函数的单调性知识点总结与 题型归纳

函数的单调性

知识梳理

1. 单调性概念
一般地，设函数
f(x)
的定义域为
I
：

（1） 如果对于定义域
I
内的某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说函数
f(x)在区间
D
上是增函数；
（2）如果对于定义域
I
内的某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
，当
x
1
?x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，那么就说函数
f(x)
在区间
D
上是减函数.
2. 单调性的判定方法
（1）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。
（2）定义法步骤；
①取值：设
x
1
,x
2
是给 定区间内的两个任意值，且
x
1
?x
2
(或
x
1
?x
2
)；
②作差：作差
f(x< br>1
)?f(x
2
)
，并将此差式变形（注意变形到能判断整个差式符号 为止）；
③定号：判断
f(x
1
)?f(x
2
)
的正负（要注意说理的充分性），必要时要讨论；
④下结论：根据定义得出其单调性.
（3）复合函数的单调性：
当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数 的单调性相反时则复合函数
为减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”）
3. 单调区间的定义
如果函数
y?f(x)
，在区间
D
上是增函数或减 函数，那么就说函数在这个区间上具有单调性，
区间
D
叫做
y?f(x)的单调区间．
例题精讲

【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图．
(1)从左向右看，图形是如何变化的？
(2)在哪些区间上升?哪些区间下降？
解：（1）从左向右看，图形先下降，后上升，再下降；
（2）在区间
[0 ,4]
和
[14,24]
下降，在区间
[4,14]
下降。
【例2】画出下列函数的图象，观察其变化规律：
（1）f(x)=x;
①从左至右图象上升还是下降?
②在区间(-∞，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着怎么变化？
（2）f(x)=x
2
．
①在区间(-∞，0)上，随着x的增大，f(x)的值随着怎么变化？
②在区间[0 ，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着怎么变化？
解：（1）①从左至右图象是上升的；
②在区间(-∞，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着增大．
（2）①在区间(-∞，0)上，随着x的增大，f(x)的值随着减小；

②在区间[0 ，+∞)上，随着x的增大，f(x)的值随着增大．
【例3 】函数
y?f(x)
在定义域的某区间
D
上存在
x
1
,x
2
，满足
x
1
?x
2
且
f(x1
)?f(x
2
)
，那么函
数
y?f(x)
在 该区间上一定是增函数吗？
解：不一定，例如下图：
【例4】下图是定义在闭区间
[?5,5]
上的函数
y?f(x)
的图象，根据图象说出函数的单调区间，
以及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数．
解：函数
y?f(x)
的单调区间 有
[?5,?2),[?2,1),[1,3),[3,5)
；
其中在区间
[?5,?2),[1,3)
上是减函数，在区间
[?2,1),[3,5)
上是增函 数.
【例5】证明函数
f(x)?3x?2
在
R
上是增函数. < br>证明：设
x
1
,x
2
是
R
上的任意两个实数 ，且
x
1
?x
2
（取值）
则
f(x
1
)?f(x
2
)?(3x
1
?2)?(3x2
?2)
（作差）
由
x
1
?x
2
，得
x
1
?x
2
?0

于是
f(x
1
)?f(x
2
)?0
（定号）
所以
f(x
1
)?f(x
2
)

所以，函数
f(x)?3x?2
在
R
上是增函数。 （下结论）
课堂练习
? 仔细读题，一定要选择最佳答案哟！
1.
< br>若函数
f(x)
在区间
(a,b)
上是增函数，在区间
(c, d)
上也是增函数，则函数
f(x)
在区间
(a,b)U(c,d)
上 ( )
A.必是增函数 B.必是减函数 C.先增后减 D.无法确定单调性
2. 在区间
(??,0)
上为增函数的是（ ）


A．
y?1
B．
y?
x
?2

1?x
C．
y??x
2
?2x?1
D．
y?1?x
2

3．函数,在上是（ ）
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.无单调性
4． 如果函数f(x)在[a，b]上是增函数，对于任意的x
1
，x
2
∈[a， b](x
1
≠x
2
)，下列结论不正确的是( )
f?x
1
?－f?x
2
?
A.>0 B．(x
1
－x
2
) [f(x
1
)－f(x
2
)]>0
x
1
－x2
x
2
－x
1
C．f(a)1
)2
)0
f?x
2
?－ f?x
1
?
1
y?
5．函数
x?1
的减区间是 .
6．证明：函数
f(x)?
1
在
(0,??)
上是减函数。
x
2
?
3
?
7．已知f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 判断f(a－a＋1)与f
?
4
?
的大小关系．
??
8． 若函数f(x)＝4x
2
－kx－8在[5,8]上是单调函数，求k的取值范围.
9．已知函数
f(x)?
ax
,若
x?1
.

(l)求的值.
(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.