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《简单的线性规划》知识点及题型归总

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:57
tags:高中数学的知识点

微经典高中数学一本通-高中数学三角函数中三角形面积怎么求

2020年9月22日发(作者:苏肇冰)




二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题
一、考点、热点回顾
1.二元一次不等式表示的平面区域
(1)一般地,二元一次 不等式Ax+By+C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平
面区 域.我们把直线画成虚线,以表示区域不包括边界直线.当我们在坐标系中画不等式Ax+By+C≥0所表示< br>的平面区域时,此区域应包括边界直线,则把边界直线画成实线.
(2)对于直线Ax+By+ C=0同一侧的所有点,把它的坐标(x,y)代入Ax+By+C,所得的符号都相同,所以只需
在此 直线的同一侧取一个特殊点(x
0
,y
0
)作为测试点,由Ax
0< br>+By
0
+C的符号即可断定Ax+By+C>0表示的是直
线Ax+By+C =0哪一侧的平面区域.
2.线性规划相关概念
名称
约束条件
线性约束条件
目标函数
线性目标函数
可行解
可行域
最优解
线性规划问题
3.重要结论
画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界,特殊点定域:
(1)直线定界:不等式中无等号时直线画成虚线,有等号时直线画成实线.
(2)特殊点定 域:若直线不过原点,特殊点常选原点;若直线过原点,则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证.
知识拓展
1.利用“同号上,异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域
对于Ax+By+C>0或Ax+By+C<0,则有
(1)当B(Ax+By+C)>0时,区域为直线Ax+By+C=0的上方;
(2)当B(Ax+By+C)<0时,区域为直线Ax+By+C=0的下方.
2.最优解和可行解的关系
最优解必定是可行解,但可行解不一定是最优解.最优解不一定唯一,有时唯一,有时有多个.
意义
由变量x,y组成的一次不等式
由x,y的一次不等式(或方程)组成的不等式组
欲求最大值或最小值的函数
关于x,y的一次解析式
满足线性约束条件的解
所有可行解组成的集合
使目标函数取得最大值或最小值的可行解
在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

二、典型例题
例1、(1)分别画出不等式x+2y-4

0和y≥x+3所表示的平面区域;




(2)在平面直角坐标系中,已知平面区域A={(x ,y)|x+y≤1,且x≥0,y≥0},则平面区域B={(x+y,x-y)|(x,
y)∈A} 的面积为( )
A.2
1
C.
2
B.1
1
D.
4

变式训练1、不等式(x-2y+1)(x+y-3) ≤0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示),应是下列图形中的( )

考点二、含参数的平面区域问题
x-y≥0,
?
?
2x+y≤2,
例2、若不等式组
?
y≥0,
?
?
x+y≤a
4< br>A.a≥
3
4
C.1≤a≤
3

x≥1,
?
?
变式训练2、已知约束条件
?
x+y-4≤0,< br>?
?
kx-y≤0


表示的平面区域的形状是三角形,则a的取值范围是( )
B.04
D.03

表示面积为1的直角三角形区域,则实数k的值为( )
A.1 B.-1 C.0 D.-2


考点三、含绝对值符号的不等式(组)表示的平面区域
例3、画出不等式


+所表示的平面区域。
变式训练3、设实数x

y满足不等式组


考点四、不等式组表示的平面区域的面积
,试求点(x

y)所在的平面区域。



例4、若不等式组


所表示的平面区域被直线
y?kx?
4
分为面积相等的两部分,求k的值。
3
变式训练4、已知点M

a

b

在由 不等式组
域的面积。


考点五、求线性目标函数的最值
2x+ 3y-3≤0,
?
?
例5、设x,y满足约束条件
?
2x-3y+3 ≥0,
?
?
y+3≥0,
确定的平面区域内,求点N

a+ b

a-b

所在的平面区

则z=2x+y的最小值是( )
A.-15 B.-9 C.1 D.9


变式训练5、设变量x,y满足约束条件,则目标函数z=x+6y的最大值是()
A.3 B.4 C.18 D.40


考点六、非线性目标函数的最值
x+y≤2,
?
?
例6、若变量x ,y满足
?
2x-3y≤9,
?
?
x≥0,

则x
2
+y
2
的最大值是( )
A.4 B.9 C.10 D.12
变式训练6、(1)已知 变量x,y满足,求z=x
2
+y
2
的最大值和最小值。
?
?
1
(2)已知实数x,y满足约束条件
?
y≥
2
x-3 ,
?
?
x+4y≤12,
1
-∞,-
?
A.
?
2
??
11
-,-
?
C.
?
3
??
2

2x-y-6>0,

y-3
则z=的取值范围为( )
x-2
1
-∞,-
?
B.
?
3
??
1
-,+∞
?
D.
?
?
3
?




考点七、求参数的值或取值范围
x+y≥0,
?
?
例7、变量x, y满足约束条件
?
x-2y+2≥0,
若z=2x-y的最大值为2,则实数m等于( )
?
?
mx-y≤0.
A.-2 B.-1 C.1 D.2

x-y≥0,
?
?
变式训 练7、已知x,y满足约束条件
?
x+y≤2,
?
?
y≥0,


若z=ax+y的最大值为4,则a等于( )
A.3 B.2 C.-2 D.-3


考点八、线性规划问题的实际应用
例8、某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三 种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个
骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生 产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产
一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获 利润3元.
(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元);
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?




变式训练8、某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需 要甲材料1.5 kg,
乙材料1 kg,用5个工时;生产一件产品B需要甲材料0.5 kg,乙材料0.3 kg,用3个工时.生产一件产品A的
利润为2 100元,生产一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg,乙材料90 kg,则在不超过 600
个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为________元.

三、课后练习
一、选择题(共12小题,每小题5分,60分)
1.不等式 表示的平面区域(用阴影表示)是( )
A.B.C.D.
2.下列各点中,在不等式
A. B.
表示的平面区域内的是( )
C. D.



3.已知点P(x,y)的坐标满足条件

,那么点P到直线3x-4y-13
=0的距离的最小值为( )
A. B.2 C. D.1
4.若 , 满足
,则 的最大值为( )
A.0 B.3 C.4 D.5
5.实数 满足 ,若 的最小值为1,则正实数 ( )
A.2 B.1 C. D.
6.若不等式组表示一个三角形内部的区域,则实数 的取值范围是
( )
C. D.

A. B.
7.不等式组 表示的平面区域的面积为( )

A.7 B.5 C.3 D.14
8.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组

小值为( )
A.2 B.1 C.- D.-
,所表示的区域上
一动点,则直线OM斜率的最
9.设 , 满足约束条件
( )
A. 或
10.已知点
B. 或
,动点
若 取得最大值的最优解不唯一,则实数 的值为
C. 或 D.
,那么
或2
的最小值是( ) 的坐标满足
A. B. C. D.1
11.已知变量 满足约束条件 ,若目标函数

的最小值为2,则 ( )
A.2 B.1 C. D.



?
y?0
y?1
?
12.已知实数< br>x,y
满足约束条件
?
x?y?0
,则
z?
的取值范 围是( )
x?1
?
2x?y?2?0
?
?,
C.
?
?,??
?
D.
?
?,1
?
A.
?1,
?
3
?
B.
?
?
23?
?
?
2
??
2
?
?
?
1< br>?
?
?
11
?
?
1
??
1
?
二、填空题((共4小题,每小题5分, 20分)
13.设D为不等式组
14.坐标原点与点
所表示的平面区域,则区域D上的点与点 之间的距离的最小值为 .
分别在直线2x?3y+ =0的两侧,则 的取值范围是 .
x?0
15.若不等式组
{2x?y?4
所表示的平面区域被直线
y?kx?4
分为面积相等的两部分,则
k
的值为________
x?2 y?4
x?y?3?0
16.若直线
y?ax
上存在点
?
x ,y
?
满足条件
{x?2y?3?0
,则实数
a
的取值范围为__________.
x?1
三、解答题(共6小题,共70分)
x?4y?3?0,
17. (10分)已知实数
x

y
满足
{3x?5y?25?0,

x?1.
(1)设
z?
y?1
,求
z
的最小值;
x
22
(2)设
z?x?y?2y
,求
z
的取值范 围.
18. (12分)已知3≤x≤6, x≤y≤2x,求x+y的最大值和最小值.


答案
1.B
2.C
3.B
4.C
5.C
6.C
7.A
8.C
9.A



10.B
11.C
12.B
13.
14.(0,7)

7
15.
?

2
16.
?1,2

17.
试题解析:
如图,
??

(1)
z?

z
min
y?1表示点
?
x,y
?

?
0,?1
?
的 斜率,所以过点
?
5,2
?
时,斜率最小,
x
3
?

5
22
(2)
z?x
2
?y
2
?2y?x
2
?
?
y?1
??1

d
2
?x
2
?
?
y?1?
表示点
?
x,y
?
与点
?
0,?1
?
的距离的平方,由图可
知,
过点
?
1,1
?
时,距离最小,
z
min
?4

过点
?
5,2
?
时,距离最大,
z
max
?33

?z
的取值范围是
?
4,33
?

18.
解析:原不等式组等价于
作出其围成的平面区域如下图所示.



将直线x+y=0向右上方平行移动,当其经过点(3,1)时,x+y取最 小值,当其经过点(6,12)时,x+y取最大
值.
∴ (x+y)
min
=3+1=4,(x+y)
max
=6+12=18.
即x+y的最大值和最小值分别是18和4.






















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