高中数学基础刷题什么资料-高中数学必修2第四章检测
函数的单调性
知识梳理
1. 单调性概念
一般地,设函数
f(x)
的定义域为
I
:
(1)
如果对于定义域
I
内的某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有f(x
1
)?f(x
2
)
,那么就说函数
f(x)在区间
D
上是增函数;
(2)如果对于定义域
I
内的某个区间
D
上的任意两个自变量的值
x
1
,x
2
,当
x
1
?x
2
时,都有
f(x
1
)?f(x
2
)
,那么就说函数
f(x)
在区间
D
上是减函数.
2. 单调性的判定方法
(1)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。
(2)定义法步骤;
①取值:设
x
1
,x
2
是给
定区间内的两个任意值,且
x
1
?x
2
(或
x
1
?x
2
);
②作差:作差
f(x<
br>1
)?f(x
2
)
,并将此差式变形(注意变形到能判断整个差式符号
为止);
③定号:判断
f(x
1
)?f(x
2
)
的正负(要注意说理的充分性),必要时要讨论;
④下结论:根据定义得出其单调性.
(3)复合函数的单调性:
当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数
的单调性相反时则复合函数
为减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”)
3.
单调区间的定义
如果函数
y?f(x)
,在区间
D
上是增函数或减
函数,那么就说函数在这个区间上具有单调性,
区间
D
叫做
y?f(x)的单调区间.
例题精讲
【例1】下图为某地区24小时内的气温变化图.
(1)从左向右看,图形是如何变化的?
(2)在哪些区间上升?哪些区间下降?
解:(1)从左向右看,图形先下降,后上升,再下降;
(2)在区间
[0
,4]
和
[14,24]
下降,在区间
[4,14]
下降。
【例2】画出下列函数的图象,观察其变化规律:
(1)f(x)=x;
①从左至右图象上升还是下降?
②在区间(-∞,+∞)上,随着x的增大,f(x)的值随着怎么变化?
(2)f(x)=x
2
.
①在区间(-∞,0)上,随着x的增大,f(x)的值随着怎么变化?
②在区间[0
,+∞)上,随着x的增大,f(x)的值随着怎么变化?
解:(1)①从左至右图象是上升的;
②在区间(-∞,+∞)上,随着x的增大,f(x)的值随着增大.
(2)①在区间(-∞,0)上,随着x的增大,f(x)的值随着减小;
②在区间[0 ,+∞)上,随着x的增大,f(x)的值随着增大.
【例3
】函数
y?f(x)
在定义域的某区间
D
上存在
x
1
,x
2
,满足
x
1
?x
2
且
f(x1
)?f(x
2
)
,那么函
数
y?f(x)
在
该区间上一定是增函数吗?
解:不一定,例如下图:
【例4】下图是定义在闭区间
[?5,5]
上的函数
y?f(x)
的图象,根据图象说出函数的单调区间,
以及在每一单调区间上,它是增函数还是减函数.
解:函数
y?f(x)
的单调区间
有
[?5,?2),[?2,1),[1,3),[3,5)
;
其中在区间
[?5,?2),[1,3)
上是减函数,在区间
[?2,1),[3,5)
上是增函
数.
【例5】证明函数
f(x)?3x?2
在
R
上是增函数. <
br>证明:设
x
1
,x
2
是
R
上的任意两个实数
,且
x
1
?x
2
(取值)
则
f(x
1
)?f(x
2
)?(3x
1
?2)?(3x2
?2)
(作差)
由
x
1
?x
2
,得
x
1
?x
2
?0
于是
f(x
1
)?f(x
2
)?0
(定号)
所以
f(x
1
)?f(x
2
)
所以,函数
f(x)?3x?2
在
R
上是增函数。
(下结论)
课堂练习
? 仔细读题,一定要选择最佳答案哟!
1.
<
br>若函数
f(x)
在区间
(a,b)
上是增函数,在区间
(c,
d)
上也是增函数,则函数
f(x)
在区间
(a,b)U(c,d)
上 ( )
A.必是增函数 B.必是减函数 C.先增后减
D.无法确定单调性
2. 在区间
(??,0)
上为增函数的是( )
A.
y?1
B.
y?
x
?2
1?x
C.
y??x
2
?2x?1
D.
y?1?x
2
3.函数,在上是( )
A.增函数 B.减函数 C.先增后减 D.无单调性
4.
如果函数f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的x
1
,x
2
∈[a,
b](x
1
≠x
2
),下列结论不正确的是( )
f?x
1
?-f?x
2
?
A.>0
B.(x
1
-x
2
)
[f(x
1
)-f(x
2
)]>0
x
1
-x2
x
2
-x
1
C.f(a)
)
)
f?x
2
?-
f?x
1
?
1
y?
5.函数
x?1
的减区间是
.
6.证明:函数
f(x)?
1
在
(0,??)
上是减函数。
x
2
?
3
?
7.已知f(x)在(0,+∞)上是减函数,
判断f(a-a+1)与f
?
4
?
的大小关系.
??
8.
若函数f(x)=4x
2
-kx-8在[5,8]上是单调函数,求k的取值范围.
9.已知函数
f(x)?
ax
,若
x?1
.
(l)求的值.
(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.