圆的相关知识点汇总

圆的相关知识 最好配以简单的习题掌握 蕾老师整合

板块一：圆的有关概念
一、圆的定义：
1. 描述性 定义：在一个平面，线段
OA
绕它固定的一个端点
O
旋转一周，另一个端点< br>A
随之旋转所形成的
图形叫做圆，其中固定端点
O
叫做圆心，
OA
叫做半径．
2. 集合性定义：平面到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，顶点叫做圆心，定长叫做半径．
3. 圆的表示方法：通常用符号
⊙
表示圆，定义中以
O
为圆心，
OA为半径的圆记作“
⊙O
”，读作“圆
O
”．
4. 同圆、同心 圆、等圆：圆心相同且半径相等的圆叫同圆；圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
能够重合的两 个圆叫做等圆.
注意：同圆或等圆的半径相等．

二、弦和弧
1. 弦：连结圆上任意两点的线段叫做弦．
2. 直径：经过圆心的弦叫做圆的直径，直径等于半径的
2
倍．
3. 弦心距：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
4. 弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以A
AB
，读作弧
AB
．
、B
为端点的圆弧记作
?
5. 等弧：在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧．
6. 半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
7. 优弧、劣弧：大于半圆的弧叫做优弧，小于半圆的弧叫做劣弧．
8. 弓形：由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形．

三、圆心角和圆周角
1. 圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角．将整个圆分为
360
等份，每一份的弧对应
1?
的圆心角，我们也称
这样的弧为
1?
的弧．圆心角的度数和它所对的弧的度数 相等．
2. 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．
3. 圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等．
推论2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，
90?
的圆周角所对的弦是直径．
推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．
4. 圆心角 、弧、弦、弦心距之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相
等，所对 的弦的弦心距相等．
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的 弦心距中有一组量相等，那么它
们所对应的其余各组量分别相等．

板块二：圆的对称性与垂径定理
一、圆的对称性
1. 圆的轴对称性：圆是轴对称图形，对称轴是经过圆心的任意一条直线．
2. 圆的中心对称性：圆是中心对称图形，对称中心是圆心．
3. 圆的旋转对称性：圆是旋转对称图形，无论绕圆心旋转多少角度，都能与其自身重合．

二、垂径定理
1. 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
2. 推论1：⑴ 平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
⑵ 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
⑶ 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．

3. 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等．

板块三：点与圆的位置关系
一、点与圆的位置关系
点与圆的位置关系有：点在圆上、点在圆、点在圆外三种，这三种关系 由这个点到圆心的距离与半径的
大小关系决定．
设
⊙O
的半径为< br>r
，点
P
到圆心
O
的距离为
d
，则有： < br>点在圆外
?
d?r
；点在圆上
?
d?r
；点在圆?
d?r
.
如下表所示：
位置关系
点在圆外
点在圆上
点在圆
图形



定义
点在圆的外部
点在圆周上
点在圆的部
性质及判定
d?r?
点
P
在
⊙O
的外部.
d?r?
点
P
在
⊙O
的圆周上.
d?r?
点
P
在
⊙O
的部.

二、确定圆的条件
1. 圆的确定
确定一个圆有两个基本条件：①圆心（定 点），确定圆的位置；②半径（定长），确定圆的大小．只有当
圆心和半径都确定时，远才能确定．
2. 过已知点作圆
⑴经过点
A
的圆：以点
A
以外的任意 一点
O
为圆心，以
OA
的长为半径，即可作出过点
A
的圆， 这样的
圆有无数个．
⑵经过两点
A、B
的圆：以线段
AB
中垂线上任意一点
O
作为圆心，以
OA
的长为半径，即可作出过点
A 、B
的圆，这样的圆也有无数个．
⑶过三点的圆：若这三点
A、B、C
共线 时，过三点的圆不存在；若
A、B、C
三点不共线时，圆心是线
段
AB
与
BC
的中垂线的交点，而这个交点
O
是唯一存在的，这样的圆有唯一一个 ．
⑷过
n
?
n?4
?
个点的圆：只可以作
0个或
1
个，当只可作一个时，其圆心是其中不共线三点确定的圆的
圆心．
3. 定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
注意：⑴“不在同一直线上”这个条件不可忽视，换句话说，在同一直线上的三点不能作圆；
⑵“确定”一词的含义是“有且只有”，即“唯一存在”．
4. 三角形的外接圆
⑴ 经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫
做三 角形的外心，这个三角形叫做这个圆的接三角形．
⑵三角形外心的性质：
①三角形的外心是 指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相
等；
②三角 形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的接三角形却有
无数个，这 些三角形的外心重合.
⑶锐角三角形外接圆的圆心在它的部；直角三角形外接圆的圆心在斜 边中点处（即直角三角形外接圆半
径等于斜边的一半）；钝角三角形外接圆的圆心在它的外部.

板块四：直线和圆的位置关系
一、直线和圆的位置关系的定义、性质及判定

设
⊙O
的半径为
r
，圆心
O
到直线
l
的距离为
d
，则直线和圆的位置关系如下表：
位置关系
相离
相切
相交
图形



定义
直线与圆没有公共点.
直线与圆有唯一公共点，直线叫做
圆的切线，唯一公共点叫做切点.
直线与圆有两个公共点，直线叫做
圆的割线.
性质及判定
d?r?
直线
l
与
⊙O
相离
d?r?
直线
l
与
⊙O
相切
d?r?
直线
l
与
⊙O
相交

从另一个角度，直线和圆的位置关系还可以如下表示：
直线和圆的位置关系
公共点个数
圆心到直线的距离
d
与半径
r
的关系
公共点名称
直线名称
相交 相切
1

2

d?r

交点
割线
相离
0

d?r

切点
切线
d?r

无
无

二、切线的性质及判定
1. 切线的性质：
定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
推论1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．
推论2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心．
2. 切线的判定
定义法：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线；
距离法：和圆心距离等于半径的直线是圆的切线；
定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
3. 切线长和切线长定理：
⑴ 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长．
⑵ 切 线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线
的夹角．

三、三角形切圆
1. 定义：和三角形各边都相切的圆叫做三角形的切圆，切 圆的圆心叫做三角形的心，这个三角形叫做圆的
外切三角形．
2. 多边形切圆：和多边形的各边都相切的圆叫做多边形的切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．


板块五：圆和圆的位置关系
一、圆和圆的位置关系的定义、性质及判定
⊙O
2
的半径分别为
R、r
（其中
R?r
） 设
⊙O
1
、
，两圆圆心距为
d
，则两圆位置关系如下表：
位置关系
外离
图形 定义
两个圆没有公共点，并且每个圆上
的点都在另一个圆的外部．


两个圆有唯一公共点，并且除了这
个公共点之外，每个圆上的点都在
另一个圆的外部．
两个圆有两个公共点．
性质及判定
d?R?r?
两圆外离
外切
相交
d?R?r?
两圆外切
R?r?d?R?r?
两圆相交

切
两个圆有唯一公共点，并且除了这
个公共点之外，一个圆上的点都在
另一个圆的部．
两个圆没有公共点，并且一个圆上
的点都在另一个圆的部，两圆同心
是两圆含的一种特 例．
d?R?r?
两圆切
含
0?d?R?r?
两圆含 说明：圆和圆的位置关系，既考虑了他们公共点的个数，又注意到位置的不同，若以两圆的公共点的个数来< br>分，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与含两种情况；相切两圆
只有一个公共点，它包括切与外切两种情况．

二、两圆的连心线
1. 定义：通过两圆圆心的直线叫做连心线．
2. 性质：⑴ 如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上；
⑵ 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦．

三、两圆的公切线
1. 定义：和两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线．
外公切线：两个圆在公切线同侧时，这样的公切线叫做外公切线；
公切线：两个圆在公切线两侧时，这样的公切线叫做公切线．
2. 公切线条数与两圆的位置关系
⑴ 若两圆外离，则外公切线条数为
2
，公切线条数为
2
，公切线总数为
4
；
⑵ 若两圆外切，则外公切线条数为
2，公切线条数为
1
，公切线总数为
3
；
⑶ 若两圆 相交，则外公切线条数为
2
，公切线条数为
0
，公切线总数为
2；
⑷ 若两圆切，则外公切线条数为
1
，公切线条数为
0< br>，公切线总数为
1
；
⑸ 若两圆含，则外公切线条数为
0
，公切线条数为
0
，公切线总数为
0
；
3. 性质：⑴ 若两圆有两条外（）公切线，并且相交，则两圆的连心线必经过交点且平分这两条公切线的
夹角；
⑵ 若两圆外切，则两圆的连心线垂直两圆的公切线；若两圆切，则两圆的连心线垂直两圆的外
公切线．
特别地，若两圆为等圆，则它的两条外公切线均与连心线平行．
4. 公切线的长：公切线上两个切点的距离叫做公切线的长．
5. 公切线长定理：两圆的两条外公切线的长相等，两条公切线的长也相等．

板块六：与圆有关的计算
设
⊙O
的半径为
R
，
n ?
圆心角所对弧长为
l
，
1. 弧长公式：
l?
n
π
R

180
n1
π
R
2
?lR

3602
2. 扇形面积公式：
S
扇形
?
3. 圆柱体表面积公式：
S?2πR
2
?2πRh

4. 圆锥体表面积公式：
S?πR
2
?πRl
（
l
为母线）
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：
① 公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法