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三角函数的图像与性质--知识点与题型归纳

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:52
tags:高中数学的知识点

全国高中数学联赛初赛知识点-高中数学奥赛联考

2020年9月22日发(作者:雍陶)






●高考明方向
1.能画出y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,
了解三角函数的周期性.
2.理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上的性质(如单调性、
最大值和最小值,图象与x轴的交点等),理解正切函数
?
ππ
?
在区间
?

2

2
?
内的单调性.
??

★备考知考情
三角函数的周期性、单调性、最值等是高考的热点, 题
型既有选择题、填空题、又有解答题,难度属中低档,如
2014课标全国Ⅱ14、北京14 等;常与三角恒等变换交汇
命题,在考查三角函数性质的同时,又考查三角恒等变换
的方法与技 巧,注重考查函数方程、转化化归等思想方法.

一、知识梳理《名师一号》P55
知识点



二、例题分析:


(一)三角函数的定义域和值域
例1.(1)《名师一号》P56 对点自测3
1
函数y=lg(sinx)+ cosx-的定义域为____________
2



sinx>0,
?
?
解析 要使函数有意义必须有
?
1
cosx-≥0,
?
2
?
sinx>0,2kπ??
??

?
解得
?
π

1
π
cosx≥,-+2kπ≤x≤+2kπ
??
23
??
3
(k∈Z).
π
∴2kπ3
π
∴函数的定义域为{x|2kπ3




例1.(2)《名师一号》P56 高频考点 例1(1)
函数y=sinx-cosx的定义域为________.



解:(1)要使函数有意义,必须有sinx-cosx≥0,即


s inx≥cosx,同一坐标系中作出y=sinx,y=cosx,x∈[0,2π]
的图象如图所示 .
结合图象及正、余弦函数的周期是2π知,
??
??
π
5?
?
函数的定义域为x
?
2kπ+
4
≤x≤2kπ+< br>4
π,k∈Z
?
.
??
?
?
?



注意:《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法
(1)求三角函数的定义域实质就是解三角不等式(组).
一般可用三角函数的图象或三角函数线确定
三角不等式的解.


例2.(1)《名师一号》P56 对点自测4
?
πxπ
?
函数 y=2sin
?
6

3
?
(0≤x≤9)的最大值与最小值 之
??
和为( )
A.2-3 B.0 C.-1 D.-1-3


πππ7π
解:∵0≤x≤9,∴-≤x-≤.
3636
π
?
??
3
?
π
∴sin
?
6
x-
3
?

?
-,1
?
.
??
?< br>2
?
∴y∈[-3,2],∴y
max
+y
min
= 2-3.


注意:《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2
求三角函数的值域的常用方法之一:
利用sinx和cosx的值域(图像)直接求;


例2.(2)8月月考第17题(1)
17.(满分12分)已知函数
f(x)?3cos
2
x?2cosxsinx?sin
2
x

?
(I)当
x?[0,]
时,求
f(x)
的值域;
2

f(x)?3cos
2
x?2cosxsinx?sin
2
x?1?2cos
2
x?sin2x
?2?cos2x?sin2x
………2分
?
22
2(sin2x?cos2x)?2
22
?2sin(2x?)?2
…………3分
4
?


??
5
?
?
x ?[0,]
时,
2x??[,]
,……4分
444
2
?
2
sin(2x?)?[?,1]
, ……5分
42
f(x)?[1,2?2]


f(x)
的值域为
[1,2?2]
. …………………6分

注意:《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2
求三角函数的值域的常用方法之二:
化为求
y?Asin(
?
x?
?
)?b
的值域
如:①
y?asinx?bcosx

合一变换
y?Asin(x?
?
)


y?asinx?bsinxcosx?ccosx

降幂
y?dsin2x?ecos2x?f

合一变换
y?Asin(2x?
?
)?b

注意弦函数的有界性!



变式:《名师一号》P58 特色专题 典例1
π
若函数f(x)=asinx-bcosx在x=处有最小值-2,< br>3
则常数a,b的值是( )
22


A.a=-1,b=3 B.a=1,b=-3
C.a=3,b=-1 D.a=-3,b=1



解:函数f(x)=asinx-bcosx的最小值为-a
2
+b
2
.
f(x)=a
2
+b
2
sin(x-φ)
ab
??
其中cosφ=,sinφ=
??

a
2
+b
2
a
2
+b
2
??

?< br>?
π
?
31
??
f=a-
?
?
3< br>?22
b=-2,
22
-a+b=-2,
?

?
a=-3,
解得
?

?
b=1.


【名师点评】 解答本题的两个关键:
①引进辅助角,将原式化为三角函数的基本形式;
②利用正弦函数取最值的方法建立方程组.

例2.(3)《名师一号》P56 高频考点 例1(2)
?
π7π
?
当x∈
?
6

6
?
时,函数y=3-s inx-2cos
2
x的最小值
??
是________,最大值是________.


?
π7π
??
1
?
解:∵x∈
?
6
,< br>6
?
,∴sinx∈
?

2
,1
?
.
????
又y=3-sinx-2cos
2
x=3-sinx-2(1- sin
2
x)


1
?
7
?
=2?
sinx-
4
?
2
+.
??8
17
∴当sinx=时,y
min
=;
48
1
当sinx=-或sinx=1时,y
max
=2.
2

注意:《名师一号》P56 高频考点 例1 规律方法2
求三角函数的值域的常用方法之三:
把sinx或cosx看作一个整体,转换成二次函数求值域.

练习: (补充)
tan
2
x?1
(1)求函数
f(x)?
的值域
2
tanx?1

【答案】
?1,1
?

?

2sin
2
x?1?
?
?
?
?
x?
(2)求函数
f(x)?
?
0,
?
?
的值域
?
sin2x
?
?
2
?
?

【答案】
?
3,??

?
?


2si n
2
x?13sin
2
x?cosx
f(x)??
sin2 x2sinxcosx
3tan
2
x?11
?
1
?
??
?
3tanx?
?
2tanx2
?
tanx
?
?
?
?
x?
?
0,
?
?tanx?0?
2
?
f(x)?
11
23tanx?3
2tanx< br>
注意:求三角函数的值域的常用方法之三:
求三角函数的值域的常用方法:
化为求代数函数的值域
注意约束条件---- 三角函数自身的值域!


例2.(4)(补充)
求函数
f(x)?sinxcosx?sinx?cosx
的值域


【答案】
?
?
?
1
?
?2,1
?

?
2
?
注意:求三角函数的值域的常用方法之四:
《名师一号》P56 问题探究 问题3
如何求三角函数的值域或最值?


③形如y=asinxcosx+b(sinx±cosx)+c的三角函数,
可先设t=si nx±cosx,化为关于t的二次函数求值域(或最
值).
利用
sinx?cosx?1
转化为二次函数在指定区间
上的值域问题

变式:
求函数
f(x)?sinxcosx?sinx?cosx
的值域


例2.(5)详见 第一章 第二讲函数值域
7.数形结合法: 例7(2)
《名师一号》P14 问题探究 问题(6)
当一个函数图象可作时,通过图象 可求其值域和最值;
或利用函数所表示的几何意义,借助于几何方法求出函数
的值域.
(补充)如两点间距离、直线斜率等等

求函数
y?
4sinx?1
的值域
2cosx?4



22


1
???
1
?
4
?
sinx?
?
sinx?
?
?
?
4??
4
?
可视作单位圆外一点解:
y?
?
?2
2
?
cosx?2
?
cosx?2
1
??
P
?
2,?
?
与圆
x
2
?y
2
?1
上的点
?
cosx,sinx
?
所连线
4
??
1
??
段斜率的2倍,设过点
P
?
2,?
?
的点的直 线方程为
4
??
11
y??k
?
x?2
?

kx?y?2k??0

44
1
2k?
35
4
令解得或
k??k?
?1
2
412
1?k
?
35
?
答案:
?
?,
?

?
26
?

注意:求三角函数的值域的常用方法之五:
数形结合法

练 习:求函数
y?
cosx?1
x?
?
0,
?
?的值域
sinx?2

?
4
?
答案:
?
0,
?

?3
?


变式:求函数
y?
cosx?1
sinx? 2

?
??
?
x?
?
?,
?
的值域
?
22
?
?
1
?
答案:
?
0,
?

?
2
?

拓展:8月月考第16题
2sin( x?)?2x
2
?x
4
函数
f(x)?
的最大值是
M
,最小值是
2
2x?cosx
m
,则
M?m
的值 是 .


?
2sin(x?)?2x
2
?x
2
sinx?cosx?2x?xsinx?x
4
f(x)???1?< br>2x
2
?cosx2x
2
?cosx2x
2
?cos x
sinx?x
,记
g(x)?
,则
g(x)
是奇函数且< br>f(x)?1?g(x)

2x
2
?cosx
所以
f (x)
的最大值是
M?1?g(x)
max

最小值是
m ?1?g(x)
min
,因为
g(x)
是奇函数,
所以
g(x)
max
?g(x)
min
?0
, < br>所以
M?m?1?g(x)
max
?1?g(x)
min
?2
.

?
(三)三角函数的周期性、奇偶性、对称性
例1.(1)《名师一号》P56 对点自测5


π
??
设 函数f(x)=sin
?
2x-
2
?
,x∈R,则f(x)是( )
??
A.最小正周期为π的奇函数 B.最小正周期为π的偶函数
ππ
C.最小正周期为的奇函数 D.最小正周期为的偶函数
22


答案 B

例1.(2)《名师一号》P57 高频考点 例3(2)
(2014·新课标全国卷Ⅰ)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|, < br>ππ
2x+
?
,④y=tan
?
2x-
?
中 ,最小正周期为π的所③y=cos
?
6
?
4
???
有函数 为( )
A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③




解:由于y=cos|2x|=cos2x,所以该函数的周期为=π;由2
π
2x+
?
的周期函数y=|cosx|的图象易知其周期为π;函数 y=cos
?
6
??
π
2ππ
2x-
?
的 周期为,为=π;函数y=tan
?
故最小正周期为π的函
4
??
2 2
数是①②③,故选A.

注意:《名师一号》P56 问题探究 问题1
如何求三角函数的周期?
(1)利用周期函数的定义.


(2)利用公式:
y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的 最小正周期为
y=tan(ωx+φ)的最小正周期为




|ω|
π
.
|ω|
例1.(3)
《名师一号》P58 特色专题 典例2
π
ωx+
?
+sinωx(ω>0)相邻两对称轴之间 的距函数f(x)=sin
?
3
??
离为2,则ω=________



【规范解答】 相邻两对称轴之间的距离为2,即T=4.
π
133
ωx+
?
+sinωx=sinωx+cosωx+sinωx=f (x)=sin
?
3
??
222
π
3
ωx+
?
,又因为f(x)相邻两条对称轴之sinωx+cosωx=3sin
?
6??
2

π
间的距离为2,所以T=4,所以=4,即ω=.
ω
2


注意:
【名师点评】 函数f(x)=Asin( ωx+φ),f(x)=Acos(ωx
+φ)图象上一个最高点和它相邻的最低点的横坐标之差的绝对 值
π
是函数的半周期,纵坐标之差的绝对值是2A.在解决由三角函
|ω|
数 图象确定函数解析式的问题时,要注意使用好函数图象显示出
来的函数性质、函数图象上特殊点的坐标及 两个坐标轴交点的坐
标等.



练习:《加加练》P3 第11题

例2.(1)《名师一号》P57 高频考点 例3(1)
x+φ
(1)若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是偶函数,
3
则φ=( )
π2π3π5π
A. B. C. D.
2323


x+φ
解: (1)∵f(x)=sin是偶函数,
3
∴f(0)=±1.
φφπ
∴sin=±1,∴=kπ+(k∈Z).
332

∴φ=3kπ+(k∈Z).
2

又∵φ∈[0,2π],∴当k=0时,φ=.故选C.
2

x+φ
变式:若函数f(x)=sin(φ∈[0,2π])是奇函数,则φ=?
3


例2.(2)《名师一号》P57 高频考点 例3(3) ?

?
(3)如果函数y=3cos(2x+φ)的图象关于点
?3
,0
?

??


中心对称,那么|φ|的最小值为( )
ππππ
A. B. C. D.
6432



解:(3)由题意得
4π2π
2×+φ
?
= 3cos
?
+φ+2π
?
3cos
?
3
???< br>3
?

2ππ
+φ
?
=0,∴+φ=kπ+,k∈ Z. =3cos
?
?
3
?
32
ππ
∴φ=kπ- ,k∈Z,取k=0,得|φ|的最小值为.
66

注意:【规律方法】
(1)若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,则当x=0时,f(x)取
得最大或最小值,若 f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,则当x
=0时,f(x)=0.
(2)对于函数 y=Asin(ωx+φ),其对称轴一定经过图象的
最高点或最低点,对称中心一定是函数的零点,因 此在判
断直线x=x
0
或点(x
0,
0)是否是函数的对称轴或对称 中心
时,可通过检验f(x
0
)的值进行判断.
《名师一号》P56 问题探究 问题4
如何确定三角函数的对称轴与对称中心?
若f(x)=Asin(ωx+φ)为偶函数,
则当x=0时,f(x)取得最大值或最小值.
若f(x)=Asin(ωx+φ)为奇函数,
则当x=0时,f(x)=0.


如果求f(x)的对称轴,
π
只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z),求x.
2
(补充)结果写成直线方程!
如果求f(x)的对称中心的横坐标,
只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)即可.
(补充)结果写点坐标!
同理对于y=Acos(ωx+φ),可求其对称轴与对称中心,
对于y=Atan(ωx+φ)可求出对称中心.


练习1:《名师一号》P58 特色专题 典例3
π
|φ|≤
?
为偶已知f(x)=sinx+3cosx(x∈R),函数y=f(x+φ)
?
2
? ?
函数,则φ的值为________.



【规范解答】 先求出f(x+φ)的解析式,然后求解.
π
x+
?
. ∵f(x)=si nx+3cosx=2sin
?
?
3
?
π
x+φ+
?
. ∴f(x+φ)=2sin
?
3
??
ππ
∵函数f( x+φ)为偶函数,∴φ+=+kπ,k∈Z,
32
π
即φ=+kπ(k∈Z).
6
ππ
又∵|φ|≤,∴φ=.
26


练习2:
《计时双基练》P247 第3题


(四)三角函数的单调性
例1.(1)《名师一号》P56 对点自测6
ππ< br>?
下列函数中,周期为π,且在
?
?
4

2
?
上为减函数的是( )
ππ
2x+
?
B.y=cos
?
2x+
?
A.y=sin
?
2
?
2
???
ππ
x+
?
D.y=cos
?
x+
?
C.y=sin
?
?
2
??
2
?


解析 由函数的周期为π,可排除C,D.
ππ
?
又函数在
??
4

2
?
上为减函数,排除B,故选A.


练习1:《计时双基练》P247 第7题
?
?
?
函 数
y
?
cos
?
?2
x
?
的单调递减区间 为
?
4
?
练习2:《加加练》P1 第11题


(2)《名师一号》P57 高频考点 例2
π
ωx+
?
(ω>0)的最小正周期为π. 已知函数f(x)=4cosωx·sin
?
4
??
(1)求ω的值;


π
0,
?
上的单调性. (2)讨论f(x)在区间
?
?
2
?


π
ωx+
?
=22sinωx·解:(1)f(x)=4cosωx·sin
?
cosωx+22
4
??
π
2ωx+
?
+2. cos< br>2
ωx=2(sin2ωx+cos2ωx)+2=2sin
?
4
??
因为f(x)的最小正周期为π,且ω>0.

从而有=π,故ω=1.

π
2x+
?
+2. (2)由(1)知,f(x)=2sin< br>?
4
??
πππ5π
若0≤x≤,则≤2x+≤.
2444
ππππ
当≤2x+≤,即0≤x≤时,f(x)单调递增;
4428
ππ5πππ
当≤2x+≤,即≤x≤时,f(x)单调递减.
24482
π
0,
?
上单调递增, 综上可知,f(x)在区间?
?
8
?
ππ
?
在区间
?
?
8

2
?
上单调递减.



注意:《名师一号》P56 问题探究 问题2
如何求三角函数的单调区间?
( 1)求函数的单调区间应遵循简单化原则,将解析式
先化简,并注意复合函数单调性规律“同增异减”.
(2)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中,


ω>0)的单调区间时,要视“ωx+φ”为一个整体,通过解
不等式求解.但如果ω<0,那么一定先 借助诱导公式将ω
化为正数,防止把单调性弄错.


例2.《名师一号》P58 特色专题 典例4
(2014·全国大纲卷)若函数f(x )=cos2x+asinx在区
?
ππ
?

?
6

2
?
是减函数,则a的取值范围是________.
??



【规范解答】 先化简,再用换元法求解.
f(x)=cos2x+asinx=1-2sin
2
x+asinx.
π π
?
令t=sinx,∵x∈
?
?
6

2
?

1
?
∴t∈
?
?
2
,1
?
. < br>1
?
∴g(t)=1-2t
2
+at=-2t
2
+a t+1
?
?
2
?

a
1
由题意知-≤,∴a≤2.
2×?-2?
2
∴a的取值范围为(-∞,2].


课后作业


一、计时双基练P247 基础1-11、
课本P56变式思考1
二、计时双基练P247培优1-4
课本P56变式思考2、3
预习 第五节

练习:
1、设函数f(x)=2sin(
??
x+).若对任意x∈R,都有
2
5
1

2
f(x
1
)≤f(x)≤f(x
2
)成立,则|x
1
-x< br>2
|的最小值为( )
A.4 B.2 C.1 D.
分析:∵f(x)的最大值为2,最小值为-2,
∴对?x∈R,-2≤f(x)≤2.
取到最值时x=
?
+kπ,|x1
-x
2
|取最小值,即
2
T
=2.
2f(x
1
)为最小值,f(x
2
)为最大值且(x
1
, f(x
1
)),(x
2
,f(x
2
))为
相邻的最 小(大)值点,即半个周期.
解析:f(x)的周期T=4,|x
1
-x
2
|
min

故选B.
2、为了使函数
y?sin
?
x(
?
?0)
在区间
[0,1]
上至少出现50
次最大值,求
?
的最小值。
3、(12天津文7)将函数
f(x)?sin
?
x(
?
?0)
的图像向右


?
3< br>?
个单位长度,所得图像经过点
(,0)
,则
?
的最小
4
4
值是

特殊情况---三角函数的奇偶性
平移
例2 (补充)(1)(08. 江西)函数
f(x)?
sinx
x
sinx?2sin
2
是( )
A.以
4
?
为周期的偶函数 B.以
2
?
为周期的奇函数
C.以
2
?
为周期的偶函数 D.以
4
?
为周期的奇函数


【答案】A
(07年辽宁理)
已知函数

π
?
π
?
?
x
??
f(x)?sin
?
?
x?
?
?sin
?
?
x?
?
?2cos
2
,x?R
662
????

(其中
?
?0

(I)求函数
f(x)
的值域;

(II)若对任意的
a ?R
,函数
y?f(x)

x?(a,a?π]


的图象与直线
y??1
有且仅有两个不同的交点,


试确定
?
的值(不必证明),并求函数
y?f(x),x?R
的单调增区间.


?
??
答案:(I)
f
?
x
?
?2sin
?
?
x?
?
?1

?
?3,
?
1

6
??
??
??
(II)
T?
?
,
?< br>?2

?
k
?
?,k
?
?
?< br>?
k?Z
?

63
??
变式:求函数
?< br>?
?
y?f(x),x?
?
0,
?
的单调增区间.
?
2
?












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本文更新与2020-09-22 10:52,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/408332.html

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