高中数学创设 实验式 问题情境-高中数学课堂教学有效性界定
.
第二讲：函数的单调性
一、定义：
1.设函数
y?f
(x)
的定义域为
I
,如果对于定义域
I
的某个区间
D的任意两个自
变量的值
x
1
,x
2
，当
x1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2),
那么就说
f(x)
在区间
D
上是增
函数.区间D
叫
y?f(x)
的单调增区间.
注意：增函数的等价式子：
(x
1
?x
2
)[f(x
1
)?f(x
2
)]?0?
难点突破：（1）所有函数都具有单调性吗？
（2
）函数单调性的定义中有三个核心①
x
1
?x
2
②
f(x<
br>1
)?f(x
2
)
③
函数
f(x)
为
增函数,那么①②③中任意两个作为条件，能不能推出第三个？
2. 设函数
y?f(x)
的定义域为<
br>I
,如果对于定义域
I
的某个区间
D
的任意两个自
变
量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
),
那么就说<
br>f(x)
在区间
D
上是减
函数.区间
D
叫
y
?f(x)
的单调减区间.
注意：(1)减函数的等价式子：
(x
1
?x
2
)[f(x
1
)?f(x
2
)]?0?
f
(x
1
)?f(x
2
)
?
0
；
x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x
2
)
?<
br>0
;
x
1
?x
2
(2)若函数
f(x)
为增函数，且
x
1
?x
2
,
则f
(
x
1
)
?f
(
x
2
)
.
题型一：函数单调性的判断与证明
.
.
例1.已知函数
f(x)
的定义域为
R
，如果对于属于定义域某个区间
I
上
的任意两
个不同的自变量
x
1
,x
2
都有
f(x<
br>1
)?f(x
2
)
?0.
则（ ）
x
1
?x
2
A.
f(x)
在这个区间上为增函数
B.
f(x)
在这个区间上为减函数
C.
f(x)
在这个区间上的增减性不变
D.
f(x)
在这个区间上为常函数
变式训练：定义在
R<
br>上的函数
f(x)
对任意
0?x
2
?x
1
都
有
f(x
1
)?f(x
2
)
?1
，且函
x
1
?x
2
数
y?f(x)
的图象关于原点对称，若
f(2)?2,
则不等式
f(x)?x?0
的解集为___.
例3.证明：函数
f
(
x
)
?x
3
?x
在
R
上是增函数.
易错点：
①
②
③
a
变式训练：讨论
f
(
x
)?
x
?(a?0)<
br>的单调性.并作出当
a?1
时函数的图象.
x
.
.
变式训练：已知
f(x?1)?x
2
?2x,
判断函数<
br>g(x)?
义证明.
f(x)
并用定
在(0,1)上的单调性，
x
.
.
题型二：函数的单调区间
难点突破：（1）函数在某个区间上是单调函数，那么它在整个定义域上也是单
调函数吗？
（2）函数
f(x)?
例1.（图像法）求下列函数的单调区间
（1）
f(x)?|x?1|?|x?2|
. (2
)
f
(
x
)
??x
2
?
2|
x<
br>|
?
3
.
（3）
f
(
x
)
?
|
?x
2
?
4x?
5|
.
易错点：①区间端点的
确认
②多个单调区间的写
法
1
的单调减区间是
(??,0)?(0,??)
上吗？
x
.
.
例2.（直接法）求函数
f(x)?
例3.（复合函数）（2017全国二）函数
f(x)?ln(x
2
?2x?8)
的单调递增区间是
( )
A.
(??,?2)
B.
(??,?1)
C.
(1,??)
D.
(4,??)
变式训练：求下列函数的单调区间.
（1）
y?
.
1?x
的单调区间.
1?x
易错点：
1
（2）
y?x
2
?5x?6
2
x?x?3
.
（3）
y?1?
题型三：抽象函数的单调性问题 <
br>例1.设函数
f(x)
是实数集
R
上的增函数，令
F(x)?
f(x)?f(2?x)
.
(1)
证明：
F(x)
是
R
上的增函数；
(2) 若
F
(
x
1
)
?F
(
x
2
)
?
0,
求证：
x
1
?x
2
?2
.
例2定义在
(0,??)
上的函数
f(x)
满足下面三个条件：
①对任意正数
a,b
，都有
f(a)?f(b)?f(ab)
；
②当
x?1
时，
f(x)?0
；
.
1
3?2x?x
2
.
③
f(2)??1
.
（1）求
f(1)
的值；
（2）使用单调性的定义证明：函数
f(x)
在
(0,??)
上是减函数；
（3）求满足
f(3x?1)?2
的
x
的取值集合.
题型四：函数单调性的应用
（1）利用函数的单调性比较大小
在解决比较函数值大小的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上.
①正向应用：
.
.
②逆向应用：
3
?
例1.
f
?
x
?
在
?
0,??
?
上单调递减，那么
f
?
a
2
?a?<
br>1
?
与
f
?
??
的大小关系是__________
.
?
4
?
变式训练：已知函数
f(x)满足
f(1?x)?f(1?x),
且对任意的
x
1
,
x
2?
1(
x
1
?x
2
)
，有
f(x1
)?f(x
2
)
1
?0.
设
a?f(?),
b?f
(2),
c?f
(3),
则
a,b,c的大小关系_________.
x
1
?x
2
2
（2）利用函数的单调性解不等式
例2.设
f(x
)
是定义在
[?1,1]
上的增函数，且
f(x?2)?f(1?x)
成立，求
x
的取值
围.
<
br>变式训练.①设
f(x)
是定义在
[?3,3]
上的偶函数，当
0?x?3
时，
f(x)
单调递减，
易错点：
.
.
若
f(1?2m)?f(m)
成立，求
m
的取值围.
②（2015全国二）设函数
f(x)?ln(1?x)?
的取值围是（ ）
1
11111
A.
(
,1)
B.
(??,)?(1,??)
C.
(?,)
D.
(??,?)?(,??)
3
33333
1
,则使得f(
x)?f(2x?1)
成立的
x
2
1?x
?
2<
br>?x
，x≤0
，则满足
f
?
x?1
?
?f<
br>?
2x
?
的
x
的取值围
③（2018全国一）设函数
f
?
x
?
?
?
1
，x?0
?
是（ ）
A．
?
??，?1
?
B．
?
0，??
?
C．
?
?1，0
?
D．
?
??，0
?
（3）根据函数的单调性求参数的取值围
例1.如果函数
f
(
x<
br>)
?
2
x
2
?
4(1
?a
)
x?
1
在区间
[3,??)
上是增函数，则实数
a
的取值
围是（ ）
A.（1,2） B.（0，2） C.（0，1）
D.
?
?2,??
?
.
.
变式训练：如果函数
f
(
x
)
?x
2
?
2(1
?a
)
x?
2
在区间[??,4)
上是减函数，数
a
的取
值围.
?
(2b?1)x?b?1,x?0,
例
2.若函数
f(x)?
?
2
在
R
上为增函数，则实数
b
的取值围是
?
?x?(2?b)x,x?0
__________.
例3.若函数
y?|x?a|
在区间
(??,4]
上是减函数，数
a
的取值围.
.
易错点：
易错点：
.
第三节：函数的奇偶性
一、知识梳理
1.函数的奇偶性
奇偶性 定
义 图象特点 备注
函数
f(x)
是奇函
关于原点
奇函数 对
D
的任意
一个
x
,都有
?x
∈
D
,且
f
?
?x
?
??f
?
x
?
,则这个函数叫做奇函数
★★设函数
y?f(x)
的定义域为
D
,如果
数且在
x?0
处有
中心对称
定义,则
f(0)?0
设函数<
br>y?f(x)
的定义域为
D
,如果对
D
★关于
y偶函数 的任意一个
x
,都有
?x?D
,且
f
?
?x
?
?f
?
x
?
,则这个函数叫做偶函数
轴对称
例1（2014全国二）偶函数
y?f(x)
的图象关于直线
x?2
对称，
f(3)?3
，则
f(?1)?
_________
__．
例2（2017全国二）
已知函数
f(x)
是定义在R上的奇函数，当
x?(??,0)
时，
f(x)?2x
3
?x
2
，则
f(2)?
_______
___.
(x?1)
2
?sinx
例3（2012全国二）设函数
f(x)?
的最大值为
M
，最小值为
m
，
2
x?1
则
M
+
m
=______.
2. 函数的图象
(1)平移变换：“上加下减，左加右减”
例4（2010全国二）设偶函数
f(x
)
满足
f(x)?2
x
?4(x?0)
，则
{x|f(x?
2)?0}?
（ ）
A.
{x|x??2或x?4}
B.
{x|x?0或x?4}
.
.
C.
{x|x??2或x?2}
D.
{x|x??2或x?4}
(2)对称变换
x轴对称
?????y??f(x)
；
①
y?f(x)?
关于
y轴对称
?????y?f(?x)
；
②
y?f(x)?
关于
?????y??f(?x)
；
③
y?f(x)?
关于原点对称
y?x对称
④
y?a
x
(a?0且a?1)?
关于
?????y?log
a
x(a?0且a?1)
;
⑤奇函数的图象关于坐标原点对称；偶函数的额图象关于
y
轴对称.
(3)翻折变换
x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去
????????????
y
?
|f(x)|
. ★★①
y
?
f(x)
?
保留
?
|lgx|,0?x?10
?
例5（2010全国二）已
知函数
f(x)?
?
1
, 若
a,b,c
均不相等，且?x?6
?
?
2
f(a)?f(b)?f(c),
则
a
?b?c
的取值围是( )
A.
(1,10)
B.
(5,6)
C
(10,12)
D.
(20,24)
例6（2011全国二）已知函数
y?f(x)
的周期为2，当
x?[?1,1]
时
f(x)?x
2
，那
么函数
y?f(x)
的图象与函数
y?|lgx|
的图象的交点共有（
）
A．10个 B．9个 C．8个 D．1个
y轴右边图象，并作其关于y轴对称的图象（去掉原f(x)在y轴左侧的图象）
??????
??????????????y?f
(|
x
|)
. ★★★②
y?
f
(
x
)
?
保留
例7（2011全国二）下列函数中，既是
偶函数又在
(0,??)
单调递增的函数是（ ）
A.
y?x
3
B．
y?|x|?1
C．
y??x
2
?1
D．
y?2
?|x|
例8（2010大纲）直线
y?1
与曲线
y?x
2
?|x|
?a
有四个交点，则
a
的取值围是
____________.
(4)函数图象的几种对称关系
.
.
★①
f(
x),x?R
满足
f(a?x)?f(a?x)?y?f(x)
图象关于直线
x?a
为轴对称；
例9（2018全国二）已知
f(x)
是定义域为
(??,??)
的奇函数，满足
f(1?x)?f(1?x)
，若
f(1)
=2，则
f(1)?f(2)?f(3)?...?f(50)?
（ ）
A．﹣50 B．0 C．2
D．50
a?b
为轴对称；
2
b?a
③函数
y?f(a
?x)
与函数
y?f(b?x)
的图象关于直线
x?
对称.
2
1
如：
y?f(x)
和
y?f(1?x)
的图
象，关于直线
x?
为轴对称.
2
②
f(a?x)?f(b?x)?
f(x)
图象关于
x?
例10（2015全国二）已知函数
f
(x
)
?ax
3
?
2
x
的图像过点（-1,4）
，
则
a
=________.
二、真题演练
1.（2014全国
一）设函数
f(x),g(x)
的定义域为
R
，且
f(x)
是奇函数，
g(x)
是
偶函数，则下列结论中正确的是（ ）
A.
f(x)g(x)
是偶函数 B.
|f(x)|g(x)
是奇函数
C.
f(x)|g(x)|
是奇函数 D.
|f(x)g(x)|
是奇函数
?
2
x?1
?2,x?1
2.（2015全国一）已知函数
f(x)?
?
错误!未找到引用源。，且<
br>?log(x?1),x?1
2
?
f(a)??3
，则
f(6
?a)
=( )
A.-
7531
B.-
C.- D.-
4444
3.（2015全国一）设函数
y?
f(x)
的图像关于直线
y??x
对称，且
f(?2)?f(?4)?1,则
a?
（ ）
A.-1 B.1
C.2 D.4
4.（2017全国一）函数
y?
sin2x
的部分图像大致为（ ）
1?cosx
.
.
5.（2017全国一）已知函数
f(x)?lnx?ln(2?x)
，则（ ）
A.
f(x)在（0,2）单调递增
B.
f(x)在（0,2）单调递减
C.
y?f(x)的图像关于直线x?1对称
D.
y?f(x)的图像关于点（1,0）对称
6.(2017全国三)函数
y?1?x?
sinx
的部分图像大致为（
）
2
x
A． B．
C． D．
二、课后作业
1.若奇函数
f(x)
在
?<
br>3,7
?
上是增函数且最大值为5，那么
f(x)
在
?
?7,?3
?
上是（ ）
A.增函数且最小值是
?5
B.增函数且最大值是
?5
C.减函数且最大值是
?5
D.减函数且最小值是
?5
2.若
f
(
x
)?
(
m?
1)
x
2
?
2
mx?
3
是偶函数，则
f(x)
在
?
?4,?1
?
上（
）
A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性
D.单调性由
m
的值确定
3.已知函数
f
?
x
?
?a?
.
1,
若
f
?
x
?
为奇函数，则
a?
__
______.
x
2?1
.
4.函数
f（x）?
ax?b12
是定义在上的奇函数，且,求函数
f(x)
的
f（）?
(?1,1)
25
1?x
2
解析式___________.
第四节：函数的零点
一、知识梳理
★零点：方程
f
(x)?0
的解；函数
f(x)
图象与
x
轴交点的横坐标.
函数
F(x)?f(x)?g(x)
的零点是函数
f(x)
与函数
g(x)
图象交点的横坐标.
零点存在定理：函数
f(x)
在定义域
?
a,b
?
上连续，若
f(a)?f(b)?0
，则
f(
x)
在定
义域
?
a,b
?
上一定存在零点.
例（
2011全国二）在下列区间中，函数
f
(
x
)
?e
x?
4
x?
3
的零点所在的区间为
（ ）
1
A．
(?,0)
4
11113
B．
(0,)
C．
(,)
D．
(,)
44224
二、真题演练
1.（2017全国三）已知函数
f(x)?x<
br>2
?2x?a(e
x?1
?e
?x?1
)
有唯一零点
，则
a
=（ ）
1
A．
?
2
.
1
B．
3
C．
1
2
D．1
.
?
e
x
,x?
0
2.(2018全国一)已知函数
f(x)?
?
，
g(x)?f(
x)?x?a
，若
g(x)
存在两
?
lnx,x?0
个零点
，则
a
的取值围是__________.
三、课后作业
1.关于
x
的方程
x
5
?x?
1
?
0
的根所在大
致区间为（ ）
A.
(0,1)
B.
(1,2)
C.
(3,4)
D.
(4,5)
?x
5
?bx
3
?cx?（其中
7b,c为常数,x?R）
2.已知
f（x）
，若
f（?2）
?10，
则
f（2）
=________.
.