指数函数知识点的总结

实用标准文案
指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概 念：一般地，如果
x
?
a
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根，其中
n
>1，且
n
∈
N
*< br>．
n
负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
。 < br>?
a(a?0)
当
n
是奇数时，
a
?
a，当
n
是偶数时，
a?|a|?
?

?a(a?0)
?
n
n
n
n
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
m
n
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
m
n
a
?< br>?
1
a
m
n
?
1
n
a
m< br>(a?0,m,n?N
*
,n?1)

0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
r
rr?s
a
a?a
（1）·
(a?0,r,s?R)
；
rsrs
(a)?a
（2）
(a?0,r,s?R)
；

rrs
(ab)?aa
（3）
(a?0,r,s?R)
．
x
（二）指数函数及其性质
1 、指数函数的概念：一般地，函数
y?a(a?0,
且
a?1)
叫做指数函< br>数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
2、指数函数的图象和性质
a>1
6
5
06
5
44
33
22
1
1
1
1
-4-2
0
-1
2 46
定义域 R
值域y＞0
在R上单
调递增
非奇非偶
函数
函数图象
都过定点
（0，1）

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-4-2
0
-1
246
定义域 R
值域y＞0
在R上单
调递减
非奇非偶
函数
函数图象
都过定点
（0，1）

实用标准文案
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
（1）在[a，b]上，
f(x)
?
a(a
?
0
且
a
?
1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f(b),f(a)]

x< br>（2）若
x?0
，则
f(x)?1
；
f(x)
取遍所 有正数当且仅当
x?R
；
（3）对于指数函数
f(x)
?
a(a
?
0
且
a
?
1)
，总有
f(1)? a
；
x






















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指数函数·例题解析

1】求下列函数的定义域与值域：
1
(1)y＝3
2?x(2)y＝2
x?2
?1(3)y＝3?3
x?1

【例

实用标准文案



解 (1)定义域为x∈R且x≠2．值域y＞0且y≠1．
(2)由2
x+2
－1≥0，得定义域{x|x≥－2}，值域为y≥0．
(3)由3－3
x-1
≥0，得定义域是{x|x≤2}，∵0≤3－3x－1＜3，
∴值域是0≤y＜3．

（1）
y?2
练习：



【例2】指数函数y＝a
x
，y＝b
x
，y＝c
x
，y＝d
x
的图像如图2．6－2所示，
则a、b、c、d、1之间的大小 关系是 [ ]
A．a＜b＜1＜c＜d
B．a＜b＜1＜d＜c
C． b＜a＜1＜d＜c
D．c＜d＜1＜a＜b
解 选(c)，在x轴上任取一点(x，0)，
则得b＜a＜1＜d＜c．
1
x?4
|x|
； （2）
y?()
； （3）
y?4?2
2
3
xx?1
?1
；
练习：指数函数①
( ).
② 满足不等式 ,则它们的图象是
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实用标准文案

【例3】比较大小：

(1)2、
3
2、
5
4、
8
8、
9
16的大小关系是：
(2)0.6
?
4
5
13
?
2
()
2
．

(3)4.5
4.1
________3.7
3.6

解( 1)∵2?2，2?2，4?2，8?2，16?2，
函数y＝2
x
，2＞1，该函数 在(－∞，＋∞)上是增函数，
13241
又＜＜＜＜，∴
3
2＜
8
8＜
5
4＜
9
16＜2．
38592
1
3
?
2
解 (2)∵0.6＞1，1＞()，
2

41
3
??
∴0.6
5
＞()
2
．
2
?4
5
1
2
3
1
3
5
2
58
3
8
9
4
9

解 (3)借助数4.5< br>3.6
打桥，利用指数函数的单调性，4.5
4.1
＞4.5
3.6< br>，作函数y
1
＝4.5
x
，
y
2
＝3.7< br>x
的图像如图2．6－3，取x＝3.6，得4.5
3.6
＞3.7
3 .6

∴ 4.5
4.1
＞3.7
3.6
．

说明 如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数
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的单调性进行比较，如例2中的(1)．若是两个不同底且指数 也不同的幂比较大小
时，有两个技巧，其一借助1作桥梁，如例2中的(2)．其二构造一个新的幂作桥
梁，这个新的幂具有与4.5
4.1
同底与3.7
3.6
同指数的特 点，即为4.5
3.6
(或3.7
4.1
)，
如例2中的(3)．
练习： （1）1.7
2.5
与 1.7
3
( 2 )
0.8

?0.1
与
0.8
?0.2

( 3 ) 1.7
0.3
与

0.9
3.1
（４）
3.5
2.1
和
2.7
2.0

【例4】比较大小
n?1
a
n
与
n
a
n?1
(a＞0且a≠1，n＞1)．
n?1
解
a
n
n?1
n< br>a
?a
1
n(n?1)

当0＜a＜1，∵n＞1，
1
＞0，
n(n?1)
＜1，∴
n?1
a
n
＜n
a
n?1
1
当a＞1时，∵n＞1，＞0，

n(n ?1)
∴a
∴a
1
n(n?1)
1
n(n?1)
＞ 1，
n?1
a
n
＞
n
a
n?1
【例5】作 出下列函数的图像：
1
x?1
(1)y＝()
2
(2)y＝2x
－2，

(3)y＝2
|x-1|
(4)y＝|1－3
x
|



11
解 (1)y＝()
x?1
的图像(如图2．6－4)，过点(0，)及(－1，1)．
2 2

1
是把函数y＝()
x
的图像向左平移1个单位得到的．
2
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解 (2)y＝2
x
－2的图像(如图2．6－5)是把函数y＝2
x
的图像向下平移2个单位得到
的．

解 (3)利用翻折变换，先作y＝2
|x|
的图像，再把y＝2
|x|
的图像向右平移1
个单位，就得y＝2
|x-1|
的图像(如图2． 6－6)．
解 (4)作函数y＝3
x
的图像关于x轴的对称图像得y＝－3x
的图像，再把y
＝－3
x
的图像向上平移1个单位，保留其在x轴及x 轴上方部分不变，把x轴下
方的图像以x轴为对称轴翻折到x轴上方而得到．(如图2．6－7) a
x
?1
【例8】已知f(x)＝
x
(a＞1)
(1) 判断f(x)的奇偶性； (2)求f(x)的值域；(3)证明
a?1

f(x)在区间(－∞，＋∞)上是增函数．








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解 (1)定义域是R．
a
?x
?1a
x
?1
f(－x)＝
?x
??
x
＝－f(x)，

a?1a?1
∴函数f(x)为奇函数．
a
x
?1?1?yy?1
x
(2)函数y＝
x
，∵y≠1，∴有a＝?＞0?－1＜y＜1，

y?11?y
a?1
即f(x)的值域为(－1，1)．
(3)设任意取两 个值x
1
、x
2
∈(－∞，＋∞)且x
1
＜x
2< br>．f(x
1
)－f(x
2
)
a
x
l
?1
a
x
2
?1
2(a
x
l
?a
x
2
)
＝
x?1
?
x?1
＝
x
，∵a＞1，x
1
＜x
2
，a
x
1
＜a
x
2
，(a
x
1
＋1)
x
a
l
a< br>2
(a
l
?1)(a
2
?1)
(a
x
2
＋1)＞0，∴f(x
1
)＜f(x
2
)，故f(x)在R上为 增函数．
单元测试题
一、选择题：（本题共12小题，每小题5分，共60分）
1 11
11
??
??
?
??
?
??
?
?
???
32168
4
1、化简
?
1?2
??< br>1?2
??
1?2
??
1?2
??
1?2
2
?
，结果是（ ）
???
??????
?
1?
?
1
?
32
A、
?
1?2
?
2
??
?1
1
1
1
?
?
?
??
??
1
32
32
32

B、
1?2
1?2
C、
D、
1?2
??
??

2
??
??
?1

?
3
6
a9
??
6
3
a
9
?
等于（ ） 2、
????
????
A、
a
16

B、
44
a
8

C、
a
4

D、
a
2

3、若
a?1,b?0
,且
a?a
b?b
?
22
,则
a
b
?a
?b< br>的值等于（ ）
A、
6
B、
?2
C、
?2
D、2
4、函数
f(x)?a?1
在R上是减函数，则
a
的取值范围是（ ）
A、
a?1
B、
a?2
C、
a?
?
2
?
x
2
D、
1?a?2

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5、下列函数式中，满足
f(x?1)?
A、
1
f(x)
的是( )
2
1
1
(x?1)
B、
x?
C、
2
x

D、
2
?x

4
2
x2?x
a
6 、下列
f(x)?(1?a)g
是（ ）
A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数
11
11
3
7、已知
a?b,ab?0
，下列不等式（1）
a?b
；(2)< br>2?2
；(3)
?
；(4)
a?b
3
；
ab
22
ab
?
1
??
1
?
(5)
? ?
?
??
中恒成立的有（ ）
?
3
??
3
?
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
ab
2
x
?1
8、函数
y?
x
是（ ）
2?1
A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数
9、函数
y?
1
的值域是（ ）
2
x
?1
A、
?
??,1
?
B、
?
??,0
?
U
?
0,??
?
C、
?
?1,??
?
D、
(??,?1)U
?
0,??
?

10、已知
0?a?1,b??1
,则函数
y?a?b
的图像必定不经过（ ）
x
A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限
11、
F(x)?
?
1?
?
?
2< br>?
?
?f(x)(x?0)
是偶函数，且
f(x)
不恒等于零 ，则
f(x)
( )
x
2?1
?
A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数
C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数
12、一批设备价值
a
万元，由于使用磨损，每年比 上一年价值降低
b%
，则
n
年后这批设备
的价值为（ ）
A、
na(1?b%)
B、
a(1?nb%)
C、
a
[1
?
(
b
%)]
D、
a(1?b%)

nn
二、填空题：（本题共4小题，每小题4分，共16分，请把答案填写在答题纸上）
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x?y
?
。
13、若
10
?
3,10
?
4
，则
1 0
xy
14、函数
y?
??
2
?
1
??
3
?
?2x
2
?8x?1
(?3≤x≤1)
的值域是 。
15、函数
y?3
2?3x
的单调递减区间是 。
16、若
f(5
2x?1
)?x?2
，则
f(125) ?
。
三、解答题：（本题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17、设
0?a?1
，解关于
x
的不等式
a






18、已知
x?
?
? 3,2
?
，求
f(x)?







2x
2
?3x?2
?a
2x
2
?2x?3
。
11
??1
的最小值与最大值。
4
x< br>2
x
a?2
x
?a?2
(x?R)
，试确定
a
的值，使
f(x)
为奇函数。 19、设
a?R
，
f(x)?
2
x
?1
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20、已知函数
y?
??






21、若函数
y?
4
?
3
g
2
?
3
的值域为
?
1,7
?
，试确定
x< br>的取值范围。
xx
?
1
?
?
3
?
x
2
?2x?5
，求其单调区间及值域。







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a
x
?1
(a?1)
(1)判断函数的奇偶性； (2)求该函数 的值域；(3)证明22、已知函数
f(x)?
x
a?1
f(x)
是
R
上的增函数。












指数与指数函数同步练习参考答案
一、
题号
答案
二、13、
1
A
2
C
3
C
4
D
5
D
6
B
7
C
8
A
9
D
10
A
11
A
12
D
3

4
?
?
1
?
9
9
?
22
14、?
??
,3
?
，令
U??2x?8x?1??2(x?2)?9
，∵
?3≤x≤1,??9≤U≤9
,
??
?
?
3
?
?
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?
1?
?
1
?
又∵
y?
??
为减函数，∴
??
≤y≤3
9
。
?
3
?
?
3
?
15、
?
0,??
?
，令
y?3,U?2?3x
， ∵
y?3
为增函数，∴
y?3
2?3x
的单调递减区间
U2U
2
U
9
为
?
0,??
?
。
16、 0，
f(125)?f(5)?f(5
32?2?1
)?2?2?0

2
2x
x
三、17、∵
0?a?1
,∴
y?a
在
?
??,??
?
上为减函数，∵
a
?3x?2
?a
2x
2
?2x?3
, ∴
2x
2
?3x?2?2x
2
?2x?3?x?1

111
?
3
?
18、
f(x)?
x
?
x
?1?4
?x
?2
?x
?1?2
?2x
?2
?x
?1?
?
2
?x
?
?
?
, 422
?
4
?
∵
x?
?
?3,2
?< br>, ∴
则当
2
?x
2
1
≤2
?x
≤ 8
.
4
?
3
1
?x
,即
x?1
时,
f(x)
有最小值
；当
2
?
8
,即
x ??3
时，
f(x)
有最大值57。
4
2
19、要使
f(x)
为奇函数，∵
x?R
,∴需
f(x)?f(?x)?0
,
222
x? 1
22
x?1
,f(?x)?a?
?x
?a?
x
? a?
x
?0
,得∴
f(x)?a?
x
,由
a?x
2?12?12?12?12?1
2(2
x
?1)
2a?x
?0
,
?a?1
。
2?1
?
1
?
2
20、令
y?
??
,
U?x?2x?5
，则y
是关于
U
的减函数，而
U
是
?
??,?1< br>?
上的减函数，
3
??
U
?
∴
y?
?
?
?1,??
?
上的增函数，
2
1
?
?
?
3
?
2
x
2
?2x?5
在
?< br>??,?1
?
上是增函数，而在
?
?1,??
?
上是 减函数，
x
2
?2x?5
?
1
?
又∵
U? x?2x?5?(x?1)?4≥4
, ∴
y?
??
?
3
?
21、
y?4?3?2?3?2
xx2x
?
?
1
?
4
?
的值域为
?
0,
??
?
。
?
?
3
?
?
??
?3?2
x
?3
，依题意有
x2xx
?
?
(2)?3?2?3≤7
?
?< br>?1≤2≤4
xx
2
≤
2
≤
4
或
0
?
2
≤
1,

即，∴
?
x2
?
xxx
?
?
(2)?3?2?3≥1
?
?
2≥2或 2≤1
由函数
y?
2
的单调性可得
x?(??,0]U[1,2]< br>。
x
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a
?x?11?a
x
???f(x),?f(x)
是奇函数； 22、（1）∵定义域为
x?R
,且
f(?x)?
?x
a?11?a
x
a< br>x
?1?222
x
?1?,∵a?1?1,?0??2,
即
f (x)
的值域为
?
?1,1
?
；
（2）
f(x)?

a
x
?1a
x
?1a
x
?1
（ 3）设
x
1
,x
2
?R
,且
x
1
?x
2
，
a
x
1
?1a
x
2
? 12a
x
1
?2a
x
2
x
1
x
2
f(x
1
)?f(x
2
)?
x
1
?
x
2
?
x
1
?0
(∵分母大于零，且
) a?a
x
2
a?1a?1(a?1)(a?1)
∴
f(x)是
R
上的增函数。

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