(完整版)基本初等函数知识点及函数的基本性质

指数函数及其性质
一、指数与指数幂的运算
（一）根式的概念
1 、如果
x?a,a?R,x?R,n?1
，且
n?N
?
，那么
x
叫做
a
的
n
次方根．当
n
是奇数时，
a

的
n
次方根用符号
n
a
表示；当
n
是偶数时，正数
a
的正的
n
次方根用符号
n
a表示，负
的
n
次方根用符号
?
n
a
表示；0的
n
次方根是0；负数
a
没有
n
次方根．
2、式子
n
a
叫做根式，这里
n
叫做根指数，
a
叫做被开方 数．当
n
为奇数时，
a
为任意实数；
当
n
为偶数时，
a?0
．
n
3、根式的性质：
(
n
a )?a
；当
n
为奇数时，
n
n
a
n
?a< br>；当
n
为偶数时，
n
?
a (a?0)
．
a?|a|?
?
?
?a (a?0)
n
m
n
（二）分数指数幂的概念
1、正数的正分数指数幂的意义是 ：
a?
n
a
m
(a?0,m,n?N
?
,
且
n?1)
．0的正分数指数幂等于0．
2、正数的负分数指数幂的意义是：
a
?
m
n
1
m
1
?()
n
?
n
()
m
(a?0,m, n?N
?
,
且
n?1)
．0的负
aa
分数指数幂没 有意义．
注意口诀：底数取倒数，指数取相反数．
3、a
0
=1
(
a
?0) a
?
p
? 1
a
p
(
a
?0；
p
?
N
?)
4、指数幂的运算性质
a
r
?a
s
?a
r?s
(a?0,r,s?R)< br>
(a
r
)
s
?a
rs< br>(a?0,r,s?R)

(ab)
r
?a
r
br
(a?0,b?0,r?R)

5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。
二、指数函数的概念
一般地，函 数
y?a(a?0,且a?1)
叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．
1
指数函数的定义是一个形式定义； 注意：○
2
注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1． ○
三、指数函数的图象和性质
函数名称 指数函数

定义
函数
y?a(a?0
且
a?1)
叫做指数函数
x
x
a?1

y
0?a?1

y?a
x
图象

定义域
值域
过定点
奇偶性
单调性
y?1



(0,1)

y?a
x
y
y?1

O
(0,1)
O
x
x
R

（0,+∞）
图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．
非奇非偶
在
R
上是增函数 在
R
上是减函数

函数值的
变化情况
y＞1(x＞0),
y=1(x=0),
0＜y＜1(x＜0)
y＞1(x＜0),
y=1(x=0),
0＜y＜1(x＞0)
在第一象限内，
a
越小图象越高，越靠近
y轴；
在第二象限内，
a
越小图象越低，越靠近
x轴．
在第一象限内，
a
越大图象越高，越靠近
a
变化对 y轴；
图象影响 在第二象限内，
a
越大图象越低，越靠近
x轴．
注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：
x
（1）在[a，b]上，
f(x)?a(a?0且a?1)
值域是
[f(a),f(b)]
或
[f( b),f(a)]

（2）若
x?0
，则
f(x)?1
；< br>f(x)
取遍所有正数当且仅当
x?R

（3）对于指数函数
f(x)?a(a?0且a?1)
，总有
f(1)?a

（4）当
a ?1
时，若
x
1
?x
2
，则
f(x
1)?f(x
2
)

四、底数的平移
对于任何一个有意义的指数函数：
在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。
在f(X)后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。
即“上加下减，左加右减”
五、幂的大小比较
常用方法（1）比差（商）法：
（2）函数单调性法；
（3）中间值法：要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A 与C、B与
C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。
注意：
（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来
判断。
45
例如：y
1
=3,y
2
=3
（2）对于底数 不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化
规律来判断。
44
例如：y
1
=（12）,y
2
=3,
（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较
①对于三个 （或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、
1的大小）进行分组，再比较各 组数的大小即可。
② 在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。由指数函数的图像和性质可知“同大
x
异小”。 即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向时，a大于1，异向
x
时a小于1.

x
对数函数及其性质
一、对数与对数的运算
（一）对数
1．对 数的概念：一般地，如果
a?N
(a?0,a?1)
，那么数
x
叫做 以
．
a
为底
．．
N
的对数，记作：
x
x? log
a
N
（
a
— 底数，
N
— 真数，
log
a
N
— 对数式）
说明：① 注意底数的限制
a?0
，且
a?1
；
x
②
a?N?log
a
N?x
；
③注意对数的书写格式．
log
a
N

两个重要对数：① 常用对数：以10为底的对数
lgN
；

② 自然对数：以无理数
e?2.71828?
为底的对数的对数
lnN
．
指数式与对数式的互化
幂值 真数

a
b
＝ N
?
log
a
N
＝ b

底数
指数 对数
（二）对数的运算性质
如果
a?0
，且
a?1
，< br>M?0
，
N?0
，那么：
M
?
log
a< br>M
－
log
a
N
；
N
1
M
3

log
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)
． ④
log
M
n
?log
a
○
a
n
b
log
b
a
a?b
⑤
log
a
⑥
?b
a
2

log
a
①
log
a
(M
·
N)?log
a
M
＋
log
a
N
；○
⑦ log
a
1
=0 ⑧ log
a
a=1 ⑨ a log
a
N=N ⑩ log
a
a
b
=b
注意：换底公式
log
a
b?
log< br>c
b
（
a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；
b?0
）．
log
c
a
1
n
．
log
a
b
； ②
log
a
b?
log
b
a
m
推论(利用换底公式)
①
log
a
m
b
n
?
二、对数函数 1、对数函数的概念：函数
y?log
a
x(a?0
，且
a?1 )
叫做对数函数，其中
x
是自变量，函数
的定义域是（0，+∞）．
注意：① 对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。如：
y?2log2
x
，
x
都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．
y?log
5
5
② 对数函数对底数的限制：
(a?0
，且
a?1)
．
三、对数函数的图像和性质：
函数名称 对数函数
函数
y?log
a
x(a?0
且
a?1)
叫做对数函数
定义
a?1







y
x?1
0?a?1

y
x?1
y?log
a
x

y?log
a
x
图象
(1,0)
O
(1,0)
x
O





x


定义域
值域
过定点
奇偶性
(0,??)

R

图象过定点
(1,0)
，即当
x?1
时，
y?0
．
非奇非偶

单调性
在
(0,??)
上是增函数 在
(0,??)
上是减函数
log
a
x?0(x?1)
函数值的
变化情况
log
a
x?0(x?1)

log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)
log
a
x?0(x ?1)
log
a
x?0(0?x?1)

在第一象限内，
a
越大图象越靠低；在第四象限内，
a
越大图象越靠高．
在第一象限内，
a
越大，图象越靠近x轴 在第一象限内，
a
越小，图象越靠近x轴
图象影响
在第四象限内，
a
越大，图象越靠近y轴 在第四象限内，
a
越小，图象越靠近y轴
四、对数的平移、大小比较与指数函数类似

a
变化对
反函数
一、反函数定义
设函数
y? f(x)
的定义域为
A
，值域为
C
，从式子
y?f(x)< br>中解出
x
，得式子
x?
?
(y)
．如
果对于
y
在
C
中的任何一个值，通过式子
x?
?
(y)< br>，
x
在
A
中都有唯一确定的值和它对应，那
么式子
x ?
?
(y)
表示
x
是
y
的函数，函数
x?
?
(y)
叫做函数
y?f(x)
的反函数，记作
x?f?1
(y)
，习惯上改写成
y?f
?1
(x)
．
二、反函数的求法
①确定反函数的定义域，即原函数的值域；
②从原函数式
y?f(x)
中反解出
x?f
③将
x?f
?1
?1
(y)
；
(y)
改写成
y?f
?1
(x)
，并注明反函数的定义域．
?1
三、反函数的性质
①原函数
y?f(x)
与反函数
y ?f(x)
的图象关于直线
y?x
对称．
?1
②函数
y? f(x)
的定义域、值域分别是其反函数
y?f
'
(x)
的值域、定 义域．
?1
③若
P(a,b)
在原函数
y?f(x)
的图 象上，则
P(b,a)
在反函数
y?f
④一般地，函数
y?f(x)
要有反函数则它必须为单调函数．

(x)
的图象上．
幂函数及其性质
一、幂函数的定义
一般地，函数
y?x
叫 做幂函数，其中
x
为自变量，
?
是常数．
二、幂函数的图象

函数
特征
性质
定义域
值域
单调性
所过定点
y=x
R
R
增
（1，1）
（0，0）
y?x
2

y?x
3

1
?
y?x
2

y?x
?1

{x|x?0}

R
[0，
??
）
x?[0，??)
增
x?(??，0]
减
（1，1）
（0，0）
R
R
增
（1，1）
（0，0）
[0，
??
）
[0，
??
）
增
（1，1）
（0，0）
{y|y?0}

x?(0，??)
增
x?(??，0)
减
（1，1）

三、幂函数的性质
1、图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．
①幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于
y
轴对称)；
②幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；
③幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
2、过定点：所有的幂函数在< br>(0,??)
都有定义，并且图象都通过点
(1,1)
．
3、单调 性：①如果
?
?0
，则幂函数的图象过原点，并且在
[0,??)
上 为增函数．
②如果
?
?0
，则幂函数的图象在
(0,??)
上为减函数，在第一象限内，图象无限接
近
x
轴与
y
轴．
4、奇偶性：⑴当
?
为奇数时，幂函数为奇函数，
⑵当
?
为偶数时，幂函数为偶函数．
⑶当
?
?
q
（其中
p,q
互质，
p
和
q?Z
），
p
①若
p
为奇数
q
为奇数时，则
y?x
是奇函数，
②若
p
为奇数
q
为偶数时，则
y?x
是偶函数，
③若
p
为偶数
q
为奇数时，则
y?x
是非奇非偶函 数．
5、图象特征：幂函数
y?x,x?(0,??)
，
⑴当
?
?1
时，①若
0?x?1
，其图象在直线
y?x
下方，
②若
x?1
，其图象在直线
y?x
上方，
⑵当
?
?1
时，①若
0?x?1
，其图象在直线
y?x
上方，
②若
x?1
，其图象在直线
y?x
下方．






?
q
p
q
p
q
p

函数基本性质——奇偶性知识点及经典例题


一、函数奇偶性的概念：

①设函数
y?f
?
x
?
的定义域为
D< br>，如果对
D
内的任意一个
x
，都有
?x?D
， 且
f
?
?x
?
??f
?
x
?
，则这个函数叫奇函数。
（如果已知函数是奇函数，当函数的定义域中有0时，我们可以得出
f
?
0
?
?0
）


②设函数
y ?g
?
x
?
的定义域为
D
，如果对
D
内的 任意一个
x
，都有
?x?D
，
若
g
?
? x
?
?g
?
x
?
，则这个函数叫偶函数。
从定义我们可以看出，讨论一个函数的奇、偶性应先对函数的定义域进行判断，看其定义
域是否关于原点 对称。也就是说当
x
在其定义域内时，
?x
也应在其定义域内有意义。


③图像特征

如果一个函数是奇函数
?
这个函数的图象关于坐标原点对称。
如果一个函数是偶函数
?
这个函数的图象关于
y
轴对称。

④复合函数的奇偶性：同偶异奇。


⑤对概念的理解：

(1)必要条件：定义域关于原点成中心对称。

(2)
f(x)
与
f(?x)
的关系：
f(?x)
当
f(?x)?f(x)
或
f(?x)?f(x)?0
或
?1
时为偶函数；
f(x)
f(?x)
当
f(?x)??f(x)
或
f(?x)?f(x)?0
或
??1
时为奇函数。
f(x)
二、函数的奇偶性与图象间的关系：

①偶函数的图象关于
y
轴成轴对称，反之也成立；

②奇函数的图象关于原点成中心对称，反之也成立。

三、关于函数奇偶性的几个结论：

①若
f(x)
是奇函数且在
x?0
处有意义，则
f(0)?0


②偶函数
?
偶函数=偶函数；奇函数
?
奇函数=奇函数；
偶函数
?
偶函数=偶函数；奇函数
?
奇函数=偶函数；
偶函数
?
奇函数=奇函数

③奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，
偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性.