《空间中点直线平面之间的位置关系》知识点总结[]

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高中数学必修 2 知识点总结




第一章

空间几何体



1.1 柱、锥、台、球的结构特征


1.2 空间几何体的三视图和直观图


1

三视图：

正视图：从前往后

侧视图：从左往右

俯视图：从上往下

2

画三视图的原则：

长对齐、高对齐、宽相等

3

直观图：斜二测画法
4

斜二测画法的步骤：

（1）. 平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴；

（2）. 平行于 y 轴的线长度变半，平行于 x， z 轴的线长度不变；（3）. 画法要写
好。


5

用斜二测画法画出长方体的步骤： （1）画轴（ 2）画底面（ 3）画侧棱（ 4）成图
1.3 空间几何体的表面积与体积
（一 ）空间几何体的表面积

1

棱柱、棱锥的表面积：

各个面面积之和

2圆柱的表面积
S

2 rl 2 r
2

SS
3

圆锥的表面积

rl

r
2

4

圆台的表面积

rl

r
2

Rl

R
2

S
5

球的表面积

4 R
2


（二）空间几何体的体积


1

柱体的体积

V

S
1
底

h


2

锥体的体积

V


S
底
h



3


3

台体的体积
V

1



4

（ S
S S

S )

h

4 球体的体积


V

R

3

上

上

下

下

第二章《空间中点、直线、平面之间的位置关系》知识点总结
3


3


1. 内容归纳总结
（

1）四个公理
公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。


符号语言：

A l , B l ,且A

, B

l

。











公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。


---



三个推论：①

经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面


② 经过两条相交直线，有且只有一个平面


③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面



它给出了确定一个平面的依据。

公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的
公共直线（两个平面的交线） 。


符号语言： P

,且 P

l , P

l 。


公理 4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。


符号语言： a l ,且 b l

a b 。


（

2）空间中直线与直线之间的位置关系

1.

概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。
已知两条异面直线
a, b

，经过空间任意一点

O作直线
a a, b b
，我们把


a
与
b
所

成的角（或直角）叫异面直线

a, b
所成的夹角。（易知：夹角

范围

0

90
）

定理： 空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么
这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形


）

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点

;

共面直线

2.

位置关系：

平行直线：同一平面内，没有公共点

;

异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点


（ 3）空间中直线与平面之间的位置关系


直

线

与

平

面

的

位

置

关

系

有

三

种

：


直线在平面内（ l

）有无数个公共点




直线在平面外

直线与平面相交（

l

A）有且只有一个公共点



直线与平面平行（



l ）没有公共点

（ 4）空间中平面与平面之间的位置关系


两个平面平行（

）没有公共点

平面与平面之间的位置关系有两种：


两个平面相交（

l）有一条公共直线









直线、平面平行的判定及其性质


1 4

--

1. 内容归纳总结
（ 1）四个定理
















1. 直线与平面垂直： 如果直线
l
与平面

垂直，记作
l

分析解决问题的常用方法

点
P
叫做垂足。


内的任意一条直线都垂直， 我们就说直线

l
与平面

的垂线，平面

叫做直线
l
的垂面。直线与平面的公共

。直线
l
叫做平面

定理

直线与平面

平行的判定


定理内容


符号表示




平面外的一条直线与平面


内的一条直线平行， 则该直

线与此平面平行



a




,b

a

, b

,且 a b

在已知平面内“找出”一条直线与已知
直线平行就可以判定直线与平面平行。
即将“空 间问题”转化为“平面问题”


2. 直线与平面所成的角：

角的取值范围：
0



90
。

平面与平面

一个平面内的两条相交直


a


,

判定的关键： 在一个已知平面内 “找出”
两条相交直线与另一平面平行。即将“面面
3. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的
棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法：

线与另一个平面平行，

则这

a b P, a

,b

二面角的取值范围：
0

180

平行的判定



两个平面平行



平行问题”转化为“线面平行问题”




一条直线与一个平面平行，



直线与平面

则过这条直线的任一平面

a

b



, a

,


平行的性质与此平面的交线与该直线


a b

平行





平面与平面
如果两个平行平面同时和



第三个平面相交，
,

a,

平行的性质

那么它们



的交线平行

b

a b

























直线、平面平垂直的判定及其性质




1. 内容归纳总结

（一）基本概念

2 4

---


两个平面垂直：直二面角。


（二）四个定理



定理

定理内容

符号表示

分析解决问题的常用方法






直 线 与

一条直线与一个平面

m、 n

在已知平面内“找出”两条相交


, m


n P,

平面

内的两条相交直线垂

直，则该直线与此平面

且 a
直线与已知直线垂直就可以判定

垂 直 的


m, a

n


直线与平面垂直。即将“线面垂直”
判定

垂直。

a



转化为“线线垂直”




平 面 与

平面
一个平面过另一平面

a

, a


判定的关键：在一个已知平面内


垂 直 的
的垂线，则这两个平面
（满足条件与

垂直的

“找出”两条相交直线与另一平




判定
垂直。
面平行。即将“面面平行问题”

平面


有无数个）



转化为“线面平行问题”

直 线 与


平面

同垂直与一个平面的

垂 直 的


两条直线平行。

a, b

a b




性质


平 面 与

两个平面垂直， 则一个


平面

平面内垂直与交线的


,

l ,a

,
解决问题时，常添加的辅助线


垂 直 的

直线与另一个平面垂

a l

a


是在一个平面内作两平面交线


性质

直。
的垂线





第三章直线方程知识点及公式

1. 直线的倾斜角与斜率：

在平面直角坐标系中，对于一条与

x
轴相交的直线，如果把

x
轴绕着交点按逆时针方向旋转

到和直线重合时所转的最小正角记为

，那么

就叫做直线的倾斜角

. 当直线和

x
轴平行或
重合时，我们规定直线的倾斜角为

0° . 倾斜角的取值范围是

0°≤

＜ 180° . 倾斜角不是

--
90

°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率，常用

k
表示

.

倾斜角是

90°的直线没

有斜率 . 即
k

tan



※ 2. 斜率公式：经过两点
P
1

(x
1

, y
1

), P
2

( x
2

, y
2

)
的直线的斜率公式：
k
yy

21

( x
1

x
2
)


x
2

x
1


王新敞


：
※ 3. 直线的点斜式方程

y y
1
k( x x
1
)



直线的斜率
k

0
时，直线方程为

y

y
1

；当直线的斜率

k
不存在时，不能用点斜式求它的

方程，这时的直线方程为

x

x
1

.


※ 4．直线的斜截式方程

：
y

kx

b
.

只有当
k

0
时，斜截式方程才是一次函数的表达式.

※※ 5. 直线方程的一般式：

Ax

By

C

0
（
A
2

B
2

0
）


6. 直线方程的两点式 ：
y

y
1

x

x
1

. （
x
1


x
2

，
y
1

y
2

）


y
2

y
1

x
2

x
1


7．直线方程的截距式：

x

y

a

b
1
.

a

,
b
表示截距，它们可以是正，也可以是负.




8．斜率存在时两直线的平行：

l
1
l
2

k
1

=
k
2

且

b
1

b
2

.


9．斜率存在时两直线的垂直：

l
1

l
2


k
1
k
2

1
．


10．特殊情况下的两直线平行与垂直

:


当两条直线中有一条直线没有斜率时：


(1)

当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为


90°，互相平行；

(2) 一条直线的斜率不存在时， 即倾斜角为 90°，另一条直线的倾斜角为 0°， 两直线互相垂直．



11. 直线
l
1
与
l

2
的夹角定义及公式 :

l
1

到
l
2

的角是

1
,
l

2
到
l
1
的角是 π -

1
, 两角中的锐角或

直角叫两条直线的 夹角 . 显然当直线
l

1
⊥
l

2
时 , 直线
l
1
与
l

2

的夹角是.



2


夹角的取值范围： 0°＜

≤ 90° .


计算方法：如果
1 k
1
k
2

0,即 k
1
k
2

1, 则


.
王新敞



2


12. 两点间距离公式：
PP
12
(x
2

x
1
)
2

( y
2

y
1
)
2


13 ． 点 到 直 线 距 离 公 式 ： 点
P(x
0

, y
0

)
到 直 线
l : Ax By C

0
的 距 离 为 ：


---
3 4






d
Ax



0
By
0
C




A
2

B
2





14.
C

两平行直线间距离公式：


d

2
- C
1




A
2

B
2


第四章 圆
与方程



1、圆的标准方程：

以点
C (a, b)
为圆心，
r
为半径的圆的标准方程是

(x a)
2
( y b)
2

r
2

.



特例：圆心在坐标原点，半径为

r
的圆的方程是：

x
2
y
2

r
2
.





2、点与圆的位置关系：




1. 设点到圆心的距离为 d，圆半径为 r ：



(1) 点在圆上

d=r ；

(2)点在圆外


d＞ r ；

(3)点在圆内


d＜ r ．


2. 给定点
M (x

0

,y

0

)
及圆 C : ( x

a)
2

( y

b)
2


r
2
.


① M 在圆 C 内

( x
222
22
0
a) ( y
0
b) r


② M 在圆 C 上 （x
0
a)
2
( y
0
b) r


③ M 在圆 C 外

( x
0
a)
2
( y
0
b)
2
r
2


3 、圆的一般方程：

x
2
y
2
Dx

Ey

F

0

.


当
D
2

E
2

4

F

0
时，方程表示一个圆，其中圆心

C

D
,

E

，半径
r

D
2

E
2

4 F

.


2

2


2


当
D
2
0

E
2

4

F

时，方程表示一个点


D
,

E
.



2

2


当
D
2

E
2

4

F

0
时，方程无图形（称虚圆）

.


注：（ 1 ）方程 Ax
2

Bxy

Cy
2

Dx

Ey

F

0

表示圆的充要条件是：

B

0 且 A

C

0 且
D
2
E
2

4 AF


0
.


4 、直线与圆的位置关系：

直线
Ax

By

C

0
与圆

( x

a)
2

( y

b)
2

r
2

的位置关系有
三种

（ 1）若
d
Bb C

Aa

， d r

相离

0 ；



A
2

B
2


（ 2）
d r

相切

0
；


（3） d r

相交

0。


还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组

Ax

By

C

0




x
2

y
2

求解，通过解的


Dx

Ey F

0

个数来判断：


（ 1）当方程组有

2 个公共解时（直线与圆有

2 个交点），直线与圆相交；

（ 2）当方程组有且只有 1 个公共解时（直线与圆只有

1 个交点），直线与圆相切；

（ 3）当方程组没有公共解时（直线与圆没有交点）

，直线与圆相离；


即：将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，

设它的判别式为

，圆心
C
到直线

l

的

距离为 d, 则直线与圆的


位置关系满足以下关系：


相切

d=r


＝0（ 2）相交

d
>0；


（3）相离

d>r

<0。

2、 5 两圆的位置关系


设两圆圆心分别为

O
1
，O
2
，半径分别为 r
1
， r
2
，
O
1
O
2


d
。


（ 1） d

r
1

r
2

外离

4条公切线 ；

（ 2） d

r
1

r
2

外切

3条公切线 ；

（ 3）
r
1

r
2

d

r
1
r
2

相交

2条公切线
；（

4）

d

r
1

r
2

内切

1条公切线 ；

（ 5）


0

d

r
1
r
2

内含

无公切线
；













外离

外切

相交

内切

内含





























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4 4


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