的，只需举一
个反例.
2.圆柱、圆锥、圆台的有关元素都集中 在轴截面上，解题时要注意用好轴截面中
各元素的关系.

3.既然棱(圆)台 是由棱(圆)锥定义的，所以在解决棱(圆)台问题时，要注意“还台
为锥”的解题策略.
【训练1】 给出下列命题：
①棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形；
②在四棱柱中，若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面，则该四棱柱为直四棱柱；
③存在每个面都是直角三角形的四面体；
④棱台的侧棱延长后交于一点.
其中正确命题的序号是________.
解析 ①不正确，根据棱柱的定义，棱柱的各个侧 面都是平行
四边形，但不一定全等；②正确，因为两个过相对侧棱的截面
的交线平行于侧棱，又 垂直于底面；③正确，如图，正方体
ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
中的三棱锥C
1
－ABC，四个面都是直角三角形；
④正确，由棱台的概念可知.
答案 ②③④
考点二 空间几何体的三视图(多维探究)
命题角度1 由空间几何体的直观图判断三视图
【例2－1】 “牟合方盖”是我国古代数学家刘徽在研究球的体
积的过程中构造的一个和谐优 美的几何体.它由完全相同的四个
曲面构成，相对的两个曲面在同一个圆柱的侧面上，好似两个扣
合(牟合)在一起的方形伞(方盖).其直观图如图，图中四边形是为
体现其直观性所作的辅助线.当 其正视图和侧视图完全相同时，它的俯视图可能
是( )

解析 由直观图知，俯 视图应为正方形，又上半部分相邻两曲面的交线为可见线，
在俯视图中应为实线，因此，选项B可以是几 何体的俯视图.

答案 B
命题角度2 由三视图判断几何体
【例2－2】 (1)(2014·全国Ⅰ卷)如图，网格纸的各小格都是
正方形，粗实线画出 的是一个几何体的三视图，则这个几何
体是( )
A.三棱锥
C.四棱锥


B.三棱柱
D.四棱柱
(2)(2017·北京卷)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
( )

A.32 B.23 C.22 D.2
解析 (1)由题知，该几何体的三视图为一个三角形、两个四边形，经分析可知
该几何体为三棱柱.
(2)由三视图知可把四棱锥放在一个正方体内部，四棱锥为D
－BCC
1
B
1
，最长棱为DB
1
，且DB
1
＝
＝4＋4＋4＝23.
DC
2
＋BC
2
＋BB
2
1

答案 (1)B (2)B
规律方法 1.由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画 法和摆放规则确
认.二要熟悉常见几何体的三视图.
2.由三视图还原到直观图的思路

(1)根据俯视图确定几何体的底面.
(2)根据正视图或侧视图确定几何体 的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对
应的棱、面的位置.
(3)确定几何体的直观图形状.
【训练2】 (1)(2018·惠州模拟)如图，在底面 边长为1，高为2的正四棱柱ABCD
－A
1
B
1
C
1D
1
中，点P是平面A
1
B
1
C
1
D
1
内一点，则三棱锥P－BCD的正视图与侧
视图的面积之和为( )

A.1 B.2 C.3 D.4
(2)(2017·浙江卷)某几何体的三视 图如图所示(单位：cm)，则该几何体的体积(单
位：cm
3
)是( )

π
A.
2
＋1
π
B.
2
＋3
3π
C.
2
＋1
3π
D.
2
＋3
解析 (1)设点P在平面A
1
ADD
1
的射影为P′，在平面C
1
CDD
1
的射影为P″ ，如图所示.
∴三棱锥P－BCD的正视图与侧视图分别为△P′AD与
△P″CD， 因此所求面积S＝S
△
P
′
AD
＋S
△
P″
CD

11
＝
2
×1×2＋
2
×1×2＝2. < br>(2)由三视图可知，该几何体是半个圆锥和一个三棱锥的组合体，半圆锥的底面
1
半径 为1，高为3，三棱锥的底面积为
2
×2×1＝1，高为3.
111
π2
故原几何体体积为：V＝
2
×π×1×3×
3
＋1×3×3
＝
2
＋1.
答案 (1)B (2)A
考点三 空间几何体的直观图
【例3】 有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的
斜二测直观 图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD
＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为_ _______.
解析 如图1，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为E.

2
在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°，∴BE＝
2
.
又四边形AECD为矩形，AD＝EC＝1.
2
∴BC＝BE＋EC＝
2
＋1.
由此还原为原图形如图2所示，是直角梯形A′B′C′D′.
2
在梯形A′B′C ′D′中，A′D′＝1，B′C′＝
2
＋1，A′B′＝2.
1
∴这块菜地的面积S＝
2
(A′D′＋B′C′)·A′B′
1
?
2
2
?
＝
2
×
?
1＋1＋?
×2＝2＋
2
.
2
??
2
答案 2＋
2

规律方法 1.画几何体的直观图一般采用斜二测画法，其规则可以用“斜” (两坐

标轴成45°或135°)和“二测”(平行于y轴的线段长度减半，平行于x轴 和z轴
的线段长度不变)来掌握.对直观图的考查有两个方向，一是已知原图形求直观图
的相关 量，二是已知直观图求原图形中的相关量.
2.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图，其面积与原 图形的面积的关系：S
2
＝
直观图
4
S
原图形
.< br>
【训练3】 已知等腰梯形ABCD，上底CD＝1，腰AD＝CB＝2，下底AB＝3，以下底所在直线为x轴，则由斜二测画法画出的直观图A′B′C′D′的面积为
________ .
解析 如图所示，作出等腰梯形ABCD的直观图.

因为OE＝
12
（2）
2
－1＝1，所以O′E′＝
2
，E′F＝
4
.
1＋3
22
则直观图A′B′C′D′的面积S′＝
2
×4
＝
2
.
2
答案
2



基础巩固题组
(建议用时：25分钟)
一、选择题
1.某空间几何体的正视图是三角形，则该几何体不可能是( )
A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱
解析 由三视图知识知圆锥、四面体、三棱柱(放倒看)都能使其正视图 为三角形，
而圆柱的正视图不可能为三角形.

答案 A
2.(20 18·衡水中学月考)将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该
几何体的侧视图为( )


解析 易知侧视图的投影面为矩形，又AF的投影线为虚线，即为左下角到右 上
角的对角线，∴该几何体的侧视图为选项D.
答案 D
3.(2017·北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( )

A.60 B.30 C.20 D.10
解析 由三视图知可把三棱锥放在一 个长方体内部，即三棱锥A
1
－BCD，V
A
1
－
11＝××3×5×4＝10.
BCD
32

答案 D

4.如图是一几何体的直观图、正视图和俯视图，该几何体的侧视图为( )


解析 由直观图和正视图、俯视图可知，该几何体的侧视图应为面PAD，且EC
投影在面PAD上且为实线，点E的投影点为PA的中点，故B正确.
答案 B
5.下列结论正确的是( )
A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体
C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥
D.圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线都是母线
解析 如图1知，A不正确.如图2，两个平行平面与底面不平行时，截得的几何
体不是旋转体，则B不正确.

若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形.由几何图形知，若以正
六边 形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，C错误.由母线的概念知，选项D
正确.

答案 D
6.某几何体的正视图和侧视图均为如图所示的图形，则在下图的四 个图中可以作
为该几何体的俯视图的是( )


A.①③
C.②④


B.①④
D.①②③④
解析 由正视图和侧视图知，该几何体为球与正四棱柱或球与圆柱体的组合体，
故①③正确.
答案 A
7.(2015·全国Ⅱ卷)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分
的三视图如右 图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( )
1
A.
8

1
C.
6



1
B.
7

1
D.
5

解析 由 已知三视图知该几何体是由一个正方体截去了一个“大
角”后剩余的部分，如图所示，截去部分是一个三 棱锥.设正方体的棱
111
长为1，则三棱锥的体积为V
1
＝
3×
2
×1×1×1＝
6
.
15V
1
1
剩余部分的体积V
2
＝1
3
－
6
＝
6
， 因此，
V
＝
5
.
2
答案 D
8.(2018· 泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三
棱锥最长的棱长等于( )

A.42
C.41


B.34
D.52
解析 根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形， 两侧面垂直于底
面，高为5的三棱锥P－ABC(如图所示).
棱锥最长的棱长PA＝25＋16＝41.

答案 C
二、填空题 9.(2018·龙岩联考)一水平放置的平面四边形OABC，用斜二测
画法画出它的直观图O′ A′B′C′如图所示，此直观图恰好是一个
边长为1的正方形，则原平面四边形OABC面积为___ _____.
2
解析 因为直观图的面积是原图形面积的
4
倍，且直观图的
面积为1，所以原图形的面积为22.
答案 22
10.已知正方体的棱长为1， 其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面
积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于__ ______.
解析 由题知此正方体的正视图与侧视图是一样的，正视图的面积与侧视图的面
积相等为2.
答案 2

11.(2018·兰州模拟)正四棱锥的底面边长为2，侧棱长均为3，其正视图 和侧视
图是全等的等腰三角形，则正视图的周长为________.
解析 由题意知，正视 图就是如图所示的截面PEF，其中E，
F分别是AD，BC的中点，连接AO，易得AO＝2，又PA ＝3，
于是解得PO＝1，所以PE＝2，故其正视图的周长为2＋22.
答案 2＋22
1
12.(2017·山东卷)由一个长方体和两个
4
圆柱构成的几何体的三 视图如图，则该几
何体的体积为________.

解析 该几何体由一个长、宽 、高分别为2，1，1的长方体和两个半径为1，高
1
为1的
4
圆柱体构成.
π
1
2
所以V＝2×1×1＋2×
4
×π×1×1＝2＋< br>2
.
π
答案 2＋
2

能力提升题组
(建议用时：10分钟)
13.(2018·石家庄质检)一个三棱锥的正视图和俯视图如图 所示，则该三棱锥的侧
视图可能为( )

解析 由题 图可知，该几何体为如图所示的三棱锥，其中平面
ACD⊥平面BCD.所以该三棱锥的侧视图可能为选 项D.
答案 D
14.如图是一个体积为10的空间几何体的三视图，则图中x的值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5
解析 根据给定的三视图可知 ，该几何体对应的直观图是一个长方体和四棱锥的
1
组合体，所以几何体的体积V＝3×2×1 ＋
3
×3×2×x＝10，解之得x＝2.
答案 A
15.某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长棱的棱长为________.

解析 由题中三视图可知，三棱锥的直观图如图所示，其中
PA⊥平 面ABC，M为AC的中点，且BM⊥AC.故该三棱锥的
最长棱为PC.在Rt△PAC中，PC＝< br>22.
答案 22
16.(2016·北京卷)某四棱柱的三视图如图所示，则该四棱柱的体积为________. < br>PA
2
＋AC
2
＝2
2
＋2
2
＝< br>
解析 由题中三视图可画出长为2、宽为1、高为1的长方体，
将该几何体还原到长方 体中，如图所示，该几何体为四棱柱
ABCD－A′B′C′D′.
故该四棱柱的体积
13
V＝Sh＝
2
×(1＋2)×1×1＝
2
.
3
答案
2