函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及三角函数模型的简单应用 知识点与题型归纳

●高考明方向
1.了解函数
y< br>＝
A
sin(ω
x
＋φ)的物理意义，能画出函数
y
＝
A
sin(ω
x

＋φ)的图象，了解参数
A
，ω，φ对函数图象变化的影响．
2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角
函数解决一些简单的实际问题．

★备考知考情
1.三角函数的图象画法、图象变 换、由图象求解析式以及利用三
角函数解决实际问题是高考考查的热点．
2.常和三角恒等变换相结合出现在解答题中，同时还考查数形结
合思想的理解和应用．
3.题型以选择题、填空题为主，属中低档题.


一、知识梳理《名师一号》P59
知识点

二、例题分析：
（一）“五点法”作图
例1．（1）《名师一号》P60 高频考点 例1（2）
1

π
??
已知函数y＝2sin
?< br>2x＋
3
?
.
??
(1)求它的振幅、周期、初相；
(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；



π
2ππ
2x＋
?
的振幅A＝2，周期T＝＝π，初相φ＝. (1 )y＝2sin
?
3
??
23
π
π
2x＋
?
＝2sinX. (2)令X＝2x＋，则y＝2sin
?
3
??
3
列表，并描点画出图象：
πππ7π5π
x
－
6123126
π3π
X
0 π 2π

22
0 1 0 0
y＝sinX －1
π
0 2 0 －2 0
2x＋
?
y＝2sin
?
3
??


注意:【规律方法】
(1)作三角函数图象的基本方法就是五点法，此法注意在作出
2

一个周期上的简图后，应向两端伸展一下，以示整个定义域上的
图象．

π
??
变式：用“五点法”作出函数y＝2sin
?
2x ＋
3
?

??
在区间
[0
?
,
上
]
的图象

注意:关注区间端点，须在表格中列出、在图像中标示

例1．（2）《名师一号》P59 对点自测1
π
???
π
?< br>函数y＝sin
?
2x－
3
?
在区间
?
－< br>2
，π
?
上的简图是图中
????
的( )
A B

C D




3

解析 当x＝0时，y＝－
3
，可排除B、D.
2
π
当x＝时，y＝0，可排除C.
6

注意: 知式选图的策略
关注：定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、
极值点、特殊点、特征直线等


（二）三角函数的图象变换
例1．《名师一号》P60 高频考点 例1（3）
π
??
已知函数y＝2sin
?
2x＋
3?
.
??
π
??
(3)说明y＝2sin
?
2x＋
3
?
的图象可由y＝sinx的图象
??
经过怎样的变换而 得到．


解：方法1：先平移后伸缩
π
把y＝sinx的图象 上所有的点向左平移个单位，得到y＝
3
ππ
x＋
?
的图象，再把y ＝sin
?
x＋
?
的图象上所有的点的横坐标sin
?
?< br>3
??
3
?
π
1
2x＋
?
的图象， 最后把缩短到原来的(纵坐标不变)，得到y＝sin
?
3
??
2
π
2x＋
?
上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍(横坐标不变)，y＝sin
?
3
??
4

π
2x＋
?
的图象． 即可得到y＝2sin
?
3
??
方法2：先伸缩后平移
1
将y＝sinx的图象上每一点的横坐标x缩短为原来的，纵坐
2
π
标不变，得到y＝ sin2x的图象；再将y＝sin2x的图象向左平移个
6
ππ
?
2x＋< br>π
?
x＋
?
＝sin
?
2x＋
?
的 图象；单位，得到y＝sin2
?
再将y＝sin
3
?
3
? ?
6
???
的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2倍，
π
2x＋
?
的图象． 得到y＝2sin
?
3
??

【规律方法】
(2)变换法作图象的关键是看x轴上是先平移后伸缩还是先伸缩
φ
x＋
ω
?
来确定平移单位． 后平移，对于后者可利用ωx＋φ＝ω
?
??

注意：《名师一号》P60 问题探究 问题1
在图象变换时运用“先平移后伸缩”与“先伸缩后
平移”两种途 径，向左或向右平移的单位长度个数为什么
不一样？
?
φ
?
可以看 出，前者平移|φ|个单位长度，后者平移
?
ω
?
个
??
单 位长度，原因在于相位变换和周期变换都是针对变量x
而言的，因此在用这样的变换法作图象时一定要注 意平移
与伸缩的先后顺序，否则会出现错误．

5

π< br>??
变式：y＝2sin
?
2x＋
3
?
的图象可由y ＝cosx的图象经过怎
??
样的变换而得到．


★
注意： 图像变换
（1）关注哪个函数是初始函数!
（2）图象变换只能在同名函数之间进行！
（利用诱导公式进行正、余互化）
（3）注意
y?sinx?y?sin(
?
x?
?
)
先平移后伸缩与先伸缩后平移的平移量的差别

《计时双基练》P249 第7题


注意:逆向还原

练习1：8月月考第6题
为了得到函数
y?2sin(2x?
?
)
的图像，
可以将
y?2sin(2x?
?
6
6
)
的图像（ ）．
A．向右平移
?
6
个单位 B．向左平移
?
6
个单位
6

C．向右平移
??
个单位 D．向左平移个单位
33

变式：< br>为了得到函数
y?2sin(2x?
可以将
y?2cos(2x?


5
?
答案：右；
?
6
)
的图像，
?
6
)
的图像向 平移 个单位


6
练习2：
函数
y?f(x)
的图象向右平移
?
单位后 6
与函数
y?sin2x
的图象重合，则
y?f(x)
的解析式 是
A．
f
C．
f


答案：B
【解 析】逆推法，将
y?sin2x
的图象向左平移
即得
y?f(x)
的 图象，
7
?
x
?
?
cos(2x?
?
3
)
B．
f
?
x
?
?
cos(2x?
?
6)

?
x
?
?
cos(2x?
?
6
)
D．
f
?
x
?
?
cos(2x?
?
3)

?
个单位
6

即
f(x)?sin 2(x?)?sin(2x?)?cos[?(2x?)]
6323
?cos(?2x?)?c os(2x?)
66
????
??


（三）据函数
y?Asin(
?
x?
?
)?b
的图象求解析式
例1．（1）《名师一号》P59 对点自测 3
已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ) (ω＞0)的图象如图所示，
则ω＝__________；φ＝__________.


T2
ππ
解析 由题意设函数周期为T，则＝
π－
＝，
4333
4
2π
3
故T＝
π.∴ω＝
T
＝ .
32


例1．（2）（补充）
如图所示某地夏天从8～14时
用电量变化曲线近似满足函数
y＝Asin(ωx＋φ)＋b.
(1)这一天的最大用电量为______，
最小用电量为______；
(2)这段曲线的函数解析式为________．

8

解析：(1)最大用电量为50万度，最小用电量为30万度．
(2)观察图象可知，从8～14时的图象是
y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，
11
∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40，
22
1
2ππ
∵·＝14－8，∴ω＝，
2
ω
6
?
π
?
∴y＝10sin
?
6
x＋φ
?< br>＋40.
??
π
将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.
6π
??
π
∴所求解析式为y＝10sin
?
6
x＋6
?
＋40 (x∈[8,14])．
??
答案：(1)50万度 30万度
π
??
π
(2)y＝10sin
?
6
x ＋
6
?
＋40 (8≤x≤14)
??

注意：《名师一号》P60 问题探究 问题2
确定函数y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的
步骤是什么？
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，
M－mM＋m
则A＝，B＝.
22
2π
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝
T
.
(3)求φ，常用方法有：
9

①代入法：把图象上的一个已知点 代入(此时要注意
该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点
或最低点代入．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的
特殊点作为突破口．具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；
π
“第二点”(即图象的“峰”点 )为ωx＋φ＝；
2
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；
3 π
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；
2
“第五点”为ωx＋φ＝2π.
★特别注意：
①第一、五个点的横坐标与第三个点的横坐标的区别
②求得的
?
有无数个，结合题目条件取其中一个即可


（四）三角函数图象与性质的综合
例1．《名师一号》P60 高频考点 例2
(2014·重庆卷)已知函数f(x)＝3sin(ωx＋
ππ
?
π
?ω>0，－
≤φ<
??
φ)
的图象关于直线x＝对称，且图象上
22
??3
相邻两个最高点的距离为π.
(1)求ω和φ的值；
2π?
3π
?
3
?
π
?
α
??
( 2)若f
?
2
?
＝
?
6
<α<
3
?
，求cos
?
α＋
2
?
的值．
??4????
10

解：(1)因f(x)的图象上相邻两个最高点的距离为π，
所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝
2π
T
＝2.
又因f(x)的图象关于直线x＝
π
3
对称，
所以2·
π
3
＋φ＝kπ＋
π
2
，k＝0，±1，±2，?.
因－
ππ
2
≤φ<
2
得k＝0.
所以φ＝
π2ππ
2
－
3
＝－
6
. (2)由(1)得f
?
?
α
??
απ
3
?2
?
?
＝3sin
?
?
2·
2
－6
?
?
?
＝
4
，
所以sin
??
π
?
1
?
α－
6
?
?
＝< br>4
.
由
π2π
6
<α<
3
得0<α－π
6
<
π
2
，
所以cos
?
?α－
π
6
?
?
?
＝ 1－sin
2
?
π
?
?
?
?
α－
6
?
?

＝ 1－
?
?
1
4
?
?
2
15< br>??
＝
4
.
因cos
?
?
3π
?
??
π
?
π
?
?
α＋
2
?
?
＝sinα＝sin
?
?
?
?
α－
6
?
?
＋
6
?
?

11

π
?
π
π
?
π
??
＝sin
?
α －
6
?
cos＋cos
?
α－
6
?
sin
??6??6
3＋15
13151
＝×＋×＝.
42428

《计时双基练》P247 第5题


例2．《名师一号》P61 特色专题 典例
(2014·山东卷)已知向量a＝(m ，cos2x)，b＝(sin2x，
?
π
?
n)，函数f(x)＝a·b， 且y＝f(x)的图象过点
?
12
，3
?
和点
??
?
2π
?
?
3
，－2
?
.
??
(1)求m，n的值；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移φ(0<φ<π) 个单位后得到
函数y＝g(x)的图象，若y＝g(x)图象上各最高点到点(0,3)
的距离 的最小值为1，求y＝g(x)的单调递增区间．



【规范解答】
(1)由题意知f(x)＝a·b＝msin2x＋ncos2x.
?
π
? ?
2π
?
，3
??
和
?
3
，－2
?
. 因为y＝f(x)的图象过点
12
????
12

< br>?
3＝msin
π
＋n
π
所以
?
cos，< br>?
66
?
?
－2＝msin
4π
3
＋nco s
4π
3
，


----关于m
、
n的方程组
?
?
3＝
13
2< br>m＋
2
n，
即
?
解得m＝3，n＝1.
?
?
－2＝－
31
2
m－
2
n，

(2)由(1)知f(x)＝3sin2x＋cos2x＝2sin
?
?
π< br>?
?
2x＋
6
?
?
.
由题意知g(x)＝ f(x＋φ)＝2sin
?
?
?
2x＋2φ＋
π
6
?
?
?
.
设y＝g(x)的图象上符合题意的最高点为(x
0,< br>2)．
由题意知x
2
0
＋1＝1，所以x
0
＝0.
即到点(0,3)的距离为1的最高点为(0,2)．
将其代入y＝g(x)得sin
?
?
π
?
?
2φ＋
6
?
?
＝1 .
因为0<φ<π，所以φ＝
π
6
.
因此g(x)＝2sin< br>?
?
π
?
?
2x＋
2
?
?
＝2cos2x，
由2kπ－π≤2x≤2kπ，k∈Z，
得kπ－
π
2
≤x≤kπ，k∈Z.
13

π
??
所以函数y＝g(x)的单调递增区间为
?
k π－
2
，kπ
?
，k∈Z.
??


【名师点评】 在第(1)问中，可先根据向量数量积
坐标运算整理出f(x)的解析式，再由 图象过两点，代入整
理可得关于m，n的方程组，利用此方程组即得m，n的
值．在第(2)问 中，通过图象平移知识，可得含参数φ的
g(x)的解析式，从中设出最高点，然后根据两点距离为1，
可确定最高点的坐标，代入可求出g(x)确定的解析式，从
而求出单调区间．


（五）三角函数模型的应用
例1．《名师一号》P61高频考点 例3
如图，某市准备在道路EF的一侧修建一条运动比赛道，赛
2π
ωx＋
?
道的 前一部分为曲线段FBC，该曲线段是函数y＝Asin
?
3
??
(A>0， ω>0)，x∈[－4,0]时的图象，且图象的最高点为B(－1,2)．赛
道的中间部分为长3千米 的直线跑道CD，且CD∥EF，赛道的
?
. 后一部分是以O为圆心的一段圆弧
DE
(1)求ω的值和∠DOE的大小；
(2)若 要在圆弧赛道所对应的扇形ODE区域内建一个“矩形草
坪”，矩形的一边在道路EF上，一个顶点在半 径OD上，另外一
?
上，且∠POE＝θ，求当“矩形草坪”的面积个顶点P在圆弧
D E
取最大值时θ的值．

14

T
2ππ
解：(1)由条件，得A＝2，＝3.∵T＝，∴ω＝.
ω
46
π2π
?
∴曲线段FBC的解析式为y＝2sin
?
?
6
x＋
3
?
.
当x＝0时，y＝OC＝3.
又CD＝3，
ππ
∴∠COD＝，即∠DOE＝.
44
(2)由(1)可知OD＝6.
又易知当“矩形草坪”的面积最大时，
︵
点P在圆弧
DE
上，故OP＝6.
“矩形草坪”的面积为
S＝6sinθ(6cosθ－6sinθ)＝6(sinθcosθ－sin
2
θ)
111
π
sin2θ＋cos2θ－
?
＝32sin
?2θ＋
?
－3. ＝6
?
22
?
4
??2
?
πππ
∵0<θ≤，∴当2θ＋＝，
442
π
即θ＝时，S取得最大值．
8


【规律方法】 本题属三角函数模型的应用，通常解决方法
是转化为y＝sinx，y＝cos x等基本初等函数，可以解决图象、最
值、单调性等问题，体现了化归的思想方法．
15

课后作业
一、计时双基练P249 基础1-9；
课本P60变式思考1
二、计时双基练P249基础10、11；培优1-4
课本P60变式思考2、3; P62对应训练
预习 第六节





16