人教版高中数学选修电子课本-高中数学微积分积分习题
第二章 平面向量
§2.1 平面向量的实际背景及基本概念
课时目标 1.通过对物理模型和几何模型的探究,了解向量的实际背景,掌握向量的有关
概念
及向量的几何表示.2.掌握平行向量与相等向量的概念.
1.向量:既有________,又有________的量叫向量.
2.向量的几何表示:以A为起点,B为终点的向量记作________.
3.向量的有关概念:
(1)零向量:长度为__________的向量叫做零向量,记作______.
(2)单位向量:长度为______的向量叫做单位向量.
(3)相等向量:__________且__________的向量叫做相等向量.
(4
)平行向量(共线向量):方向__________的________向量叫做平行向量,也叫共线向量.
①记法:向量a平行于b,记作________.
②规定:零向量与__________平行.
知识点归纳:
1.向量是既有大小又有方向的量,解决向量问题时一定要从大小和方向两个方面去考虑.
2
.向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小.如
a
>
b
没有意义,而|<
br>a
|>|
b
|有意义.
3.共线向量与平行向量是同一概念,规定:零向量与任一向量都平行.
一、选择题
1.下列物理量:①质量;②速度;③位移;④力;⑤加速度;⑥路程
;⑦密度;⑧功.其
中不是向量的有( )
A.1个 B.2个 C.3个
D.4个
2.下列条件中能得到a=b的是( )
A.|a|=|b|
B.a与b的方向相同
C.a=0,b为任意向量
D.a=0且b=0
3.下列说法正确的有( )
①方向相同的向量叫相等向量;②零向量的长度为0;③共线
向量是在同一条直线上的向量;
④零向量是没有方向的向量;⑤共线向量不一定相等;⑥平行向量方向相
同.
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
4.命题“若a
∥
b,b
∥
c,则a
∥
c”(
)
A.总成立 B.当a≠0时成立
C.当b≠0时成立
D.当c≠0时成立
5.下列各命题中,正确的命题为( )
A.两个有共同起点且共线的向量,其终点必相同
B.模为0的向量与任一向量平行
C.向量就是有向线段
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D.|a|=|b|?a=b
6.下列说法正确的是( )
→→→→
A.向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线
B.长度相等的向量叫做相等向量
C.零向量长度等于0
D.共线向量是在一条直线上的向量
1 2 3 4 5 6
题 号
答 案
二、填空题
7.给出以下5个条件:①a=b;②|a|=|b
|;③a与b的方向相反;④|a|=0或|b|=0;⑤a与
b都是单位向量.其中能使a∥b成立的
是________.(填序号)
→→→→
8.在四边形ABCD中,AB=DC且|AB|
=|AD|,则四边形的形状为________.
9.下列各种情况中,向量的终点在平面内各构成什么图形.
①把所有单位向量移到同一起点;
②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点;
③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点.
①__________;②____________;③____________.
→
10.如图所示,E、F分别为△ABC边AB、AC的中点,则与向量EF共线的向量有
__
______________(将图中符合条件的向量全写出来).
三、解答题
11. 在如图的方格纸上,已知向量a,每个小正方形的边长为1.
(1)试以B为终点画一个向量b,使b=a;
(2)在图中画一个以A为起点的向量c,使|c|=5,并说出向量c的终点的轨迹是什么?
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12.
如图所示,△ABC的三边均不相等,E、F、D分别是AC、AB、BC的中点.
→
(1)写出与EF共线的向量;
→
(2)写出与EF的模大小相等的向量;
→
(3)写出与EF相等的向量.
能力提升
→→→
13.
如图,已知AA′=BB′=CC′.
求证:(1)△ABC≌△A′B′C′;
→→→→
(2)AB=A′B′,AC=A′C′.
→→→
14.
如图所示,O是正六边形ABCDEF的中心,且OA=a,OB=b,OC=c.
(1)与a的模相等的向量有多少个?
(2)与a的长度相等,方向相反的向量有哪些?
(3)与a共线的向量有哪些?
(4)请一一列出与a,b,c相等的向量.
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§2.1 平面向量的实际背景及基本概念参考答案
知识梳理
→
1.大小
方向
3.(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零
①a
∥
b ②任一向量
作业设计
1.D 2.D
3.A
[②与⑤正确,其余都是错误的.]
4.C
[当b=0时,不成立,因为零向量与任何向量都平行.]
5.B
[由于模为0的向量是零向量,只有零向量的方向不确定,它与任一向量平行,故选
B.]
→→→→→→
6.C [向量AB∥CD包含AB所在的直线平行于CD所在的直线和AB所在
的直线与CD所在的
直线重合两种情况;相等向量不仅要求长度相等,还要求方向相同;共线向量也称为
平行向
量,它们可以是在一条直线上的向量,也可以是所在直线互相平行的向量,所以A、B、D
均错.]
7.①③④
解析 相等向量一定是共线向量,①能使a∥b;方向相同或相反的
向量一定是共线向量,
③能使a∥b;零向量与任一向量平行,④成立.
8.菱形
→→
解析 ∵AB=DC,∴AB綊DC
∴四边形ABCD是平行四边形,
→→
∵|AB|=|AD|,∴四边形ABCD是菱形.
9.单位圆
相距为2的两个点 一条直线
→→→
,BC,CB
解析
∵E、F分别为△ABC对应边的中点,
∴EF∥BC,
→→→
∴符合条件的向量为FE,BC,CB.
11.解
(1)根据相等向量的定义,所作向量与向量a平行,且长度相等(作图略).
(2)由平面几何知识
可知所有这样的向量c的终点的轨迹是以A为圆心,半径为5的圆(作图
略).
12.解
(1)因为E、F分别是AC、AB的中点,
1
所以EF綊BC.又因为D是BC的中点,
2
→→→→→→→→
所以与EF共线的向量有:FE,BD,DB,DC,CD,BC
,CB.
→→→→→→
(2)与EF模相等的向量有:FE,BD,DB,DC,CD.
→→→
(3)与EF相等的向量有:DB与CD.
→→
13.证明
(1)∵AA′=BB′,
→→→→
∴|AA′|=|BB′|,且AA′∥BB′.
→
又∵A不在BB′上,∴AA′∥BB′.
∴四边形AA′B′B是平行四边形.
→→
∴|AB|=|A′B′|.
→→→→
同理|AC|=|A′C′|,|BC|=|B′C′|.
∴△ABC≌△A′B′C′.
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(2)∵四边形AA′B′B是平行四边形,
→→→→
∴AB∥A′B′,且|AB|=|A′B′|.
→→→→
∴AB=A′B′.同理可证AC=A′C′.
14.解
(1)与a的模相等的向量有23个.
→→→→
(2)与a的长度相等且方向相反的向量有OD,BC,AO,FE.
→→
→→→→→→→
(3)与a共线的向量有EF,BC,OD,FE,CB,DO,AO,DA,AD.
→→→→→→→
(4)与a相等的向量有EF,DO,CB;与b相等的向量有DC,EO,F
A;与c相等的向量有FO,
ED
→
,AB
→
.
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