基本初等函数和函数的应用知识点总结

基本初等函数和函数的应用知识点总结

一、指数函数
（一）指数与指数幂的运算
1．根式的概念：一般地，如果
x?a
，那么< br>x
叫做
a
的
n
次方根，
*
其中
n< br>>1，且
n
∈
N
．
? 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作
n
0?0
。
当
n
是奇数时，
n
a
n
?a
，当
n
是偶数时，
n
a
n
?|a|?
?
2．分数指数幂
正数的分数指数幂的意义，规定：
n
?
a(a?0)

?
?a(a?0)
a
m
n
?
n
a
m
(a?0,m,n?N
*
,n?1)
m
n
，
a
?< br>?
1
a
m
n
?
1
n
a
m< br>(a?0,m,n?N
*
,n?1)

? 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义
3．实数指数幂的运算性质
r
rr?s
a
a?a
（1）·
(a?0,r,s?R)
；
rsrs

(a)?a
（2）
(a?0,r,s?R)
；
rrs
(ab)?aa
(a?0,r,s?R)
． （3）
（二）指数函数及其性质
1、指数函数的概念：一般地，函数
y?a(a?0 ,且a?1)
叫做指
数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和1．
因为负数对一些分数次方无意义，0的负数次方无意义。
2、指数函数的图象和性质
a>1 066
55
x
44
33
22< br>1
1
1
1
-4-2
0
-1
246-4-2< br>
0
-1
246

定义域 R
值域y＞0
在R上单调递增
定义域 R
值域y＞0
在R上单调递减
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非奇非偶函数
函数图象都过定
点（0，1）
x
非奇非偶函数
函数图象都过定
点（0，1）
对于指数函数f(x)?a(a?0且a?1)
，总有
f(1)?a
；
二、对数函数
（一）对数
1．对数的概念：一般地，如果
a?N
(a?0,a?1)，那么数
x
叫
做以
．
a
为底
．．
N< br>的对数，记作：
x?log
a
N
（
a
— 底数，
N
— 真
数，
log
a
N
— 对数式）
说明：
○
1 注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
x
2
a?N?log
a
N?x
；
○
3 注意对数的书写格式．
○
x
log
a
N
两个重要对数：
1 常用对数：以10为底的对数
lgN
；
○
2 自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
．
○
? 指数式与对数式的互化

幂值 真数

a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0
，那么：
1
log
a
(M·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N< br>；
○
M
?
log
a
M
－
log< br>a
N
；
N
n
3
log
a
M
?n
log
a
M

(n?R)
．
○
2
log
a
○
注意：换底公式
log
a
b?
log
c
b
（
a?0，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0）．
log
c
a
利用换底公式推导下面的结论
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（1）
log
a
m
b
n
?
1
n
（2）
log
a
b?
．
log
a
b
；
log
b
a
m
（二）对数函数 < br>1、对数函数的概念：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a? 1)
叫做对数函
数，其中
x
是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．
注意：
○
1 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意
辨别。
2 对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
○
2、对数函数的性质：
a>1
3
2.5
2
1.5
03
2.5
2
1.5
1
-1
1
1
1
1
0.5
0.5
0
-0.5
1
2345678
-1
0
1-0.5
1
2345678
-1
-1
-1.5
-1.5
-2
-2
-2.5

-2.5

定义域x＞0
值域为R
在R上递增
函数图象都过
定点（1，0）

（三）幂函数
定义域x＞0
值域为R
在R上递减
函数图象都过定点
（1，0）
1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
(a?R)
的函数称为幂函数，
其中
?
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）
?
?0
时，幂函数的图象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是
增函 数．特别地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；当
0?
?
? 1
时，
幂函数的图象上凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图 象在区间
(0,??)
上是减函数．在第一
象限内，当
x
从右边趋向 原点时，图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴
正半轴，当
x趋于
??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．



函数的应用

一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数
y?f(x)(x?D)
，把使
f(x)?0成立的实数
x
叫做函
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?

数
y?f(x)(x?D)
的零点。

2、函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是方程
f(x)?0
实数根 ，亦即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即：方程< br>f(x)?0
有实数根
?
函数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f(x)
有零点．

3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数
y?
○
来，并利用函数的性质找出零点．

4.二次函数
y?ax?bx?c(a?0)
．
（1）△＞０，方程
ax?bx?c?0(a?0)
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴有两
个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程
ax?bx?c?0(a?0)
有两相等实根，二次函数的图象与
x
轴有一
个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零 点．
（3）△＜０，方程
ax?bx?c?0(a?0)
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二
次函数无零点．
5.确定零点在某区间
?< br>a,b
?
个数是唯一的条件是:①
f
?
x
?
在区间上
连续，且
f
?
a
?
f
?
b
?
?0
②在区间
?
a,b
?
上单调。
6、二分法的定义
对于在区间
[a
，
b]
上连续不断，且满足f(a)?f(b)?0
的函数
y?f(x)
，通过不断地把函
数
f(x)
的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似
值 的方法叫做二分法．

7、二分法的条件
f(a)
·
f(b)
?0
表明用二分法求函数的近似零点都
是指变号零点。








2
2
2
f(x)
的图象联系起
2
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