立体几何角的问题知识点与题型分类

立体几何的各种角
异面直线所成的角
一、基础知识
1.定义： 直线a、b是异面直线，经过空间一交o，分别a?a，b?b，相交直线a?b?所成的锐角
（或直角）叫做 异面直线所成的角 。
?
?
?
2.范围：
?
?
?
0,
?

?
2
?
3.方法： 平移法、向量法

（1）平移法 ：在图中选一个恰当的点（通常是线段端点或中点）作a、b的平行线，构造一个三角形，
并解三角形求 角。
（2）向量法：可适当选取异面直线上的方向向量，利用公式
cos
?
?cos?a,b??
方法1：利用向量计算。选取一组基向量，分别算出
a?b
，
a
，
b
代入上式
方法2：利用向量坐标计算，建系，确定直线上某两点坐标进而求出方向向量
a?b
ab

s?
a?(x
1
,y
1
,z
1
)

b?(x
2
,y
2
,z
2
)
?co
?
x
1
x
2
?y
1
y
2
?z< br>1
z
2
x
1
?y
1
?z
1
222
x
2
?y
2
?z
2
222


二、例题
例1、如图，正四棱柱
ABCD?A1
BC
，则异面直线
A
1
B
与
AD
1
所成角的余弦值为
11
D
1
中，
AA
1
?2AB
（ ）

例2、在长方体ABC D-A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知AB=< br>a
，BC=
b(a?b)
,AA
1
=c，求异面直线D
1
B和AC所成
的角的余弦值。
D1
C1
方法一：过B点作 AC的平行线（补形平移法）
D
1
C
1
方法二：过AC的中点作BD1平行线
A
1
A1B1
方法三：（向量法）

C

D
D
C

A
B
O
B

A









例3、 已知四棱锥P?ABCD的底面为直角梯形，ABDC，
?DAB?90
?< br>,PA?
底面ABCD，且
1
PA?AD?DC?
，
AB?1
，
M
是
PB
的中点
2
（Ⅰ）证明：面
PAD?
面
PCD
；
（Ⅱ）求
AC
与
PB
所成的角；


B

证明：以
A
为坐标原点
AD
长为单位长度，如图建立 空间
直角坐标系，则各点坐标为
1
A(0,0,0),B(0,2,0),C(1 ,1,0),D(1,0,0),P(0,0,1),M(0,1,)

2
（Ⅰ） 证明：因
AP?(0,0,1),DC?(0,1,0),故AP?DC?0,所以AP?DC.

由题设知
AD?DC
，且
AP
与
AD
是平面< br>PAD
内的两条相交直线，
由此得
DC?
面
PAD
又
DC
在面
PCD
上，故面
PAD
⊥面
PCD
（Ⅱ）解：因
AC?(1,1,0),PB?(0,2,?1),

故|AC|?2,|PB|?5,AC?PB?2,所以

10
cos?AC,PB???.
5
|AC|?|PB|



例4、 如图，在四棱锥
P?ABCD
中，底面
ABCD
为矩形，侧棱
PA?
底面
ABCD
，
AB?3
，
B C?1
，
PA?2
，
E
为
PD
的中点 求直线
AC
与
PB
所成角的余弦值；
P
解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，
则
A,B,C,D,P,E
的坐标为
A(0,0,0)
、
AC?PB
B(3,0,0)
、
C(3,1,0)
、
D(0,1,0 )
、
1
P(0,0,2)
、
E(0,,1)
，
2
从而
AC?(3,1,0),PB?(3,0,?2).

设
AC与PB
的夹角为
?
，则
cos
?
?
AC?PB
|AC|?|PB|
?
3
27
?
37
,

14
D
C
A
B
∴
AC
与
PB
所成角的余弦值为
37

14

训练题



1.正方体的12条棱和12条 面对角线中，互相异面的两条线成的角大小构成的集合是
90
?
,45
?
,60
?
。
??
2.正方体
AC
1
中，O是底面ABCD的中心，则OA
1
和BD
1
所成角的大小为 。
3.已知
l
为异面直线a与 b的公垂线，点
p?a
，若a、b间距离为2，点P到
l
的距离为2，P到b 的
距离为
5
，则异面直线a与b所成的角为 。
4.如图正三棱 柱ABC-A
1
B
1
C
1
中AB=
2
AA
1
，M、N分别是
A
1
B
1
，A
1C
1
的中点，则AM与CN所成角为 。




P
5.如图PD
?
平面ABCD,四边形ABCD为矩形，
AB=2AD=2DP，E为CD中点。
（1）
AP
与BE所成的角为
（2）若
F?
直线PD，且AF与BE所成角为
?

D
1.
?
=30?行吗？
A'
M
N
C 1
A
C
B
E
C
A
B

DF< br>2.
?
=75?时；= 。
DP
A
M

E

6.空间四边形ABCD中，对角线AC，BD与各边长均为1，
C
B
O
O为
?BCD
的重心，M是AC的中点，E是 AO的中点，
求异面直线OM与BE所成的角 。
D

7.空间四 边形ABCD中AB=BC=CD，
?
BCD=
?
ABC=120?，AB< br>?
CD，M、N分别是中点（1）AC
和BD所成的角为 。（2）MN与BC所成的角为 。





D1
C1
8.已知正方体AC
1
中，
E
F
（1）E、F分别是A
1
D
1
，A
1
C
1
的中点，
A1B1
则AE与CF所成的角为
（2）M、N分别是AA
1
，BB
1
的中点，
则CM和D
1
N所成的角是 。
M
N
D

C

O
B
A



9、如图，三棱锥P—ABC中， PC
?
平面ABC，PC=AC=2，AB=BC ，D是PB上一点，且CD
?
平
?
面PAB． (I) 求证：AB
?
平面PCB； (II) 求异面直线AP与BC所成角的大小；（）
3
解法一：(I) ∵PC
?
平面ABC，
AB?
平面ABC，
P
∴PC?
AB．∵CD
?
平面PAB，
AB?
平面PAB，
∴CD
?
AB．又
PC?CD?C
，
∴AB
?
平面PCB．
D
E
(II) 过点A作AFBC，且AF=BC，连结PF，CF．
则
?PAF
为异面直线PA与BC所成的角．
B
由（Ⅰ）可得AB⊥BC，∴CF
?< br>AF．由三垂线定理，得PF
?
AF．
则AF=CF=
2
，PF=
PC
2
?CF
2
?6
，
在
Rt?PFA
中， tan∠PAF=
CA
PF6
=
3
，
?
F
AF
2
?
∴异面直线PA与BC所成的角为．
3
解法二：(II) 由(I) AB
?
平面PCB，∵PC=AC=2，又 ∵AB=BC，可求得BC=
2
．以B为原点，如
图建立坐标系．则Ａ（０，
2
，０），Ｂ（0，0，0），
C（
2
，０，0），P（
2
，０，2）．
AP?(2,?2,2)
，
BC?(2,0,0)
．
则
AP?BC?2?2
+0+0=2．

cos?AP,BC??



AP?BC
AP?BC
=
2
22?2
=
1
?
．∴异面直线AP与BC所成的角为．
2
3

直线和平面所成的角
一、基础知识
1.定义：
（①斜线和平面所成的角②垂线与平面所成的角③
l?
?
或l
?）
2.直线与平面所成角范围是 。
3.斜线与平面所成的角是此斜线与平面内所有直线所成角中最小的角。（最小值定理）
4. 求法： 几何法 公式法 问量法
（1）几何法：作出斜线与射影所成的角，论证所作（或所 找）的角就是要滶的角，解三角形求出此
角。
A

cos
?
1
（2）公式法：
cos
?
??cos
?
1
?c os
?
2
cos
?

cos
?
2
B
O
C
AB?
?
于点B,?AOB?
?
,?AOC ?
?
1
,?BOC?
?
2


（即：与斜线射影所成的两角的余弦的积等于斜线和平面内的直线所成角的余弦值）

二、例题讲解
例1、在长方体AC
1
中，AB=2，BC=CC
1
=1，求
D1
C1
（1）CD与面ABC
1
D
1
所成的角
（2）A
1
C与平面ABC
1
D
1
所成的角
（3）A
1
C与平面BC
1
D所成的角

B1
A1

D

C

O

B
A


例2、四面体ABCD中，所有棱长都相等，M为AD的中点，求CM与平面BCD所成角的余弦值。








例3、四棱锥
S?ABCD
中，底面
ABCD
为平行四边形，侧面
SBC?
底面
ABCD
．已知
∠ABC?45
，
AB?2
，
BC?22
，
SA?SB?3
．
S
（Ⅰ）证明
SA?BC
；
（Ⅱ）求直线
SD
与平面
SAB
所成角的大小．


C
B

D

A

训练题




（2008年高考全国卷1）已知三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的侧棱与底面边长都相等，A
1
在底面ABC内的射
影为三角 形ABC的中心，则AB
1
与底面ABC所成的角的正弦值等于








A

6 .如图所示，
?
BOC在平面
?
内，OA是
?
的斜线， < br>C
?
AOB=
?
AOC=60?，OA=OB=OC=a，BC=2
a，
求OA和平面
?
所成的角的大小。
B
O


第6题图








7.如图，已知正方形ABCD，SA
?
现面ABCD，且SA=AB，M、N分别为SB、SD的中点，求SC
和平面AMN所成的角
S



N

M

D

A


C
B

第7题图

9、如图，在三棱锥
V?ABC
中，
VC⊥
底面
ABC
，
AC⊥BC
，
D
是< br>AB
的中点，且
AC?BC?a
，
π
??
?VDC ?
?
?
0?
?
?
?
．
V
2
??
（I）求证：平面
VAB⊥VCD
；
?
（ II）试确定
?
的值，使得直线
BC
与平面
VAB
所成的角 为。
6
C
B


D
A










平面与平面所成的角
一、基础知识
1.定义：
二面角:由一条直线出发的 所组成的图形叫做二面角
平面角：过棱上同一点 分别位于二面角的两个面内，且与棱同时垂直的两条射线所成
的角叫做二面角的平面角，二面角的取值范 围是 .
注:二面角是空间图形，平面角是平面图形。在书写时不要写成”
?
AOB为所求二面
角”，而应写成”
?
AOB为二面角
?
?l?
?
的平面角”。
2.求法：几何法 向量法 公式法

二、例题讲练
例1、
如图，已知棱柱
ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1
的底面是菱形，且
AA
1
?
面
ABCD
，
?DAB?60
?
，
AD?AA
1
，
F
为棱
AA
1
的中点，
1
的中点，
M
为线段
BD
1
（1）求证：
MF?
面
BDD
1
B
1
；
（2）求面
BFD
1
与面
ABCD
所成二面角的大小．
A
（1）证明：
?
底面是菱形，
?AC?BD

又
?
B
1
B?
面
ABCD
，
AC?
面
ABCD

F
D
?AC?

?AC?B
1
B
，面
BDD
1
B
1

又
?MFAC
?MF?
面
BDD
1
B
1< br>
A
（2）延长
D
1
F
、
DE< br>交于点
E

?F
是
A
1
A
的中点且
ABCD
是菱形
?DA?AE?AB

E
又
?DAB?60
?

??DBE?90
?

由三垂线定理可知
D
1
B?BE

??D
1
BD
为所求角
nD
1
BD?
在菱形
ABCD
中，
?DAB?60
?

?BC?3BD

ta?
D
1
C
1
B
1
M
O
B
C
D
1
D
?3

BD
??D
1
BD?60
?



例2
、如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE =EB，F为

CE上的点，且BF⊥平面ACE。
（1）求证：AE⊥平面BCE；
（2）求二面角B—AC—E的大小；
解：（1）如图，∵ BF⊥平面ACE ∴ BF⊥AE
又∵ 二面角D—AB—E为直二面角，且CB⊥AB
∴ CB⊥平面ABE ∴ CB⊥AE
∵
BC?BF?B
∴ AE⊥平面BCE
（2）连BD交AC于G，连FG
∵ 正方形ABCD边长为2 ∴ BG⊥AC，
BG?2

∵ BF⊥平面ACE 由三垂线定理逆定理得FG⊥AC
∴ ∠BGF是二面角B—AC—E的平面角
由（1）AE⊥平面BCE ∴ AE⊥EB
又∵ AE=EB ∴ 在等腰直角三角形AEB中，
BE?2

又∵ Rt△BCE中，
EC?BC
2
?BE
2
?6

∴
BF?
BC?BE2?223

??
EC3
6
BF6

?
BG3
6
∴ 二面角B—AC—E等于
arcsin

3
D
例3、如图所示的几何体
ABCDE
中,
DA?平面
EAB
，
CBDA
,
EA?DA?AB?2CB< br>，
EA?AB
，
M
是
EC
的中点.
∴ 在Rt△BFG中，
sin?BGF?
Q
(Ⅰ)求证:
DM?EB
;
O
(Ⅱ)求二面角
M?BD?A
的余弦值.
P
(Ⅰ)证明:取< br>BE
的中点
N
,连接
MN,AN
,则
MNCBDA< br>,
M
A
故
M,N,A,D
四点共面，∵
DA?< br>平面
EAB
，
?DA?EB
.
N
又
EA?AB

?AN?EB
由
MN?AN?N
，
E
?EB?
平面
ANMD

?DM?EB
;
(Ⅱ)取
AC
的中点
P
,连
MP
,则
MPEA,

?MP?
平面
ABCD
过
P
作
PQ?BD
,连
QM
,则
QM?BD

??MQP
是二面角
M?BD?A
的平面角.
设
CB?a
,
AC
与
BD
的交点为
O
,记
?AOD?
?
,
?CAB?
?
,则有
C
B
COCB11
??,CO?AC
AOAD23
111
2
5
?OP?(?)AC?a?(2a)
2
?a
2366


?sin
?
?sin(
?
?45
?
)?
2 21232
(sin
?
?cos
?
)?(?)?
22
5525

1
2
PQ?OPsin
?
?a
, 又
MP?EA?a
2
4

MP1
1
?22,?co s?MQP?
即二面角
M?BD?A
的余弦值为. 在
Rt?MPQ
中
tan?MQP?
3
PQ3


训练题

P
3.如图，四棱锥P- ABCD中所有的棱长都相等。求：
①二面角C-PD-B大小
②设M、N分别为AD、PC中点，
D
C
试求MN与底面AC及平面BDP所成的角
③平面PAB与平面PCD所成二面角的大小

A
B






4. 如图，四边形ABCD为直角梯形，ADBC ?
BAD=90?，PA
?
底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，
M、N分别为PC、PB的中点
①求证：PB
?
DM
P
②求BD与平面ADMN所成角的大小
③求二面角A-PB-C

M
N


D

A

C
B



5.如图所示多面体是由底面为ABCD的长方 体被截面AEC
1
F所截而得到的，其中AB=4，BC=2，C
C
1
=3，BE=1 （补形成正方体）
C1
①求BF
②求二面角A-EF-B

F


C

D
E


B
A





A1
D1
6.如图，在正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，点E在棱CC1上
①求证：AE
?
BD
B1
②当A
1
E与面BED 所成角为多大时，面A
1
BD
?
面EBD
C1
③在（2）的结论下，求此时二面角A-A
1
D-E的大小

A
D


C
B