(完整版)函数的单调性知识点与题型归纳

●高考明方向
1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义．
2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质.

★备考知考情
1.函 数的单调性是函数的一个重要性质，是高考的热点，
常见问题有：求单调区间，判断函数的单调性，求参 数的
取值，利用函数单调性比较数的大小，以及解不等式等．客
观题主要考查函数的单调性，最 值的确定与简单应用．
2.题型多以选择题、填空题的形式出现，若与导数交汇
命题，则以解答题的形式出现.

一、知识梳理《名师一号》P15
注意：
研究函数单调性必须先求函数的定义域，
函数的单调区间是定义域的子集
单调区间不能并！
知识点一 函数的单调性
1.单调函数的定义
1

2.单调性、单调区间的定义

若函数f(x)在区 间D上是增函数或减函数，则称函数f(x)
在这一区间上具有(严格的)单调性，区间D叫做f(x) 的单
调区间.

注意：
1、《名师一号》P16 问题探究 问题1
关于函数单调性的定义应注意哪些问题？
(1)定义中x
1
，x
2
具有任意性，不能是规定的特定值．
(2)函数的单调区间必须是定义域的子集；
(3)定义的两种变式：
设任意x< br>1
，x
2
∈[a，b]且x
1
2
，那么
①
f(x
1
)?f(x
2
)
f(x)在[a，b] 上是增函数；
?0
?
x
1
?x
2
2

f(x
1
)?f(x
2
)
f( x)在[a，b]上是减函数．
?0
?
x
1
?x
2②(x
1
－x
2
)[f(x
1
)－f(x
2< br>)]>0?f(x)在[a，b]上是增函数；
(x
1
－x
2
)[f(x
1
)－f(x
2
)]<0?f(x)在[a，b]上是 减函数．

2、《名师一号》P16 问题探究 问题2
单调区间的表示注意哪些问题？
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；
如有多个单调区间应分别写，不能用并集符号“∪”联结，
也不能用“或”联结．

知识点二 单调性的证明方法：定义法及导数法
《名师一号》P16 高频考点 例1 规律方法
(1) 定义法:
利用定义证明函数单调性的一般步骤是：
①任取x
1
、x
2
∈D，且x
1
2
；
②作差f(x
1
)－f(x
2
)，并适当变形
(“分解因式”、配方成同号项的和等)；
③依据差式的符号确定其增减性．
(2) 导数法:
设函数y＝f(x)在某区间D内可导．如果f ′(x)>0，则
f(x)在区间D内为增函数；如果f ′(x)<0，则f(x)在区间D
内为减函数．
注意：(补充)
（1）若使得f ′(x)=0的x的值只有有限个，
3

则如果f ′(x)
?0
，则f(x)在区间D内为增函数；
如果f ′(x)
?0
，则f(x)在区间D内为减函数．
（2）单调性的判断方法：
《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法
定义法及导数法、图象法、
复合函数的单调性(同增异减)、
用已知函数的单调性等

(补充)单调性的有关结论
1．若f(x)，g(x)均为增(减)函数，
则f(x)＋g(x)仍为增(减)函数．
2．若f(x)为增(减)函数，
则－f(x)为减(增)函数，如果同时有f(x)>0，
则
1
为减(增) 函数，
f
?
x
?
f
?
x
?
为增( 减)函数．
3．互为反函数的两个函数有相同的单调性．
4．y＝f[g(x)]是定义在M上的函数，
若f(x)与g(x)的单调性相同，
则其复合函数f[g(x)]为增函数；
若f(x)、g(x)的单调性相反，
则其复合函数f[g(x)]为减函数．
简称”同增异减”
5. 奇函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相同；
偶函数在关于原点对称的两个区间上的单调性相反．
4

函数单调性的应用
《名师一号》P17 特色专题
(1)求某些函数的值域或最值．
(2)比较函数值或自变量值的大小．
(3)解、证不等式．
(4)求参数的取值范围或值．
(5)作函数图象．

二、例题分析：
（一)

函数单调性的判断与证明
例1.（1）《名师一号》P16 对点自测 1
判断下列说法是否正确
(1)函数f(x)＝2x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．( )
1
(2)函数f(x)＝
x
在其定义域上是减函数．( )
(3 )已知f(x)＝x，g(x)＝－2x，则y＝f(x)－g(x)在定义域
上是增函数．( )





答案： √ × √

例1.（2）《名师一号》P16 高频考点 例1（1）
5

(2014·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的
是( )
A．y＝x＋1 B．y＝(x－1)
2

C．y＝2
－
x
D．y＝log
0.5
(x＋1)




答案：A.

例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例1（2）
ax
判断函数f(x)＝在(－1，＋∞)上的单调性，并证明．
x＋1



法一：定义法
设－11
2
，
ax
1
ax2
则f(x
1
)－f(x
2
)＝－
x
1＋1x
2
＋1
ax
1
x
2
＋1－ax
2
x
1
＋1
＝
x
1
＋1x
2
＋ 1
ax
1
－x
2
＝
x
1
＋1x
2
＋1
∵－11
2
，
∴x
1< br>－x
2
<0，x
1
＋1>0，x
2
＋1>0.
6

∴当a>0时，f(x
1
)－f(x
2
)<0，
即f(x
1
)2
)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递增．
同理当a<0时，f(x
1
)－f(x
2
)>0，
即f(x
1
)>f(x
2
)，
∴函数y＝f(x)在(－1，＋∞)上单调递减．

法二：导数法

注意：《名师一号》P17 高频考点 例1 规律方法
1.判断函数的单调性应先求定义域；
2.用定义法判断(或证明)函数单调性的一般步骤为：
取值—作差—变形—判号—定论，
其中变形为关键，而变形的方法有因式分解、配方法等；
3.用导数判断函数的单调性简单快捷，应引起足够的重视


（二）求复合函数、分段函数的单调性区间
例1.《名师一号》P16 高频考点 例2（1）
求函数y＝x－|1－x|的单调增区间；


?
1，x≥1，
y＝x－|1－x|＝
?

2x－1，x<1.
?
作出该函数的图象如图所示．

7

由图象可知，该函数的单调增区间是(－∞，1]．

例2.（1）《名师一号》P16 高频考点 例2（2）
求函数y＝log1 (x
2
－4x＋3)的单调区间．
3




解析:令u＝x
2
－4x＋3，
原函数可以看作y＝log1 u与u＝x
2
－4x＋3的复合函数．
3
令u＝x
2
－4x＋3>0.则x<1或x>3.
∴函数y＝log1 (x
2
－4x＋3)的定义域为
3
(－∞，1)∪(3，＋∞)．
又u＝x
2
－4x＋3的图象的对称轴为x＝2，且开口向上，
∴u＝x
2
－4x＋3在(－∞，1)上是减函数，
在(3，＋∞)上是增函数．
而函数y＝log1 u在(0，＋∞)上是减函数，
3
8

∴y＝log1 (x
2
－4x＋3)的单调递减区间为(3，＋∞)，
3
单调递增区间为(－∞，1)．


注意：《名师一号》P17 高频考点 例2 规律方法
求函数的单调区间的常用方法
(1)利用已知函数的单调性，
即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间．
(2)定义法：先求定义域，再利用单调性定义．
(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的
图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间．
(4)导数法：利用导数的正负确定函数的单调区间．
例2.（2）(补充)
y?< br>?
log
1
x
?
?4log
1
x

?
?
?
?
2
22



答案：增区间：
?
,??
?
；减区间：
?
0,
?< br>

练习:
y?
?
log
2
x
?< br>?log
2
x

答案：增区间：

2
?1
?
4
?
?
?
?
1
?
4?
?
2,??
；减区间：
0,2

9
?
??

（三）利用单调性解（证）不等式及比较大小
例1.（1）《名师一号》P17 特色专题 典例(1)
1
已知函数f(x)＝ log
2
x＋，若x
1
∈(1,2)，x
2
∈(2，＋∞) ，
1－x
则( )
A．f(x
1
)<0，f(x
2
)<0 B．f(x
1
)<0，f(x
2
)>0
C．f(x
1
)>0，f(x
2
)<0 D．f(x
1
)>0，f(x
2
)>0




1
【规范解答】 ∵函数f(x)＝log
2
x＋在(1，＋∞) 上为
1－x
增函数，且f(2)＝0，
∴当x
1
∈(1,2)时，f(x
1
)当x
2
∈(2，＋∞)时，f(x
2
)>f(2)＝0，
即f(x
1
)<0，f(x
2
)>0.


例1.（2）《名师一号》P17 特色专题 典例(2)
?
x
2
－4x＋3，x≤0，
已知函数f(x)＝
?
则不等式
2
－2x ＋3，x>0，－x
?
f(a
2
－4)>f(3a)的解集为( )
A．(2,6) B．(－1,4) C．(1,4) D．(－3,5)



10

【规范解答】作出函数f(x)的图象，
如图所示，则函数f(x)在R上是
单调递减的．由f(a
2
－4)>f(3a)，
可得a
2
－4<3a，整理得a
2
－3a－4<0，
即(a＋1)(a－4)<0，解得－1所以不等式的解集为(－1,4)．
注意:本例分段函数的单调区间可以并!

（四）已知单调性求参数的值或取值范围

例1.(1)《名师一号》P17 特色专题 典例(3)
?
?
a?2
?
x,x?2
?
已知函数
f
?
x
?
?
?
?
1
?
x
满足对任意的实数
?
??
?1,x?2
?
?2
?
f(x
1
)?f(x
2
)
x
1< br>≠x
2
，都有
?0
成立，则实数a的取值范
x
1?x
2
围为( )
13
???
13
?
A．(－∞，2) B.
?
－∞，
8
?
C．(－∞，2] D.
?
8
，2
?

????


11

【规范解答】函数f(x)是R上的减函数，
a－2<0，
?
?
13
于是有
?
由此解得a≤，
?
1
?
2
8
2≤
?
2
?
－1，
?
?
a－2×
??
13
??
即实数a的取值 范围是
?
－∞，
8
?
.
??

例2.(1) （补充）如果函数f(x)＝ax
2
＋2x－3在区间
(－∞，4)上单调递增，则实数a的取值范围是________．




1
[答案] [－，0]
4
[解析] (1)当a＝0时，f(x)＝2x－3，在定义域R上单调
递增，故在(－∞，4)上单调递增；
1
(2)当a≠0时，二次函数f(x)的对称轴为直线x＝－
a
，
1
因为f(x)在(－∞，4)上单调递增，所以a<0，且－
a
≥4，解
12

11
得－
≤a<0.综上所述－≤a≤0.
44


例2.(2) （补充）若f(x)＝x
3
－6 ax的单调递减区间是(－2,2)，
则a的取值范围是( )
A．(－∞，0] B．[－2,2] C．{2} D．[2，＋∞)




[答案] C
[解析] f ′(x)＝3x
2
－6a，
若a≤0，则f ′(x)≥0，∴f(x)单调增，排除A；
若a>0，则由f ′(x)＝0得x＝±2a，当x<－2a和x>2a
时，f ′(x)>0，f(x)单调增，当－2a∴f(x)的单调减区间为(－2a，2a)，从而2a＝2，
∴a＝2.


变式：若f(x)＝x
3
－6ax在区间(－2,2)单调递减，
则a的取值范围是？


13

[点评] f(x)的单调递减区间是(－2,2)
和f(x)在(－2，2)上单调递减是不同的，应加以区分．
本例亦可用x＝±2是方程f ′(x)＝3x
2
－6a＝0的两根
解得a＝2.

例2.(3) （补充）
3
f(x)?log(x?ax)在(?3,?2)
上单调递减，

1
若函数
2
则实数
a
的取值范围是

（

）

A
．
[9
，
12] B
．
[4
，
12] C
．
[4
，
27] D
．
[9
，
27]





答案：A
温故知新P23 第9题
若函数
f
?
x
?
?log
1
x?ax?3a
在区间
2
2
??
?
2,??
?
上单调递减，则实数
a
的取值范围是
《计时双基练》P217 基础7

《计时双基练》P217 基础8、10


14

8、设函数
f
?
x?
?
ax?1
在区间
?
?2,??
?
上是增函 数,
x?2a
那么
a
的取值范围是

答案:
?
1,??
?

10、设函数
f
?
x?
?
x
x?a
?
x?a
?

（2）若
a?0
且
f
?
x
?
在区间
?
1, ??
?
内单调递减,
求
a
的取值范围.

答案:
?
1,??
?


（五）抽象函数的单调性
例1.（补充）已知f(x)为R上的减函数，那么满足
f(|
1
x
|)A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)




答案：C
15

解析：因为f(x)为减函数，f(|
11
|)1，则|x|<1
xx
且x≠0，即x∈(－1,0)∪(0,1)．



练习：
y?f(x)
是定义在
?1,1
上的增函数，
解不等式
f(1?x)?f(1?x)



答案：
?
0,1
?

温故知新 P12 第8题
注意：
解抽象函数的不等式通常立足单调性定义
或借助图像求解


例2. 《计时双基练》P216 培优4
函数
f(x)< br>的定义域为
?
0,??
?
，且对一切
x?0,y?0

2
??
x
都有
f()?f(x)?f
?
y
?
，当
x?1
时，有
f(x)?0
。
y
（1） 求
f(1)
的值；
16

（2） 判断
f(x)
的单调性并加以证明；
（3） 若
f(4)?2
，求
f(x)
在
?
1,16
?
上的值域.

答案:单调增;
?
0,4
?

注意：有关抽象函数单调性的证明通常立足定义


练习: 《计时双基练》P218 培优4
函数
f(x)
的定义域为
?
0 ,??
?
，且对一切
x,y?R
都有
f(x)?f
?
y
?
?f(x?y)
，当
x?0
时，有
f(x)?0,f
?
1
?
??
2
3
.
(1)求证:
f(x)
在
R
上是减函数；
(2)求
f(x)
在
?
?3,3
?
上的最大值与最小值.




答案:
2;?2


课后作业
一、 计时双基练P217 基础1-10
课本P16-17变式思考1、2；


17

二、 计时双基练P217 基础11、培优1-4
课本P18对应训练1、2、3
预习 第二章 第四节 函数的奇偶性与周期性
补充：
练习1：
?
－x＋3a， x<0
函数f(x)＝
?
x
(a>0且a≠1)
a， x≥0
?
是R上的减函数，则a的取值范围是( )
112
A．(0,1) B．[，1) C．(0，] D．(0，]
333




分析：f(x)在R上为减函数，故f(x )＝a
x
(x≥0)为减函数，
可知0时的值恒大于f(x)在x≥0时的值，从而3a≥1.
解析：∵f(x)在R上单调递减，
?
?
01
∴
?
∴
≤a<1.
3
?
?
3a≥1.
答案：B


18

练习2：
?
?3－a?x－4a ?x<1?已知f(x)＝
?
是(－∞，＋∞)上
?
log
a
x ?x≥1?
的增函数，那么a的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B．(－∞，3)
3
C．[，3) D．(1,3)
5


[答案] D
[解析] 解法1：由f(x)在R上是增函数，∴f(x)在[1，
＋∞)上单增，由对数函数单调性知a>1 ①，又由f(x)在
(－∞，1)上单增，∴3－a>0，∴a<3 ②，又由于f(x)在R
上是增函数，为了满足单调区间的定义，f(x)在(－∞，1]
上的最大值3－5a要小于等于f(x )在[1，＋∞)上的最小值
3
0，才能保证单调区间的要求，∴3－5a≤0，即a≥
③，
5
由①②③可得13
解法2：令a分别等于、0、1，即可排除A、B、C，
5
故选D.
[点评] f(x)在R上是增函数，a的取值不仅要保证f(x)
在(－∞，1)上和[1， ＋∞)上都是增函数，还要保证x
1
<1，
19

x
2
≥1时，有f(x
1
)2
)．


练习3：
若函数f(x)＝2x
2
－lnx在其定义域内的一个 子区
间(k－1，k＋1)内不是单调函数，则实数k的取
．．
值范围是( )
3
A．[1，＋∞) B．[1，)
2
3
C．[1,2) D．[，2)
2


[答案] B
[解析] 因为f(x)定义域为(0，＋∞)，f ′(x)
11
＝4x－
x
，由f ′(x)＝0，得x＝
.
2
1
?
?
k－1<
2< br>据题意，
?
，
?
?
k－1≥0

20

3
解得1≤k<，选B.
2


练习4:
已知函数
y?2x?3ax?12x

(1) 若函数在
R
上是单调增函数，则
a
的取值范围
是 .

解析:若函数在
R
上是单调增函数
32
?R?
?
xf
?
(x)?0
?

因为
y
?
?6x?6ax?12
开口方向向上，
所以
??0,
即
36a?4?2?0,
即
2
?
2
?
?22?a?22
时条件成立；
< br>32
（2）已知函数
y?2x?3ax?12x
，若函数的单调递
减区 间是
?
1,2
?
，则
a
的值是 .

解析:若函数的单调递减区间是
?
1,2
?
?(1,2 )?
?
xf
?
(x)?0
?

y
?
?6x
2
?6ax?12

2
所以< br>1,2
是方程
6x?6ax?12?0
的两个实数根,由韦达
21

定理，
1?2??a,?a??3


(3)若函数 在
[2,??)
上是单调增函数，则
a
的取值范围
是 .


解析:若函数在
[2,??)
上是单调增函数
?
?
2,??
?
?
?
xf
?
(x)?0?

分类讨论：
① 当
??0,
即
36
?< br>a
2
?4?2
?
?0,
即
?22?a?22
条件成立；
?
?
??0
?
a?22或a?
② 当
?
?
?
a
?2?
?
?22
?
2
?
a? ?4
，
?
?
?
f
?
(2)?0
?
a??3
即
?3?a??22
或
a?22
条件成立；
综上，
a??3
条件成立，
a??3
为所求.






22