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圆的方程知识点总结及相关高考习题详解

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 10:59
tags:高中数学的知识点

江苏高中数学满分多少分过-湖北高中数学教师招聘考试题目

2020年9月22日发(作者:黄登保)


圆的方程
1.圆的定义 :在平面内到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合。
2.圆的方程
标准式:< br>(x?a)
2
?(y?b)
2
?r
2
,其中
r
为圆的半径,
(a,b)
为圆心.
一般式:
x
2
?y
2
?Dx?Ey?F?0

D
2
?E
2?4F?0
).
DE
?
其中圆心为
?
?,?
?
,半径为
?
?
22
?
1
D
2
? E
2
?4F

2
参数方程:
?
?
x?r cos
?
?
x?a?rcos
?

?
?
y ?b?rsin
?
?
y?rsin
?
(
?
是参数) . 消去θ可得普通方程
3. 点与圆的位置关系
222
P(x,y)
( y?b)?r
(x?a)?
判断点与圆的位置关系代入方程看符号.
4.直线与圆的位置关系

直线与圆的位置关系有:相离、相切和相交.
判断方法: (1)代数法:(判别式法)
??0,??0,??0
时分别相离、相交、相切.
(2)几何法:圆心到直线的距离
d?r,d?r,d?r
时相离、相交、相切.
5.弦长求法
?
l
?
(1)几何法:弦心距d,圆半径r,弦长l,则
d
2
???
?r
2

?
2
?
(2)解析法:弦长公式= │x1-x2│√(k^2+1)=│y1-y2│√[(1k^2)+1]

6.圆与圆的位置关系:相交、相离、相切

直线与圆的经典例题解析
1 .已知圆x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3=0交于P,Q两点,且OP⊥OQ(O为坐标原点 ),求该圆的
圆心坐标及半径.
解: 将x=3-2y代入方程
x2+y2+x-6 y+m=0,
2
5y2-20y+12+m=0.

12?
m
.
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则y1、y2满足条件:
y1+y2=4, y1y2=
5
∵OP⊥OQ, ∴x1x2+y1y2=0.

x1=3-2y1,x2=3-2y2.


m=3,
, 半径r=
5
2
∴x1x2=9-6(y1+y2) +4y1y2.
此时Δ>0,圆心坐标为

?
1
?
3??
?

?
2
?
.
1


圆的方程
1.方程
x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0
表示圆,则a的取值范围是
A.a<-2或a> B.-<a<0C.-2<a<0
2. 已知实数x,y满足y=x
2
-2x+2 (-1≤x≤1).
试求:
解 由
y?3
x?2
y?3
x?2
2
3
2
3< br>( D
2
3

D.-2<a<
的最大值与最小值.
的几何意义可知,它表示经过定点P(-2,-3)与曲线段AB上任< br>一点(x,y)的直线的斜率k, 如图可知:k
PA
≤k≤k
PB
,由已知可得:A(1,1),B(-1,5),

4
≤k≤8,故
3y?3
x?2
的最大值为8,最小值为
4
.
3
直线斜率
22
2.(08·安徽卷)若过点
A(4,0)
的直线
l
与曲线
(x?2)?y?1
有公共点,则直线
l
的斜率的取值范围
?
33
??
33
?
,
?
?
?
?
?
?
3
,
3
?
?
33
[?3,3]
(?3,3)
??

??
为 ( ) A. B. C. D.
解析:记圆心为
D(2,0)
,记上、下两 切点分别记为
B、C
,则
?BAD?30??CAD
,∴
l
的斜率
?
00
?
k?
?
tan150,tan30
??
,

?
33
?
k?
?
?,
?
33
??
. 即
直线的方程
3.(07·浙江)直线
x?2y?1?0
关于直线
x?1
对称的直线方程是 ( )
A.
x?2y?1?0
B.
2x?y?1?0

C.
2x?y?3?0
D.
x?2y?3?0

解析:( 利用相关点法)设所求直线上任一点(x,y),则它关于
x?1
对称点为(2-x, y)在直线
x?2y?1?0
上, 即
2?x?2y?1?0
,化简得答案D.

直线与直线的位置关系 4.(06·福建)已知两条直线
y?ax?2

y?(a?2)x?1
互相垂直,则
a
等于
( ) A.2 B.1 C.0 D.
?1

解析:两条直线
y?ax?2

y?(a?2) x?1
互相垂直,则
a(a?2)??1
,∴ a=-1,选D.



2


点与直线的位置关系
22
5.( 06·湖南)圆
x?y?4x?
4y?10?0
上的点到直线
x?y?14? 0
的最大距离与最小距离的差
是 ( )A.36 B. 18 C.
62
D.
52

22
x?y?4x?4 y?10?0
的圆心为(2,2),半径为3解析:圆
2
,圆心到直线
x?y ?14?0
的距离为
|2?2?14|
?25
2
>3
2,圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是2R =6
2
,选C.
圆的方程
6. (06·重庆)以点(2,-1)为圆心且与直线
3x?4y?5?0
相切的圆的方程为
2222
(x?2)?(y?1)?3(x?2)?(y?1)?3
( )A. B.
2222
(x?2)?(y?1)?9(x?2)?(y?1)?3
C. D.
解析
r?
|3?2-4?(-1)+5|
3+4
22
=3,故选C. < br>?
x?1?cos
?
?
7.(08·福建)若直线3x+4y+m=0 与圆
?
y??2?sin
?

?
为参数)没有公共点,则 实数m的取
值范围是 .
解析:将圆化成标准方程得
(x?1 )
2
?(y?2)
2
?1
,圆心
(1,?2)
,半 径
r?1
. 直线与圆相离,
3?1?4?(?2)?m

3?4
22
?1
,∴
m?5?5
,∴
m?0或m?10
.
直线与圆的位置关系
7.(09?辽宁)已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆C
的方程为 ( B )
2222
(x?1)?(y?1)?2(x?1)?(y?1)?2
A. B.
2222
(x?1)?(y?1)?2(x?1)?(y?1)?2
C. D.
解析:圆心在x+y=0上,排除C、D,再结合图象,
或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.

一.选择题
1.(09·湖南重点中学联考)过定点
P
?
2,1
?
作直线
l
分别交
x
轴、
y
轴正向于A、B两点,若使△ABC
( O为坐标原点)的面积最小,则
l
的方程是 ( )
A.
x?y?3?0
B.
x?3y?5?0
C.
2x?y?5?0
D.
x?2y?4?0


3


2.(09·湖北重点中学联考)若P(2,-1)为圆(x-1)
2
+y
2
=25的弦AB的中点,则直线AB的方
程是 ( )
A.x-y-3=0 B.2x+y-3=0 C.x+y-1=0 D.2x-y-5=0

3.(09·陕西)过原点且倾斜角为
60?
的直线被圆学
x
2?y
2
?4y?0
所截得的弦长为( )
A.
3
B.2 C.
6

D.2
3

4.(09 ·宁夏海南)已知圆
C
1

(x?1)
2
+
(y? 1)
2
=1,圆
C
2
与圆
C
1
关于直线< br>x?y?1?0
对称,则圆
C
2

方程为 ( )
A.
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1 B.
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1
C.
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1 D.
(x?2)
2
+
(y?2)
2
=1
5.(0 9·重庆)直线
y?x?1
与圆
x
2
?y
2
?1< br>的位置关系为 ( )
A.相切 B.相交但直线不过圆心 C.直线过圆心 D.相离
6.(09·重庆)圆心在
y
轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为 ( )
A.
x
2
?(y?2)
2
?1
B.
x
2
?(y?2)
2
?1

C.
(x?1)
2
?(y?3)
2
?1
D.
x
2
?(y?3)
2
?1

)
x
2
?y
2
?2x?4y?164?0
的弦,其中弦长为整数的 共有 7.(08·湖北)过点
A(11,2

( )A.16条 B. 17条 C. 32条 D. 34条
8.(0 8·北京)过直线
y?x
上的一点作圆
(x?5)
2
?(y?1)< br>2
?2
的两条切线
l
1
,l
2
,当直线l
1
,l
2
关于
y?x
对称时,它们之间的夹角为 ( ) A.
30
B.
45
C.
60
D.
90

二.填空题
9.(07·上海)已知
l
1:2x?my?1?0

l
2
:y?3x?1
,若两直线平行, 则
m
的值为____________.
10.(08·天津)已知圆C的圆心与点
P(?2,1)
关于直线
y?x?1
对称.直线
3x?4y?11? 0
与圆C
相交于
A,B
两点,且
AB?6
,则圆C的方程为 ____________.
11.(09·四川)若⊙
O
1
:x
2
?y
2
?5
与⊙
O
2
:(x?m)
2
?y
2
?20(m?R)
相交于A、B两点,且两圆
在点A处的切线 互相垂直,则线段AB的长度是 w.
12.(09·全国)若直线
m
被两平行线
l
1
:x?y?1?0与l
2
:x?y?3?0
所截得的线段的长为
22


m
的倾斜角可以是: ①
15

30

45

60

75
其中正确答案的序号

4


是 .(写出所有正确答案的序号)
13.(09·天 津)若圆
x
2
?y
2
?4
与圆
x
2
?y
2
?2ay?6?0
(a>0)的公共弦的长为
23
,则a=
___________ .
14.(09·辽宁)已知圆C与直线x-y=0 及x-y-4=0都相切,圆心在直线x+y=0上,则圆
C的方程为_____________.
一.选择题
1.【答案】D【解析】由题设,可知
S
?ABC
?< br>121
ab
,且
??1

2ab

ab?a?2b?2a?2b?22?ab?ab?22?ab?8.

?
a?2b
?
a?4
xy
当且仅当
?
时,
ab?8< br>.∴
l
的方程为:
??1?x?2y?4?0.
∴应选D. < br>?
?
42
?
2b?a?ab
?
b?2
2.【 答案】A【解析】由(x-1)
2
+y
2
=25知圆心为Q(1,0).据k
QP
·k
AB
=-1,
∴k
AB
=-
1
k
QP
=1(其中k
QP
=
?1?0
=-1).∴ AB的方程为y=(x-2)-1=x-3,
2?1

x

y
-3=0.∴ 应选A.
3. 【答案】D【解析】直线方程
y?3x
,圆的方程为:
x
2
?(y? 2)
2
?4

?
圆心
(0,2)
到直线的距离d?
3?0?2
(3)
2
?(?1)
2

?1
,由垂径定理知所求弦长为
d
*
?22
2
? 1
2
?23

?
a?1b?1
??1?0
?
?
a?2
?
22
4.【答案】B【解析】设圆
C
2
的圆心为(a,b),则依题意,有
?
解得
?

b?1
b??2
?
?
??1
?
?
a?1
对称圆的半径不变 ,为1.
5.【答案】B【解析】圆心
(0,0)
为到直线
y?x?1,即
x?y?1?0
的距离
d?
选B.
6.【答案】A【解法 】设圆心坐标为
(0,b)
,则由题意知
(o?1)
2
?(b?2) ?1
,解得
b?2

故圆的方程为
x
2
?(y?2)
2
?1
.
7.【答案】C【解析】由已知得圆心为P(-1,2),半径为13,显然过A点的弦长中最长的是直径,< br>此时只有一条,其长度为26,过A点的弦长中最短的是过A点且垂直于线段PA的弦,也只有一条,其长度为10(PA的长为12,弦长=2
13
2
?12
2
=1 0),而其它的弦可以看成是绕A点不间断旋转而成
的,并且除了最长与最短的外,均有两条件弦关于 过A点的直径对称,所以所求的弦共有2(26-10-1)

5
2
12< br>,而
0??1

?
2
2
2


+ 2=32.故选C.
8.【答案】C【解析】此圆的圆心为
C
(5,1),半径 < br>r?2
.设直线
l:y?x
上的点
P
符合要求,连结
PC
,则由题意知
PC?l
,又
PC?
5?1
2
? 22
.

l
2
与⊙
C
切于点
A
,连结
AC
,则
AC?2
.在
Rt?PAC
中,

l
1

l
2
的夹角为60°. 故选C.
二.填空题
9.【答案】
?
22m12
??m??
. 【解析】
?
3?1?13
3
AC
PC
?
1
,∴
?APC?30?

2
10.【答案】
x
2
?(y?1)
2
?18
.
【解析】圆C的圆心与P(-2,1)关于直线 y=x+1对称的圆心为(0,-1),设该圆的方程为
x
2
?(y?1)
2
?R
2
.
设AB中点为M,连结CM、CA,在三角形CMA中
C M?
3?0?4?(?1)?11
5
22
?3,
又|AM|?3,< br>?R
2
?CM?MA?3
2
?3
2
?18,
故圆的方程为
x
2
?(y?1)
2
?18.

11.【答案】4 【解析】由题知
O
1
(0,0),O
2
(m,0)
,且
5?|m|?35
,又
O
1
A?AO
2

所以有
m
2
?(5)
2
?(25)
2
?25?m??5

AB?2?
12.【答案】①或⑤
【解析 】两平行线间的距离为
d?
|3?1|
1?1
5?20
?4
.
5
由图知直线
m

l
1
的夹角为30
o

l
1
的倾斜角为45
o

?2
,< br>所以直线
m
的倾斜角等于
30
o
?45
0
? 75
0

45
o
?30
0
?15
0
.
13.【答案】1【解析】由知
x
2
?y
2
?2ay ?6?0
的半径为
6?a
2
,
6?a
2
?(?a ?1)
2
?(3)
2
解之得
a?1
.

14.【答案】
(x?1)
2
?(y?1)
2
?2

【解析】圆心在x+y=0上,结合图象,或者验证A、B中圆心到两直线的距离等于半径2即可.

6

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