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3.2简单的三角恒等变换知识点归纳与练习(含详细答案)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:55
tags:高中数学的知识点

高中数学老师好看-哪些大学知识可以解答高中数学

2020年9月22日发(作者:房千里)


§3.2 简单的三角恒等变换
课时目标 1.了解半角公式及推导过程.2.能利用 两角和与差的公式进行简单的三角恒等变
换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用,进一步体会 三角变换的规律.

1.半角公式
αα
(1)S:sin =____________________;
22
αα
(2)C:cos =____________________________;
22
αα
(3)T:tan =______________(无理形式)=___ _____________=______________(有理形
22
式).
2.辅助角公式
使asin x+bcos x=a
2
+b
2
sin(x+φ)成立时,cos φ=__________________,sin φ=______,
其中φ称为辅助角,它的终边所在象限由__________决定.

一、选择题
α
1.已知180°<α<360°,则cos 的值等于( )
2
1-cos α1-cos α
A.- B.
22
1+cos α1+cos α
C.- D.
22< br>ππ
x+
?
+sin
?
x-
?
的最大值是( ) 2.函数y=sin
?
?
3
??
3
?
1
A.2 B.1 C. D.3
2
π
0,
?
的最小值为( ) 3.函数f(x)=sin x-cos x,x∈
?
?
2
?
A.-2 B.-3 C.-2 D.-1
4.使函数f(x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)为奇函数的θ的一个值是( )
πππ2π
A. B. C. D.
6323
5.函数f(x)=sin x-3cos x(x∈[-π,0])的单调递增区间是( )
5π5ππ
-π,-
?
B.
?
-,-
?
A.
?
6
?
6
???
6
ππ
-,0
?
D.
?
-,0
?
C.
?
?
3
??
6
?
α
1+tan
2
4
6.若cos α=-,α是第三象限的角,则等于( )
5
α
1-tan
2
11
A.- B. C.2 D.-2
22
1 2 3 4 5
题 号

答 案
6


二、填空题
π
7.函数f (x)=sin(2x-)-22sin
2
x的最小正周期是______.
4
2
8.已知等腰三角形底角的余弦值为,则顶角的正弦值是________.
3
4
9.已知等腰三角形顶角的余弦值为,则底角的正切值为________.
5
10.

2002年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数 学家赵爽的弦图为基础设计
的.弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所 示).如果小正
方形的面积为1,大正方形的面积为25,直角三角形中较小的锐角为θ,那么cos 2θ的值等
于____.
三、解答题
ππ
2x-
?
+2 sin
2
?
x-
?
(x∈R). 11.已知函数f(x)=3s in
?
6
???
12
?
(1)求函数f(x)的最小正周期 ;
(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.




82
12.已知向量m=(cos θ,sin θ)和n=(2-sin θ,cos θ) ,θ∈(π,2π),且|m+n|=,求
5
θπ
?
cos
?
?
2

8
?
的值.
能力提升
13.当y=2cos x-3sin x取得最大值时,tan x的值是( )
33
A. B.- C.13 D.4
22
14.求函数f(x)=3sin(x+20°)+5sin(x+80°)的最大值.





1.学习三角恒等变换,千万不要只顾死记硬背 公式,而忽视对思想方法的理解,要学会借
助前面几个有限的公式来推导后继公式,立足于在公式推导过 程中记忆公式和运用公式.
2.辅助角公式asin x+bcos x=a
2
+b
2
sin(x+φ),其中φ满足: ①φ与点(a,b)同象限;
bba
②tan φ=(或sin φ=,cos φ=).
a
2222
a+ba+b
3.研究形如f(x)=asin x+bcos x的函数性质,都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦
函数或余弦函数的形式.因此辅助角公式是三 角函数中应用较为广泛的一个重要公式,也是
π

?
;高考常考的考点之一 .对一些特殊的系数a、b应熟练掌握.例如sin x±cos x=2sin
?
?
4
?


π

?
等. sin x±3cos x=2sin
?
?
3
?
§3.2 简单的三角恒等变换
知识梳理
1-cos α1+cos α
(2)± (3)±
22
ab
2.
22
点(a,b)
2
a+ba+b
2
作业设计
1.C
π
2.B [y=2sin xcos =sin x.]
3
ππ
x-
?
,x∈
?
0,
?
. 3.D [f(x)=2sin
?
?
4
??
2
?
π ππ
∵-≤x-≤,
444
π

?
=-1.] ∴f(x )
min
=2sin
?
?
4
?
1.(1)±
1-cos α1-cos α
sin α

sin α
1+cos α1+cos α
π
2x++θ
?
. 4.D [f (x)=sin(2x+θ)+3cos(2x+θ)=2sin
?
3
??
2
当θ=
π时,f(x)=2sin(2x+π)=-2sin 2x.]
3
ππ
5
x-
?
,f(x)的单调递增区间为
?
2kπ-,2 kπ+
π
?
(k∈Z),
5.D [f(x)=2sin
?66
??
3
??
π
5
-,
π
?
.]
令k=0得增区间为
?
?
66
?
4
6.A [∵α是第三象限角,cos α=-,
5
3
∴sin α=-.
5α
sin
2
1+
α
ααααααα
3
cos< br>1+tancos+sincos+sincos+sin1-
2
2222222
1+sin α
5
1
∴===·===-.]
αααααααα
cos α42
1-tansincos-sincos-sinc os+sin-
222222225
1-
α
cos
2
7.π
2222
解析 f(x)=sin 2x-cos 2x-2(1-cos 2x)=sin 2x+cos 2x-2
2222
π2π
=sin(2x+)-2,∴T==π.
42
45
8.
9
解析 设α为该等腰三角形的一底角,
2
则cos α=,顶角为180°-2α.
3
∴sin(180°-2α)=sin 2α=2sin αcos α=2
9.3
2
?
2
245
1-
?
=.
?
3
?
·
39


4
解析 设该等腰三角形的顶角为α,则cos α=,
5
1
底角大小为(180°-α).
2
4
1+
1+cos α
5
1
α
1
?180°-α?
?
=tan
?
90°-
?
=∴tan< br>?
===3.
2
??
2
??
α
sin α3
tan
25
7
10.
25
π
0,
?
. 解析 由题意,5cos θ-5sin θ=1,θ∈
?
?
4
?
1
∴cos θ-sin θ=.
5
由(cos θ+sin θ)
2
+(cos θ-sin θ)
2
=2.
7
∴cos θ+sin θ=.
5
7
∴cos 2θ=cos
2
θ-sin
2
θ=(cos θ+sin θ)(cos θ-sin θ)=.
25
ππ
x-< br>?
+1-cos2
?
x-
?
11.解 (1)∵f(x)= 3sin2
?
?
12
??
12
?
ππ
31
=2
?
sin2
?
x-
?
-cos2
?< br>x-
?
?
+1
?
12
?
2
?12
?
??
2
π
π
x-
?

?
+1 =2sin
?
2
?
?
?
12
?< br>6
?
π

2x-
?
+1,∴T==π. =2sin
?
3
??
2
π
2x-
?
=1, (2)当f(x)取得最大值时,sin
?
3
??
ππ
有2x-=2 kπ+,
32

即x=kπ+ (k∈Z),
12

∴所求x的集合为{x|x=kπ+,k∈Z}.
12
12.解 m+n=(cos θ-sin θ+2,cos θ+sin θ),
|m+n|=

=2
?cos θ-sin θ+2?
2
+?cos θ+sin θ?
2

π
θ+
?
4+4cos
?
?
4
?
4+22?cos θ-sin θ?=
π
θ+
?
. 1+cos
?
?
4
?
π
827
θ+
?
=. ,得cos
?
?
4
?
255
πθπ
θ+
?
=2cos
2
?< br>+
?
-1, 又cos
?
?
4
??
28?
θπ
?
16
所以cos
2
?
?
2< br>+
8
?

25
.
由已知|m+n|=
∵π<θ<2π,
5πθπ9π
∴<+<.
8288
θπ
?
∴cos
?
?
2

8?
<0.


θπ
?
4

=-. ∴cos
?
?
28
?
5
23
cos x-sin x
?
=13(sin φcos x-cos φsin x)
13
?13
?
π
=13sin(φ-x),当sin(φ-x)=1,φ-x=2kπ+ 时,y取到最大值.
2
π
∴φ=2kπ++x,(k∈Z)
2
13.B [y=2cos x-3sin x=13
?
∴sin φ=cos x,cos φ=-sin x,
23
∴cos x=sin φ=,sin x=-cos φ=-.
1313
3
∴tan x=-.]
2
14.解 3sin(x+20°)+5sin(x+80°)=3sin(x+20°)+5sin(x+20°)cos 60°+5cos(x+20°)sin 60°
11
?
2
?
53
?
2
1153
+φ
=sin(x+20°)+cos(x+20° )=
?
+φ)=7sin
x+20°
?
2
?
?
2
?
sin(x+20°
22
1153
其中cos φ=,sin φ=.所以f(x)
max
=7.
1414

()

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