集合的定义及其表示知识点总结及练习

1.1 集合的含义及其表示
学习目标：
1．通过实例了解集合的含义，理解元素与集合之间的关系；并记住几种常见数集的表示；
2．理解并掌握用列举法和描述法表示集合的方法，理解集合相等的概念；
3．了解集合的分类．
重点难点：元素与集合之间的关系和集合的表示方法．
授课内容：
一、知识要点
1．集合的含义：
一定范围内某些确定的、不 同的对象的全体构成一个集合．集合中的每一个对象称为集
合的元素．
（１）元素与集合的关系
若a是集合A的元素，记作
a?A
；
若b不是集合A的元素，记作
b?A
．
（２）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性．
确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者不是A
的元素，两种情况必有一种且只有一种成立．
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集 合的互不相同的个体（对象），因此，同
一集合中不应重复出现同一元素．
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关．
（３）常用数集及其记法：
自然数集，记作 N；
正整数集，记作 N
*
或N
+
；
整数集，记作 Z；
有理数集，记作 Q；
实数集，记作 R．
2．集合的表示方法：
表示一个集合可用列举法、描述法或图示法．
1

列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{ }内即：{x∣p(x)}．
图示法：用一条封闭曲线的内部（或数轴）表示一集合的方法．包括：维恩图和数轴法
3．集合的分类：
根据元素个数的多少可分为：有限集合、无限集；特别地，我们把不含有任 何元素的集
合叫空集，记作．
相等集合： ．

二、典型例题
知识点1：集合的含义
1．判断下列每组对象能否构成一个集合
（1）所有3的倍数 （2）很大的数的全体 （3）中国的直辖市
（4）young中的字母 （5）平面上到点O的距离等于5的点的全体
（6）所有的偶数 （7）所有直角三角形 （8）满足3x-2>x+3的全体实数
（9）方程
x
2
?x?1?0
的实数解 （10）π的近似值 （11）世界上最高的山峰
（12）高一数学课本中的难题
2．用符合“∈”或“?”填空
（1）设A为所有亚洲国家组成的集合，则：
中国 A；美国 A；印度 A；英国 A．
（2）1_______N -3_________N 0__________N
1_______Z -3_________Q 0__________Z
0_______N*
?
________R
2
________N
2
________R
22
_______Q cos30
0
_______Z
7
（3）集合A中的元素由x=a+b2
(a∈Z,b∈Z)组成，判断下列元素与集合A的关系．
10
○
2
○



1
1

○
3
2?1
3?2
2

知识点2：集合中元素的性质
3．若方程x
2
-5x+6= 0和方程x
2
-x-2=0的解为元素的集合为M，则M中元素的个数为 ． < br>4．由
a,2?a,4
组成一个集合
A
，
A
中含有3 个元素，则
a
的取值可以是 ．
5．只有三个元素的集合1，a，



6．不包含-1，0，1的实数集A满足条件a∈A，则



< br>7．定义集合运算：
A?B?{zz?xy(x?y),x?A,y?B}
，设集合A?{0,1},B?{2,3}
，
求集合
A?B
．





8．关于
x
的方程
ax?bx? c?0(a?0)
，当
a,b,c
分别满足什么条件时，解集为空集、含
一个 元素、含两个元素．





知识点3：集合的表示
9．用列举法表示下列集合：
（1）中国国旗的颜色的集合；
2
2
b
，也可表示为0，a
2
，a+b，求a
2005
+ b
2006
的值．
a
1?a
∈A，如果2∈A,求A中的元素．
1?a
3

（2）单词mathematics中的字母的集合；
（3）自然数中不大于10的质数的集合；
（4）同时满足
?
?
2 x?4?0
?x?2x?1
的整数解的集合；
?
1
（5）由
|a|
a
?
|b|
b
(a,b?R)
所确定的实数集合；
（6）{(x,y)|3x+2y=16，x∈N，y∈N }．
10．用描述法表示下列集合：
（1）所有被3整除的整数的集合；
（2）使
y?
2?x
x
有意义的x的集合；
（3）方程x
2
+x+1=0所有实数解的集合；
（4）抛物线y=-x
2
+3x-6上所有点的集合；
11．下列语句中，正确的是 （填序号）．
（1）0与{0}表示同一个集合；
（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；
（3）方程(x?1)
2
(x?2)
2
?0
的所有解的集合可表示为{1， 1，2，2}
（4）集合
{x4?x?5}
可以用列举法表示．
12．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）．
（1）M={3，2}，N={2，3} （2）M={(3，2)}，N={（2，3）}
（3）M=
{(x,y)x?y?1},N?{(y,x)x?y?1}
(4) M={1，2}，N={(1,2)}
13．下列可以作为方程组
?
?
x? y?3
?
x?y??1
的解集的是 （填序号）．
（1）
{x?1,y?2},

(2){1,2}(3){(1,2)}

（4）
{(x,y)x?1且y?2}(5){(x,y)x?1或y?2}

（6）
{(x,y)(x?1)
2
?(y?2)
2
?0}






4

14 ．设元素为正整数的集合
A
满足“若
x?A
,则
10?x?A
”．
（1）试写出只有一个元素的集合
A
；
（2）试写出只有两个元素的集合
A
；
（3）这样的集合
A
至多有多少个元素；
（4）满足条件的集合
A
共有多少个．






三、课堂练习
1．下面有四个命题：
①集合N中最小的数是1；
②若－a不属于N，则a属于N；
③若a∈N，b∈N，则a＋b的最小值为2；
④x
2
＋1＝2x的解集可以表示为{1，1}．
其中正确命题的个数为________．
2．集合A＝{x
2
,3x＋2 ,5y
3
－x}，B＝{周长等于20 cm的三角形}，C＝{x | x－3＜2，x∈R }，
D＝{(x，y)|y＝x
2
－x－1}，其中用描述法表示集合的有_____ ___．
3．已知集合A中含有三个元素2,4,6，且当a∈A时，有6－a∈A，那么a为___ _____．
4．设P、Q是两个非空集合，定义P*Q＝{ab|a∈P，b∈Q}，若P＝{0, 1,2}，Q＝{1,2,3}，
则P*Q中元素的个数是________．
5．已知集合 M＝{x|x＝7n＋1，n∈N}，则2010________M，2011________M． (填∈或?)．
xyxy
6．已知x，y为非零实数，则集合M＝{m|m＝＋＋}为________． < br>|x||y||xy|
7．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y ＝x＋3}，若a∈A，a∈B，则a的值为________．
8．已知集合A＝{0,2,3}， 定义集合运算A※A＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则A※A＝
________．
9．由下列对象组成的集体属于集合的是________．
①不超过π的正整数；
②高一数学课本中所有的难题；
5

③中国的大城市；
④平方后等于自身的数；
⑤某校高一(2)班中考成绩在500分以上的学生．
10．用符号“∈”或“?””填空
(1)0________N，5________N，16________N；
(2)－
1
2
________Q，π________Q；
(3) 2－3＋2＋3________{x|x＝a＋6b，a∈Q，b∈Q}．
11．方程组
?
?
?
x＋y＝3
?

的解集用集合表示为__________．
?
x－y＝1
12．集合{1 ,3,5,7,9}用描述法表示是____________．
13．用适当的方法表示下列集合， 并指出它是有限集还是无限集．
(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；
(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；
(3)由方程x
2
＋x＋1＝0的实数根组成的集合；
(4)由所有周长等于10 cm的三角形组成的集合．




14．已知集合A＝{x|
12
6－x
∈N，x∈N}，试用列举法表示集合 A．




15．已知集合A＝{a－3,2a－1，a
2
＋1}，a∈R．
(1)若－3∈A，求实数a的值；
(2)当a为何值时，集合A的表示不正确．

6