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函数的单调性知识点汇总与典型例题(高中一年级必备)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:49
tags:高中数学的知识点

2017高中数学会考-高中数学骨干教师经验交流材料

2020年9月22日发(作者:濮又华)


.
第二讲:函数的单调性
一、定义:
1.设函数
y?f (x)
的定义域为
I
,如果对于定义域
I
的某个区间
D的任意两个自
变量的值
x
1
,x
2
,当
x1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2),
那么就说
f(x)
在区间
D
上是增
函数.区间D

y?f(x)
的单调增区间.
注意:增函数的等价式子:
(x
1
?x
2
)[f(x
1
)?f(x
2
)]?0?
难点突破:(1)所有函数都具有单调性吗?


(2 )函数单调性的定义中有三个核心①
x
1
?x
2

f(x< br>1
)?f(x
2
)
③ 函数
f(x)

增函数,那么①②③中任意两个作为条件,能不能推出第三个?




2. 设函数
y?f(x)
的定义域为< br>I
,如果对于定义域
I
的某个区间
D
的任意两个自
变 量的值
x
1
,x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
),
那么就说< br>f(x)
在区间
D
上是减
函数.区间
D

y ?f(x)
的单调减区间.
注意:(1)减函数的等价式子:
(x
1
?x
2
)[f(x
1
)?f(x
2
)]?0?
f (x
1
)?f(x
2
)
?0

x
1?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?0
;
x
1
?x
2
(2)若函数
f(x)
为增函数,且
x
1
?x
2
,则f(x
1
)?f( x
2
)
.
题型一:函数单调性的判断与证明
例1.已知函数f(x)
的定义域为
R
,如果对于属于定义域某个区间
I
上的任 意两
个不同的自变量
x
1
,x
2
都有
f(x
1
)?f(x
2
)
?0.
则( )
x
1
?x
2
A.
f(x)
在这个区间上为增函数 B.
f(x)
在这个区间上为减函数
C.
f(x)
在这个区间上的增减性不变 D.
f(x)
在这个区间上为常函数

. . .


.
变式训练 :定义在
R
上的函数
f(x)
对任意
0?x
2
?x
1
都有
f(x
1
)?f(x
2
)
?1,且函
x
1
?x
2

y?f(x)
的图象关于 原点对称,若
f(2)?2,
则不等式
f(x)?x?0
的解集为___.






例3.证明:函数
f(x) ?x
3
?x

R
上是增函数.






易错点:



a
变式训练:讨论
f(x)?x?(a?0)
的单调性.并作出当
a?1
时函 数的图象.
x








f(x)
变式训练:已知
f(x?1)?x
2
?2x,判断函数g( x)?
并用定
在(0,1)上的单调性,
x
义证明.












. . .


.
题型二:函数的单调区间
难点突破:(1)函数在某个区间上是单调函数,那么它在整个定义域上也是单
调函数吗?

易错点:①区间端点的

确认




1
(2)函数
f(x)?
的单调减区间是
(??,0)?(0,?? )
上吗?
②多个单调区间的写
x







例1.(图像法)求下列函数的单调区间
(1)
f(x)?|x?1|?|x?2|
. (2)
f(x)??x
2
?2|x|?3
.




(3)
f(x)?|?x
2
?4x?5|
.





例2.(直接法)求函数
f(x)?
1?x
的单调区间.
1?x






例3.(复合函数) (2017全国二)函数
f(x)?ln(x
2
?2x?8)
的单调递增区间是
( )
A.
(??,?2)
B.
(??,?1)
C.
(1,??)
D.
(4,??)


易错点:



. . .


.



变式训练:求下列函数的单调区间.
1
(1)
y?
2
(2)
y?x
2
?5x?6

x?x?3



(3)
y?1?
1
3?2x?x
2




题型三:抽象函数的单调性问题
例1.设函数
f(x)
是实数集
R
上的增函数,令
F(x)?f(x)?f(2?x)
.
(1) 证明:
F(x)

R
上的增函数;
(2) 若< br>F(x
1
)?F(x
2
)?0,
求证:
x
1
?x
2
?2
.









例2定义在
(0,??)
上的函数
f(x)
满足下面三个条件:
①对任意正数
a,b
,都有
f(a)?f(b)?f(ab)

②当
x?1
时,
f(x)?0


f(2)??1
.
(1)求
f(1)
的值;
(2)使用单调性的定义证明:函数
f(x)

(0,??)
上是减函数;
(3)求满足
f(3x?1)?2

x
的取值集合.
. . .


.














题型四:函数单调性的应用
(1)利用函数的单调性比较大小
在解决比较函数值大小的问题时,要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
①正向应用:

②逆向应用:

3
?
例1.< br>f
?
x
?

?
0,??
?
上单调递 减,那么
f
?
a
2
?a?1
?

f
?
??
的大小关系是__________.
?
4
?


变式训练:已知函数
f(x)满足f(1?x)?f(1?x),
且对任意 的
x
1
,x
2
?1(x
1
?x
2
)
,有
f(x
1
)?f(x
2
)
1
?0.

a?f(?),b?f(2),c?f(3),

a,b,c
的大 小关系_________.
x
1
?x
2
2



(2)利用函数的单调性解不等式

例2.设
f(x)
是定义在
[?1,1]
上的增函数,且
f(x?2)?f(1?x)
成立,求
x
的取值
围.





. . .
易错点:


.
变式训练.①设
f(x)
是定义在
[?3,3]
上的偶函数,当0?x?3
时,
f(x)
单调递减,

f(1?2m)?f(m )
成立,求
m
的取值围.



②(2015全 国二)设函数
f(x)?ln(1?x)?
1
,则使得f(x)?f(2x?1)成立的
x
1?x
2
的取值围是( )
1
11111
A.
(,1)
B.
(??,)?(1,??)
C.
(?,)
D.
(??,?)?(,??)

3
33333

?
2
?x
,x≤0
,则满足
f
?
x?1
?
?f
?
2x
?

x
的取值围
③(2018全国一)< br>设函数
f
?
x
?
?
?
?
1 ,x?0
是( )
A.
?
??,?1
?
B.
?
0,??
?
C.
?
?1,0
?
D.
?
??,0
?





(3)根据函数的单调性求参数的取值围
例1.如果函数
f(x)?2x
2
?4(1?a)x?1
在区间
[3,??)
上是增函数,则实数
a< br>的取值
围是( )
A.(1,2) B.(0,2) C.(0,1) D.
?
?2,??
?




变式训练:如果函数
f(x)?x
2
?2(1?a)x?2
在区间
[??,4)
上是减函数,求实数
a

取值围.






?
(2b?1)x?b?1,x?0,
例2.若函数
f(x)?
?
2

R
上为增函数,则 实数
b
的取值围是
?
?x?(2?b)x,x?0
________ __.
. . .
易错点:


.





例3.若函数
y?|x?a|
在区间
(??,4]
上是减函数,求实数a
的取值围.






易错点:
第三节:函数的奇偶性
一、知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定

义 图象特点 备注
函数
f(x)
是奇函
★★设函数
y?f(x)
的定义域为
D
,如果

D
的任意一个
x
,都有
?x

D
,且

关于原点
奇函数 数且在
x?0
处有
中心对称
f
?
?x
?
??f
?
x
?
,则这个函数叫做奇函定义,则
f(0)?0


设函数
y?f(x)
的 定义域为
D
,如果对
D
偶函数 的任意一个
x
,都有
?x?D
,且
f
?
?x
?
?f
?
x?
,则这个函数叫做偶函数
★关于
y
轴对称

例 1(2014全国二)偶函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?2
对称,f(3)?3
,则
f(?1)?
___________.
例2(2017全国二) 已知函数
f(x)
是定义在R上的奇函数,当
x?(??,0)
时,
f(x)?2x
3
?x
2
,则
f(2)?
_______ ___.
(x?1)
2
?sinx
例3(2012全国二)设函数
f(x)?
的最大值为
M
,最小值为
m

2
x?1

M
+
m
=______.

2. 函数的图象
. . .


.
(1)平移变换:“上加下减,左加右减”
例4(2010全国 二)设偶函数
f(x)
满足
f(x)?2
x
?4(x?0)
,则
{x|f(x?2)?0}?
( )
A.
{x|x??2或x?4}
B.
{x|x?0或x?4}

C.
{x|x??2或x?2}
D.
{x|x??2或x?4}

(2)对称变换
x轴对称
?????y??f(x)
; ①
y?f(x)?
关于
y轴对称
?????y?f(?x)
; ②
y?f(x)?
关于
?????y??f(?x)
; ③
y?f( x)?
关于原点对称
y?x对称

y?a
x
(a?0且a? 1)?
关于
?????y?log
a
x(a?0且a?1)
;
⑤奇函数的图象关于坐标原点对称;偶函数的额图象关于
y
轴对称.
(3)翻折变换
x轴上方图象,将x轴下方图象翻折上去
???????????? y?|f(x)|
. ★★①
y?f(x)?
保留
?
|lgx|,0 ?x?10
?
例5(2010全国二)已知函数
f(x)?
?
1, 若
a,b,c
均不相等,且
?x?6
?
?
2
f(a)?f(b)?f(c),

a?b?c
的取值围是( )
A.
(1,10)
B.
(5,6)
C
(10,12)
D.
(20,24)

例6( 2011全国二)已知函数
y?f(x)
的周期为2,当
x?[?1,1]

f(x)?x
2
,那
么函数
y?f(x)
的图象与函数< br>y?|lgx|
的图象的交点共有( )
A.10个 B.9个 C.8个 D.1个
y轴右边图象,并作其关于y轴对称的 图象(去掉原f(x)在y轴左侧的图象)
????????????????????y?f(|x| )
. ★★★②
y?f(x)?
保留
例7(2011全国二)下列函数中,既 是偶函数又在
(0,??)
单调递增的函数是( )
A.
y?x
3
B.
y?|x|?1
C.
y??x
2
?1
D.
y?2
?|x|

例8(2010大纲)直线
y?1
与曲线
y?x
2
?|x| ?a
有四个交点,则
a
的取值围是
. . .


.
____________.
(4)函数图象的几种对称关系
★①
f(x ),x?R
满足
f(a?x)?f(a?x)?y?f(x)
图象关于直线
x ?a
为轴对称;
例9(2018全国二)已知
f(x)
是定义域为
(??,??)
的奇函数,满足
f(1?x)?f(1?x)
,若
f(1)< br>=2,则
f(1)?f(2)?f(3)?...?f(50)?
( )
A.﹣50 B.0 C.2 D.50
a?b
为轴对称;
2
b?a
③函数
y?f(a ?x)
与函数
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
2
1
如:
y?f(x)

y?f(1?x)
的图 象,关于直线
x?
为轴对称.
2

f(a?x)?f(b?x)? f(x)
图象关于
x?
例10(2015全国二)已知函数
f(x)?ax< br>3
?2x的图像过点(-1,4),

a
=________.
二、真题演练
1.(2014全国一)设函数
f(x),g(x)
的定义域 为
R
,且
f(x)
是奇函数,
g(x)

偶函数, 则下列结论中正确的是( )
A.
f(x)g(x)
是偶函数 B.
|f(x)|g(x)
是奇函数
C.
f(x)|g(x)|
是奇函数 D.
|f(x)g(x)|
是奇函数
?
2
x?1
?2,x?1
2.(2015全国一)已知函数
f(x)?
?
错误!未找到引用源。,且< br>?
?log
2
(x?1),x?1
f(a)??3
,则
f(6?a)
=( )
A.-
7531
B.- C.- D.-
4444
3 .(2015全国一)设函数
y?f(x)
的图像关于直线
y??x
对称,且
f(?2)?f(?4)?1
,则
a?
( )
A.-1 B.1 C.2 D.4

4.(2017全国一)函数
y?
sin2x
的部分图像大致为( )
1?cosx
. . .


.

5.(2017全国一)已知函数
f(x)?lnx?ln(2?x)
,则( )
A.
f(x)在(0,2)单调递增
B.
f(x)在(0,2)单调递减

C.
y?f(x)的图像关于直线x?1对称
D.
y?f(x)的图像关于点(1,0)对称

6.(2017全国三)函数
y?1?x?
sinx
的部分图像大致为( )
2
x
A. B.
C. D.

二、课后作业


1.若奇函数
f(x)

?< br>3,7
?
上是增函数且最大值为5,那么
f(x)

?
?7,?3
?
上是( )
A.增函数且最小值是
?5
B.增函数且最大值是
?5

C.减函数且最大值是
?5
D.减函数且最小值是
?5

2.若
f(x)?(m?1)x
2?2mx?3
是偶函数,则
f(x)

?
?4,?1
?
上( )
A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由
m
的值确定
1
,

f
?
x
?
为奇函数,则
a?
________. 3.已知函数
f
?
x
?
?a?
x
2?1
. . .


.
4.函数
f(x)?
ax?b12
是定义在上的奇函数,且,求函数
f(x)

f()?
(?1,1)
25
1?x
2
解析式______ _____.









第四节:函数的零点
一、知识梳理
★ 零点:方程
f(x)?0
的解;函数
f(x)
图象与
x
轴交 点的横坐标.
函数
F(x)?f(x)?g(x)
的零点是函数
f(x)< br>与函数
g(x)
图象交点的横坐标.
零点存在定理:函数
f(x)< br>在定义域
?
a,b
?
上连续,若
f(a)?f(b)?0,则
f(x)
在定
义域
?
a,b
?
上一定存在 零点.
例(2011全国二)在下列区间中,函数
f(x)?e
x
?4x? 3
的零点所在的区间为
( )


1
A.
(?,0)

4
11113
B.
(0,)
C.
(,)
D.
(,)

44224
二、真题演练
1.(2017全国三)已 知函数
f(x)?x
2
?2x?a(e
x?1
?e
?x?1
)
有唯一零点,则
a
=( )
1
A.
?

2

1
B.
3
C.
1

2
D.1
. . .


.
?
e
x
,x?0
2.(2018全国一)已知函数
f(x)?
?
g(x)?f(x)?x?a
,若
g(x)
存在两
?
lnx,x?0
个零点,则
a
的取值围是__________.
三、课后作业
1.关于
x
的方程
x
5
?x?1? 0
的根所在大致区间为( )
A.
(0,1)
B.
(1,2)
C.
(3,4)
D.
(4,5)

?x
5
?bx
3
?cx?(其中 7b,c为常数,x?R)
2.已知
f(x)
,若
f(?2)

?10,

f(2)
=________.
. . .

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