知识点：集合大小定义的标准

2020年9月22日发(作者：窦遴奇)

知识点：集合大小定义的标准
作为集合大小的定义，应该满足什么样的基本要求? 我
们当然要尽可能地使它符合一般的关于大小的常识和直觉，
其中有许多是要比整体大于部分更 加要紧的。首先，一个集
合的大小只应该取决于这个集合本身。
我们知道一个集合可以用多种方法来构造和表示，比如说，
A={小于等于2的正整数｝
B={1, 2｝
C={x2-3x+2=0的根｝
其实都是同一个集合，
D={n | n为自然数，且方程xn+yn=zn有xyz0的整数解｝
又怎么样呢?2 019年英国数学家怀尔斯证明了费尔马大定
理，所以集合D和上面的集合A、B、C是同一个集合，它 里
面有两个元素1和2。我们记得，一个集合由它所含的元素
唯一决定，所以它的大小也不能取 决于它被表示的方法，或
者被构造的途径，它只应该取决于它本身。
一个集合得和自己一样大 ，这个没有什么好说的;其次，如
果集合A不小于(也就是说或者大于，或者一样大)集合B，
而集合B也不小于集合A，那么它们就必须是一样大的;第三，
如果集合A不小于集合B，而集合B又不 小于集合C，那么
集合A就必须不小于集合C。在数学上，我们称满足这三个
条件的关系为偏序 关系(注：严格地说，这个偏序关系并不
第 1 页

定义在集合之间，而是定 义在集合按一样大这个等价关系定
义出的等价类之间，关于偏序关系的严格定义的叙述和上面
所 说的也有区别，但这些问题在这里并不要紧，你如果看不
懂这个注在讲什么也不要紧)。如果一个关于集 合大小的定
义违反了上面所说的三条之一，这个定义的怪异程度一定会
超过上面使用一一对应原 则的定义!
举个例子，比如说我对某位科幻小说作家的喜爱程度就是一
个偏序关系。如果我喜 欢阿西莫夫胜于喜欢凡尔纳，而喜欢
凡尔纳又胜于喜欢克拉克，那在阿西莫夫和克拉克中，我一
定更喜欢阿西莫夫。不过一个偏序关系并不要求任意两个对
象都能相互比较。比如说刘慈欣的水平当然不 能和克拉克这
样的世界级科幻大师比，但是喜欢是一种很个人的事情，作
为一个中国人，我对中 国的科幻创作更感兴趣所以似乎不能
说我更喜欢克拉克，但也不能说我更喜欢刘慈欣，而且也不
能说同样喜欢，因为喜欢的地方不一样所以更确切地也许应
该说，他们俩之间不能比较。但偏序关系中存 在这样的可能
性，有一个对象可以和两个不能相互比较的对象中的每一个
相比较，比方说我喜欢 阿西莫夫胜过刘慈欣和克拉克中的任
一个。
不过作为集合大小的定义，我们希望能够比较任意 两个集合
的大小。所以，对于任何给定的两个集合A和B，或者A比
B大，或者B比A大，或者 一样大，这三种情况必须有一种
第 2 页

正确而且只能有一种正确。这样的偏序关系被称为全序关
系。
最后， 新的定义必须保持原来有限集合间的大小关系。有限
集合间的大小关系是很清楚的，所谓的大，也就是集 合中的
元素更多，有五个元素的集合要比有四个元素的集合大，在
新的扩充了的集合定义中也必 须如此。这个要求是理所当然
的，否则我们没有理由将新的定义作为老定义的扩充。
整体大于部分原则的困难和一一对应原则的优点
满足上面几条要求的定义，最简单的就是认为 无限就只有一
种，所有的无限集合都一样大，而它们都大于有限集合。这
其实是康托尔创立集合 论以前数学家的看法，所以康托尔把
无限分成许多类的革命性做法使得数学家们大吃了一惊。但
是这样的定义未免太粗糙了一点，只不过是把无限集合比有
限集合大换了种方法说罢了，我们看不出这有 什么用处。没
有用的定义不要也罢再说在这种定义中，自然数和正偶数也
一样多，因为所对应的 集合都是无限集合。
如果我们在上面几条要求中，再加上整体大于部分这条要求
会怎么样呢?
我们想像平面上有条射线，射线的一端是原点，然后在上面
我们每隔一厘米画一个点，并在每个 点旁边标上1、2、3等，
这样就有无穷个点。那么这个点集和自然数集合比较大小的
结果应该 如何?按照我们前面的要求，任何两个集合都应该
第 3 页

可以比较大小的 。我们很容易想像到，这其实是一条数轴的
正半轴，上面的点就是代表自然数的那些点，所以这些点的< br>个数应该和自然数的个数相同。而且，按照整体大于部分的
规定，那些标有10、20、30的点 的集合比所有点的集合要
小。但是一厘米实在是非常人为的规定，如果我们一开始就
每隔一分米 画一个点，顺着上面的思路，这些点的个数也该
和自然数一样多，但是这恰好是按一厘米间隔画点时标有
10、20、30的点啊!那些点始终是一样的，所以它们的个数
不应该取决于在它们的旁边标 记的是1、2、3还是10、20、
30。
再举一个例子。假设我给你一个大口袋，里面有无 限多个小
口袋，上面按照自然数标了号1、2、3。在1号口袋中有1
粒豆子，2号口袋中有2 粒豆子，依次类推。现在我当着你
的面拿掉1号小口袋，那么剩下的小口袋数和原来的相比如
何 ?如果按照整体大于部分的观点，应该是少了，少一条。
但是如果我当初就背着你拿掉1号口袋，然后从 其他每个小
口袋中取出一粒豆子，再把小口袋上的号码改掉，2改成1，
3改成2，然后再把大 口袋给你，你显然不会知道我做了手
脚，因为这时大口袋里的东西和原来没有任何区别，所以小
口袋的数量和原来一样多。这就和少一条矛盾了，从小口袋
里拿一粒豆子或者是涂改上面的标号不应该改 变口袋的数
量。大家明白我是打了一个比方，大口袋就是一个集合。按
第 4 页

< p>
照上面的要求，集合的大小只应该取决于集合本身，而不应
该取决于集合的表示方法或构造 方法，也就是得到集合的过
程。你拿到了大口袋，也就是就应该知道里面小口袋的数量，
而不用 知道我是否做过手脚。
这样的例子可以举很多。我们发现，如果坚持整体大于部分
的话，固然 可以使得某些集合和自己的子集相比较时，比如
比较自然数和正偶数的个数时，符合直观和常识。但是更 多
的非常直观的东西和常识却都会变成错误的。比如说，
x'=x+1这样一个数轴上的坐标平 移，会将坐标上的点集
{1,2,3｝变为{2,3,4｝，一个坐标平移居然可以变动点集中
元素的个数!元素可以一一对应的两个集合大小相同这条原
理的失效，会使得我们在比较两个元素很不相 同的集合时无
所适从：怎样不使用一一对应的方法来比较自然数和数轴上
(0,1)区间中点的 个数?
在上面的两个例子中我们会有这样的感觉，对于无限集合来
说，从部分中似乎可以产生 出整体来。比如射线上的每隔一
厘米画一个点的例子，如果我们把不是10的倍数的点去掉，
然 后将平面收缩到原来尺度的十分之一，我们就重新得到了
原来的那个点集。在装豆子的口袋的例子中，只 要从去掉1
号口袋后剩下的那些袋子中拿去一粒豆子，我们就又得到了
原来的那个大口袋。这暗 示了无限集合的一个重要特点：从
某种意义上来说，它和自己的一部分相似。事实上，无限集
第 5 页

合的一个定义就是能和自己的一部分一一对应的集合。所以
在无限集合 大小的比较中，违反了整体大于部分的原则并不
奇怪，因为这恰好就是无限集合的特征。
如果 使用一一对应的比较方法，我们发现它满足所有第二节
中提出的关于集合大小定义的要求。而且除了整体 大于部分
这个我们已经解释过的不适用的原则外，不违反其他的直觉
和常识。事实上用一一对应 的方法来比较两个集合的大小，
也是非常符合直观的。如果有两盒火柴，我们想比较哪盒中
的火 柴数量更多，我们大可不必去数出每盒中火柴的数量，
那样很容易出错。其实只要从不断地从两盒火柴中 拿掉相同
数量的火柴，最后如果同时两盒都不剩下火柴，那么就说明
数量一样多，否则就是还剩 有火柴的那盒比较多。
而更重要的是，这样的定义非常有用。康托尔在提出他关于
集合的基数 理论后，非常简洁地证明了几乎所有实数都是超
越数，而那个时候数学家连一个超越数的实例都还没有找 到!
引起第三次数学革命的罗素悖论也是从基数理论中产生出
来的。虽然集合的基数理论现在已 经为一般的数学系学生和
许多数学爱好者所熟悉，数学家们还是能从中找到非常有趣
和深奥的课 题，比如说超大集合理论，这是关于一些基数大
得匪夷所思的集合的理论。我们知道对于任何一个集合A ，
它的幂集P(A)(也就是它所有子集构成的集合)一定比它本
身大，所以我们可以构造一系 列的集合A，P(A)，P(P(A))
第 6 页

一个比一个大，所以没有 最大的集合。而超大集合理论声称，
存在一个集合B，比前面这一系列集合中的每个都要大!
所以说，使用一一对应原则来定义集合大小，是数学家迫不
得已和最佳的选择。
直觉的合理性和数学结构
在文章的最前面我们提到过，从直觉上说来，自然数的个数
应该是正偶数的两倍，这里难道没有一点合理的因素在内吗?
有时我们会听到数学家说：几乎所有的自然 数都不是素数。
如果按照一一对应的原则，素数和自然数是一样多的(第一
个素数2对应1， 第二个素数3对应2，第三个素数5对应3，
第n个素数对应n，)，这不矛盾吗?
数学并不 依赖于直觉，但是尊重直觉，直觉中常常包含着合
理的因素。受过数学训练的人对数学的直觉一般来说要 比其
他人更有合理性，数学大师能够用直觉把握住很深刻的数学
理论，他们有时会说：虽然我还 没有一个严格证明，但是我
知道它是对的。数学大师的直觉当然不是每个人能模仿的，
但是我们 的确可以改变对一些数学物体的想像方法，来改善
自己的直觉，使得它更有合理性。
当我们谈 到集合的大小，这里所谈论的集合应该是没有附加
的数学结构的。当所比较的集合都是自然数的子集时， 直觉
往往会偷偷地把自然数的数学结构加在上面。什么是数学结
构?让我们先从最一般的集合说 起。当我们谈论集合时，我
第 7 页

们只应该把它看做一个装着元素的大袋 子，里面的元素之间
没有任何联系，比如说自然数集合，我们应该想像那是一个
装了标了号的球 (或者其他什么)的大袋子，球和球之间并没
有什么联系，10并不一定非得在100的前面出现，如果 你把
口袋使劲抖抖，里面的球有些翻上来有些被压到底下去，但
这并不改变这个集合这仍然是自 然数集合。
所谓的结构，就是在元素间增加联系，使得它们不能随便乱
动。建筑工地上搭的脚 手架就是一种结构，上面的钢管啊铁
丝啊木板啊都不是随随便便堆在一起的，而是按照一定的方
式联系在一起。修建完了一幢大楼后，工人们会把它们都拆
下来再拿到另一个工地上去安装使用，虽然构 成脚手架的元
素钢管铁丝木板还是原来的那些，但是脚手架却完全是另一
个了，变化了的其实是 结构。
数学结构也一样。比如说上面我们讲的序关系，就是元素之
间的一种联系。我们可以很 方便地验证自然数的大小满足我
们前面所说的偏序关系的三个条件，而且每两个自然数之间
都可 以比较大小，所以在自然数集合上有一个全序关系，这
个关系就给了自然数集合一个结构，就叫序结构。 你可以把
拥有全序结构的自然数集合仍旧想像成上面那个装了球的
袋子，只是这时候那些球已经 被从小到大串成了一串，不能
随便乱跑了。平时我们想像自然数集合，可能会把它想成数
轴上离 原点越来越远的一串点，或者1、2、3、这样从小到
第 8 页

大的一列数 ，不知不觉地，我们已经把序结构想像进去了。
当我们感到正偶数的个数应该是自然数个数的一半，因为 每
隔一个数就有一个是偶数，我们是在想像那条串成一串的
球，偶数球得老老实实地和奇数球一 个隔一个地串在一起，
而不是杂乱无章放在袋里，后面这种情况是谈不上每隔一个
的。
在考虑到自然数的序结构后，我们就可以给自然数的个数是
正偶数的个数的两倍这种直觉一个合理的解 释了。考虑小于
100的正偶数，一共有49个，所以占小于100的自然数的
4999，接近 12;如果把小于100改成小于1000，那么结果
是499999，更接近12了;把上面的100 和1000换成越来
越大的数字，我们会发现正偶数所占的比例会越来越接近
12。这就提示我 们可以采用这样一种关于自然数的子集的
大小的定义：如果A是自然数的一个子集，令p(n)为A中小
于n的元素的个数，我们称limnp(n)n(就是当n趋向无穷
大时，p(n)n的极限) 为A相对于自然数集合的大小。在这
个定义下，正偶数集合相对于自然数集合的大小就是12。
按照这样的定义，素数集合相对于自然数集合的大小是0，
这也就是所谓的几乎所有的自然数都不是素数 。用上面这个
方法还可以比较两个自然数集合的子集的相对大小，具体方
法就由读者自己来思考 了。
如果没有自然数序结构这个背景，我们就只能够使用一一对
第 9 页

应的方法来讨论集合的基数，那种自然数的个数是正偶数的
个数的两倍的直觉只是一种错觉。比 如说考虑下面平面图
上，所有(2n,n)这样的点所组成的集合(其中n是自然数)。
如果站 在x轴的角度来看，我们发现每隔一列就有一个点，
而列数显然和自然数一样多，所以点数就该和正偶数 一样多;
如果站在y轴的角度来看，我们发现每行都有一个点，而行
数也和自然数一样多，所以 点数就该和自然数一样多。按照
集合基数的观点，自然数和正偶数一样多，上面这种情况完
全不 造成矛盾，但是直觉所给予的一会儿一样多一会儿两倍
的印象，就没有太大的意义了(最多得到两倍的无 穷大等于
无穷大这种我们按照一一对应原则早已熟知，而且解释得更
好的观点)。
除 了序结构外，还有其他的数学结构。法国著名的布尔巴基
学派就认为数学基于三种母结构：序结构、代数 结构和拓扑
结构，各种数学结构可以混杂在一起得出不同的数学对象，
比如说实数集上有比较大 小的序结构，还有由算术运算(加
和乘，减和除是它们的逆运算)定义的代数结构，以及由极
限 理论(它规定了某些点必须在另一些点的附近)定义的拓
扑结构。布尔巴基学派试图用结构主义的观点来 统一数学，
出版了著名的《数学原理》。结构主义的观点大致来说，就
是数学结构决定数学对象 。两个分别定义在两个不同集合上
的数学对象，如果它们的数学结构相同，那么即使集合中的
第 10 页

元素很不相同，它们其实也是同一个数学对象。在数学中我
们有时会 碰到同构这个词，就是指在某种一一映射下，两个
数学对象的数学结构相同。
举一个简单的例 子。中学里我们学过复数和它的几何表示
法，知道每个复数都可以对应到直角坐标平面上的一个点，而复数的加法和乘法也都有各自的几何意义。在这里，一个
复数是a+bi这样的一对数，还是平面 上的一个点(a,b)并不
是关键，尽管一对数和一个点是完全不同的两样东西，只要
在实数对 集合和平面点集上面由加法和乘法决定代数结构
是相同的，它们都可称作是复数，是同一个数学对象。相 反
地，如果我们在平面上定义另一种乘法为(a1, b1)*(a2,
b2)=((a1*a2, b1*b2)，那么尽管平面上的点仍旧是那些，
但是因为在上面 所定义的数学结构变了，于是就完全是两种
不同的数学对象了。
象上面这样的例子中数学结构 的相同当然很直观，而有一些
此类问题则牵涉到极其深刻的数学理论，比如说著名的庞加
莱猜想 (新千年的七大数学问题之一，价值百万美金:-))就
是问，是否任意闭单连通3维流形都同胚于3维 球，换句话
说，是否给定了闭单连通这个条件，在3维流形上就只能有
一种拓扑结构，也就是3 维球的拓扑结构?另外，证明两个
原来似乎没有关系的数学对象的数学结构其实是相同的，意
义 非常重大，这样的定理是连通两个数学领域的桥梁。这意
第 11 页

味着这 两个数学对象其实是同一种东西，对于其中一个数学
对象成立的理论，可以立刻应用在另一个上面;以往 用来研
究一种数学对象的方法，就可以被用来研究另一类数学对
象。本文开头说到英国数学家怀 尔斯证明了费尔马大定理，
他证明的其实是更一般的谷山-志村猜想。这个猜想就是此
类意义重 大的命题，它沟通了两个数学领域：椭圆曲线和模
形式。它的证明被称为是人类智慧的凯歌。
最后举个搞笑的例子。网上有人发现了下面两张图片，左边
是变形金刚的电影招贴，右边是蓝猫的广告， 构成画面的元
素不同，一个是机器人，一个是蓝猫和它的朋友，但是摆的
甫士和画面结构却相同 ，也算是个不光彩的同构例子吧。
一个平面上的点应该比一条直线上的点的个数多这样的直
觉 也可以用附加的数学结构来解释合理性。当我们想像直线
或平面上的点时，我们不但想像了那些点集，同 时也在想像
着这些点集构成的直线和平面，于是它们就再不是那些集合
中散乱的点了，它们的排 列非常有规律。换句话说，我们在
点集上增加了决定直线和平面的数学结构。如果我们把直线
和 平面看作是实数域上的线性空间(关于线性空间的理论是
线性代数，所有理科的学生会在大学一年级学习 )，我们就
遇见了一些数学结构：首先我们需要一个实数域，上面有一
个域的代数结构，其次我 们在直线和平面的点集上定义了一
个交换群的代数结构，最后在实数域和交换群上定义了称作
第 12 页

数乘的代数结构，这个代数结构同域和交换群上的各种运算
都兼容， 这样我们最终得到了这个被称为实数域上的线性空
间的代数结构。上面这一串话也许有点复杂，但是中心 思想
就是上面所说的结构主义的思想：数学对象是由各种数学结
构混杂在一起(当然要合理地混 杂在一起，上面所说的兼容
就是这个意思)而得到的。一旦我们这样规定了线性空间的
结构，我 们就可以定义线性空间的维数，这时我们可以说，
两维的线性空间(平面)在这种意义下要比一维的线性 空间
(直线)大。


从上面两个例子我们看到，当集合中的元素只是被看 做一个
没有任何数学结构的集合中散乱的元素时，我们只能用一一
对应的方法来比较集合的大小 ;而当丰富多彩的数学结构被
加在集合上时，我们才有可能用更精细和更符合直觉的手段
来定义 不同的比较(附加有数学结构的)集合大小的方法。

第 13 页