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任意角、弧度制及任意角的三角函数-知识点及课堂练习与答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:58
tags:高中数学的知识点

浙江高中数学什么版本的-高中数学中的古诗词

2020年9月22日发(作者:支立)


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第讲 任意角、弧度制及任意角的三角函数
最新考纲 .了解任意角的概念;.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互
化;.理解任意 角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.

知 识 梳 理
.角的概念的推广
()定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置
所成的图形.
()分类
((按旋转方向不同分为正角、负角、零角.,按终边位置不同分为象限角和轴线角. ))
()终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合
={ββ =α+·°,∈}.
.弧度制的定义和公式
()定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做弧度的角,弧度记作.
()公式
角α的弧度数公

角度与弧度的换

弧长公式
扇形面积公式
.任意角的三角函数







α=(弧长用表示)
①°= ② =°
弧长=α
==α


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三角函数 正弦 余弦 正切
设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,),那么
定义
叫做α的正弦,记作
α

各象
限符








叫做α的余弦,记作
α




叫做α的正
切,记作 α




三角函数线

有向线段为正弦线

有向线段为余弦线
有向线段为
正切线

诊 断 自 测
.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
()小于°的角是锐角.(×)
()锐角是第一象限角,反之亦然.(×)
()将表的分针拨快分钟,则分针转过的角度是°.(×)
()若α∈,则 α>α> α.(√)
()相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(×)
.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是( )
.π+°(∈) .·°+π(∈)
.·°-°(∈) .π+(∈)
解析 与的终边相同的角可以写成π+(∈),但是角度制与弧度制不能混用,所
以只有答案正确.
答案


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.(·新课标全国Ⅰ卷)若 α>,则( )
. α> . α>
. α> . α>
解析 由 α>可得α的终边在第一象限或第三象限,此时 α与 α同号,故 α= α
α>,故选.
答案
.(·大纲全国卷)已知角α的终边经过点(-),则 α=( )

.- .-
解析 由三角函数的定义知 α==- .
故选.
答案
.(人教必修10A改编)一条弦的长等于半径,这条弦所对的圆心角大小为弧
度.
答案

考点一 象限角与三角函数值的符号
【例】 ()若角α是第二象限角,则是( )
.第一象限角 .第二象限角
.第一或第三象限角 .第二或第四象限角
()若 α· α<,且α α )<,则角α是( )
.第一象限角 .第二象限角
.第三象限角 .第四象限角
深度思考 象限角的判定有两种方法,请你阅读规律方法,其中角的判断结论
为:


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解析 ()∵α是第二象限角,
∴+π<α<π+π,∈,
∴+π<<+π,∈.
当为偶数时,是第一象限角;
当为奇数时,是第三象限角.
()由 α· α<可知 α, α异号,从而α为第二或第三象限的角,由α α)<,可知
α, α异号.从而α为第三或第四象限角.综上,α为第三象限角.
答案 () ()
规律方法 ()已知θ所在的象限,求或θ(∈
*
)所在的象限的方法是:将θ的范围
用不等式( 含有)表示,然后两边同除以或乘以,再对进行讨论,得到或θ(∈
*
)所
在的象限. ()象限角的判定有两种方法:一是根据图象,其依据是终边相同的
角的思想;二是先将此角化为·°+ α(°≤α<°,∈)的形式,即找出与此角终边相
同的角α,再由角α终边所在的象限来判断此角是第 几象限角.()由角的终边所
在的象限判断三角函数式的符号,需确定各三角函数的符号,然后依据“同 号
得正,异号得负”求解.
【训练】 ()设θ是第三象限角,且(θ)))=- ,则是( )
.第一象限角 .第二象限角
.第三象限角 .第四象限角
() · · 的值( )
.小于 .大于 .等于 .不存在
解析 ()由θ是第三象限角,知为第二或第四象限角,
∵(θ)))=- ,∴ ≤,综上知为第二象限角.
()∵ >, <, >,


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∴ · · <.
答案 () ()
考点二 三角函数的定义
【例】 ()(·宁波高三考试)已知角θ的终边经过点(-,)(≠)且 θ=,试判断角θ
所在的象限,并求 θ和 θ的值.
()已知角α的终边过点(-8m,- °),且 α=-,试求的值.
解 ()由题意得,=,∴ θ==.
∵≠,∴=±.故角θ是第二或第三象限角.
当=时,=,点的坐标为(-,),
∴ θ===-, θ===-.
当=-时,=,点的坐标为(-,-).
∴ θ===-, θ===.
综上可知, θ=-, θ=-或 θ=-, θ=.
()∵=,∴ α==-,
∴>,∴=,即=.
规律方法 利用三角函数的定义, 求一个角的三角函数值,需确定三个量:角
的终边上任意一个异于原点的点的横坐标,纵坐标,该点到原 点的距离.若题目
中已知角的终边在一条直线上,此时注意在终边上任取一点有两种情况(点所在
象限不同).
【训练】 已知角α的终边在直线+=上,求 α, α, α的值.
解 ∵角α的终边在直线+=上,
∴在角α的终边上任取一点(,-)(≠),
则=,=-,
===,
当>时,=,
α===-, α===,
α===-;
当<时,=-, α===,


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α===-, α===-.
综上可知, α=-, α=, α=-或 α=, α=-, α=-.
考点三 扇形弧长、面积公式的应用
【例】 (·象山中学检测)已知一扇形的圆心角为α (α>),所在圆的半径为.
()若α=°,= ,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;
()若扇形的周长是一定值 (>),当α为多少弧度时,该扇形有最大面积?
解 ()设弧长为,弓形面积为

,则
α=°=,=,=×= (),





=××-××
=π-= ().
()扇形周长=+=+α,∴=,


=α·=α·
=α·=·≤.
当且仅当α=,即α=时,扇形面积有最大值.
规律方法 涉及弧 长和扇形面积的计算时,可用的公式有角度表示和弧度表示
两种,其中弧度表示的公式结构简单,易记好 用,在使用前,应将圆心角用弧
度表示.弧长和扇形面积公式:=α,=α.
【训练】 已知扇形的周长为 ,当它的半径为 和圆心角为弧度时,扇形面积最
大,这个最大面积是 .
解析 设扇形圆心角为α,半径为,则
+α=,∴α=-.

扇形
=α·=-=-(-)+,
∴当=时,(
扇形
)=,
此时α=.
答案
微型专题 三角函数线的应用
在解简单的三角不等式或比较函数值大小时,可利用数形结合的思想,借 助单


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位圆及三角函数线解题是一种方式.
【例】 ()求函数=(-)的定义域;
()设θ是第二象限角,试比较 , , 的大小.
点拨 ()求定义域,就是求使->的的范围.用三角函数线求解.
()比较大小,可以从以下几个角度观察:
①θ是第二象限角,是第几象限角?首先应予以确定.② , , 不能求出确定
值,但可以画出三角函数线.③借助三角函数线比较大小.


()∵->,
∴<,∴-< <.
利用三角函数线画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示),
∴∈(∈).
()∵θ是第二象限角,∴+π<θ<π+π,∈,

∴+π<<+π,∈,
∴是第一或第三象限的角.
(如图阴影部分),结合单位圆上的三角函数线可得:①当是第一象限角时,
=, =, =,
从而得, < < ;
②当是第三象限角时,
=, =, =,


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得 < < .
综上可得,当在第一象限时, < < ;
当在第三象限时, < < .
点评 ()第()小题的实质是解一个简单的三角不等式,可以用三角函数图象,也
可以用三角函数线.但用三 角函数线更方便.()第()小题比较大小,由于没有给
出具体的角度,所以用图形可以更直观的表示. ()本题易错点:①不能确定所
在的象限;②想不到应用三角函数线.原因在于概念理解不透,方法不够 灵活.

[思想方法]
.任意角的三角函数值仅与角α的终边位置有关,而与角α 终边上点的位置无
关.若角α已经给出,则无论点选择在α终边上的什么位置,角α的三角函数
值都是确定的.如有可能则取终边与单位圆的交点.其中=一定是正值.
.三角函数符号是重点,也是难点, 在理解的基础上可借助口诀:一全正,二
正弦,三正切,四余弦.
.在解简单的三角不等式时,利用单位圆及三角函数线是一个小技巧.
[易错防范]
.注意易混概念的区别:象限角、锐角、小于°的角是概念不同的三类角.第一
类是象限角,第二、第 三类是区间角.
.角度制与弧度制可利用°=π 进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必
须一致,不可混用.
.已知三角函数值的符号确定角的终边位置不要遗漏终边在坐标轴上的情况.

基础巩固题组
(建议用时:分钟)
一、选择题
.若 α<且 α>,则α是( )
.第一象限角 .第二象限角


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.第三象限角 .第四象限角
解析 ∵ α<,则α的终边落在第三、四象限或轴的负半轴;又 α>,∴α在第
一象限或第三象限,故α在第三象限.
答案
.若一圆弧长等于其所在圆的内接正三角形的边长,则其圆心角α∈(,π)的弧
度数为( )


解析 设圆半径为,则其内接正三角形的边长为,所以=α·,∴α=.
答案
.(·南阳一模)已知锐角α的终边上一点( °,+ °),则锐角α=( )
.° .° .° .°
解析 根据三角函数定义知, α=° °)=° °)=° °)=° °)= °,故锐角α=°.
答案
.若α是第三象限角,则下列各式中不成立的是( )
. α+ α< . α- α<
. α- α< . α α<
解析 α是第三象限角, α<, α<, α>,则可排除,,,故选.
答案
.给出下列命题:
①第二象限角大于第一象限角;
②三角形的内角是第一象限角或第二象限角;
③不论是用角度制还是用弧度制度量一个角,它们与扇形的半径的大小无关;
④若 α= β,则α与β的终边相同;
⑤若 θ<,则θ是第二或第三象限的角.
其中正确命题的个数是( )
. .
. .


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解析 由于第一象限角°不小于第二象限 角°,故①错;当三角形的内角为°时,
其既不是第一象限角,也不是第二象限角,故②错;③正确;由 于 = ,但与的
终边不相同,故④错;当 θ=-,θ=π时既不是第二象限角,又不是第三象限
角,故⑤错.综上可知只有③正确.
答案
二、填空题
.已知α是第二象限的角,则°-α是第象限的角.
解析 由α是第二象限的角可得°+·°<α<°+·°(∈),则°-(°+·°)<°-α<°-< br>(°+·°),即-·°<°-α<°-·°(∈),所以°-α是第一象限的角.
答案 一
.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为轴的非负半轴,若(,)是角θ终边上一
点,且 θ=-,则=.
解析 因为 θ==-,
所以<,且=,所以=-.
答案 -
.(·金华联考)函数=( -)+)的定义域为.

解析 要使原函数有意义,必须有:(( ->,- ≥,))
(( >(), ≤().))
如图,在单位圆中作出相应三角函数线,
由图可知,原函数的定义域为(∈).
答案 (∈)
三、解答题
.已知角α的终边上有一点的坐标是(3a,4a),其中≠,求 α, α, α.
解 ==.


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当>时,=5a,
∴ α===, α===,
α===;
当<时,=-5a,
∴ α=-, α=-, α=.
.一个扇形的面积是 ,它的周长是 ,求圆心角的弧度数和弦长.
解 设圆的半径为 ,弧长为 ,

则((()=,+=,))
∴圆心角α==弧度.
如图,过作⊥于,则∠=弧度.
∴=· = (),
∴= ().
能力提升题组
(建议用时:分钟)
.已知角α的终边经过点(3a-,+),且 α≤, α>,则实数的取值范围是( )
.(-] .(-)
.[-) .[-]
解析 由 α≤, α>可知,角α的终边落在第二象限或轴的正半轴上,所以有
((-≤,+>,))解得-<≤.
答案
.已知圆:+=与轴正半轴的交点为,点沿圆顺时针运动弧长到达点,以为终
边的角记为α,则 α=( )
.- . .- .
解析 圆的半径为,的弧长对应的圆心角为,故以为终边的角为,故 α=.
答案
.如图在平面 直角坐标系中,一单位圆的圆心的初始位置在(),此时圆上一点的
解得((=,=.))


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位置在(),圆在轴上沿正向滚动,当圆滚动到圆心位于()时,的坐标为.


解析 如图,作∥轴,⊥, 为垂足.
根据题意得劣弧
==- ,
所以点的横坐标为-=- ,点的纵坐标为+=- ,所以点的坐标为(- - ),
故=(- - ).
答案 (- - )
.已知 α<, α>.
()求α角的集合;
()求终边所在的象限;
()试判断 的符号.
解 ()由 α<,知α的终边在第三、四象限或轴的负半轴上;由 α>,知α在第
一、三象限,
故α角在第三象限,其集合为
.
()由(+)π<α<π+,
得π+<<π+,∈,
故终边在第二、四象限.
()当在第二象限时, <, >, <,
所以 取正号;
当在第四象限时, <, <, >,
所以 也取正号.
=,故∠=,则在△中,∠=-,= = ,


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因此, 取正号.
.已知扇形的周长为.
()若这个扇形的面积为,求圆心角的大小;
()求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长.
解 设扇形的半径为,弧长为,圆心角为α,
()由题意可得((+=,,()=,))
解得((==))或((=,=,))
∴α==或α==.
()∵+=,


==·
≤=×=,
当且仅当=,即α==时,扇形面积取得最大值.
∴=,∴弦长= ×= .

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