2010高中数学竞赛题-高中数学拟合系数
函数的定义域与值域知识点及题型总结
知识点精讲
一、函数的定义域
求解函数的定义域应注意:
(1)分式的分母不为零;
(2)偶次方根的被开方数大于或等于零:
(3)对数的真数大于零,底数大于零且不等于1;
(4)零次幂或负指数次幂的底数不为零;
(5)三角函数中的正切
y?tanx<
br>的定义域是
xx?R,
且
x?kx?
?
?
?
,k?Z
?
;
2
?
(6)已知
f
?
x<
br>?
的定义域求解
f
?
?
g
?
x
?<
br>?
?
的定义域,或已知
f
?
?
g
?
x
?
?
?
的定义域求
f
?
x
?
的
定义域,遵循两
点:①定义域是指自变量的取值范围;②在同一对应法则∫下,括号内式子的范围相同;
(7)对于实际问题中函数的定义域,还需根据实际意义再限制,从而得到实际问题函数的定义域.
二、函数的值域
求解函数值域主要有以下十种方法:
(1)观察法;(2)配方法
;(3)图像法;(4)基本不等式法,(5)换元法;(6)分离常数法;(7)判别
式法;(8)单
调性法,(9)有界性法;(10)导数法.
需要指出的是,定义域或值域的结果必须写成区间或集合的形式.
题型归纳及思路提示
题型1 函数定义域的求解
思路提示
对求函数定义域问题的思路是:
(1)先列出使式子
f
?
x
?
有意义的不等式或不等式组;
(2)解不等式组;(3)将解集写成集合或区间的形式.
二、给出函数解析式求解定义域
例2.10 函数
y?
ln
?
x?1
?
?x?3x
?4
2
的定义域为( ).
A.(-4,-1) B.(-4,1)
C.(-1,1) D.(-1,1]
分析 本题考查对数、分式根式有关的函数定义域的求解
x?1?0
?
解析
?
2
,
得
?1?x?1
,故选C
?x?3x?4?0
?
变式1
函数
y?xln
?
1?x
?
的定义域为()
A.(0,1) B[0,1) C.(0,1] D[0,1]
变式2求函数
f
?
x
?
?
三、抽象函数定义域 <
br>已知
f
?
x
?
的定义域求
f
?
?<
br>g
?
x
?
?
?
的定义域,或已知
f
?
?
g
?
x
?
?
?
的定义域求
f
?
x
?
的定义域,或已知
x?2?1
log
2?
x?1
?
的定义域.
f
?
?<
br>h
?
x
?
?
?
的定义域.
?
g<
br>?
x
?
?
?
的定义域求
f
?
解题时
注意:(1)定义域是指自变量的取值范围;(2)在同一对应法则∫的作用下括号内式子的范围相同.
例2.11 (1)已知函数
f
?
x
?
的定义域为(0,1
)求
fx
2
的定义域
(2)已知函数
fx
2
的定
义域为(2,4)求
f
?
x
?
的定义域
(3)已知函数<
br>fx
2
的定义域为(1,2)求
f
?
2x?1
?的定义域.
分析 已知函数
f
?
x
?
的定义域为D,
求函数
f
?
?
g
?
x
?
?
?的定又域
D'
,只需
D'?xg
?
x
?
?D<
br>;已知函数
??
??
??
??
f
?
?
g
?
x
?
?
?
的定义域
D'
,求函数
了
f
?
x
?
的定义域,只需
D?
?
tt?
g
?
x
?
,t?D'
?
,即求
g
?
x
?
的值域.
解析 (1)
f
?
x
?
的定义域为(0,1),即0
,所以
?1?x?1
且
x
≠0,所以
fx
2
的定
2
??
义域为<
br>?
?1,0
?
U
?
0,1
?
(2)
fx
2
的定义域为(2,4).即2
<16,故
f
?
x
?
的定义域为(4,16);
2
??
(3)因为
fx
2
的定义域为(1,2)即1<
x
<
2,所以1<
x
<4,故需1<
2x
+1<4.所以0<
x
<
故
f
?
2x?1
?
的定义域为
?
0,<
br>?
评注 定义域是对自变量而言的,如
fx
2
的定义域为(
1,2)指的是x的范围而非
x
的范围.
变式1
已知函数
f2
x
的定义域是[0,1],求
f
?
2x?1
?
的定义域.
变
式2设
f
?
x
?
?lg
??
2
3
,
2
?
?
3
?
2
?
??
2??
2?x
,则
2?x
?
x
?
f
??
?
?
2
?
?
2
?
f
??
的定义域为()
?
x
?
A(-4,0)U(0,4)
B
?
?4,?4
?
U
?
1,4
?
C.
?
?2,?1
?
U
?
1,2
?
D
?
?4,?2
?
U
?
2,4
?
三、实际问题中函数定义域的求解
例2.12 如图2-3所示,用长为1的铁丝弯成下部为
矩形上部为半圆形的框架,若半圆半径为x,求此框架
围成的面积y与x的函数式y=
f
?
x
?
,并写出其定义域.
分析
在求实际问题函数的定义域时,应注意根据实际意义再限制,从而得到实际问题函数的定义城.
D
C
A
图 2-3
B
2
1
?2x?
?
x
?
x
1?2x?
?
x
??
?
x,
于是
AD?
?
解析 由题意:
CD?
2x,CD
,因此
y?f
?
x
?
?2x?
,22
2
化简即为
y??
?
?4
2
x
2
?x.
2x?0
?
1
?
1
?
?
又根据实际应有
?
1?2x?
?
x
,得
0?x?<
br>,即所求函数的定义域为
?
0,
?
?
?2
?0
?
?2
??
?
?2
评注 求实际问题函数的定义域时
,除考虑函数的解析式有意义外、还要考虑使实际问题有意义,如本题
中要根据各种度量的存在性来确定
函数的定义域
题型2 函数定义域的应用
思路提示
对函数定义域的应用,是逆向思维问题,常常转化为恒成立问题求解,必要时对参数进行分类
讨论. <
br>例2.13若函数
f
?
x
?
?2
x
2
?2ax?a
?1
的定义域为R,则实数a的取值范围为_____.
x
2
?2ax?a
分析
函数
f
?
x
?
的定义域为R,即
2
解析
由题意知
2
2
x
2
?2ax?a
?1
≥0在R上恒成立,再利用指数函数的单调性求解
2
?1
≥0在R上恒成立,所以<
br>2
x?2ax?a
?1?2
0
,即有
x
2
?
2ax?a?0
恒成立,其等价于
△=
4a?4a?0??1?a?0
,
则实数
a
的取值范围为[―1,0]
变式1 若函数
f
?
x
?
?
1
的定义域是R,求则实数a的取值范围是()
ax
2
?4ax?3
3
??
?
C.
?
aa?
4
??
3
??
?
D.
?
a0?a?
4
??
3
?
?
4
?
A.
aa?R
B.
?
a0?a?
??
?
?
变式2
函数
y?lgax
2
?ax?1
的定义域是R,求a的取值范围.
??
变式3若函数
y?
?
a
2
?1
?
x
2
?
?
a?1
?
x?
2
的定义域为R,求实数a的取值范围.
a?1
题型3 函数值域的求解
思路提示
函数值域的求法主要有以下几种
(1)观察法:根据最基本函数值域(如
x
≥0,
a?0
及函数的图像、性质、简单的计算、推理,凭观察能直
接得到些简单的复合函数
的值域.
(2)配方法:对于形如
y?ax?bx?c
?
a?0
?
的值域问题可充分利用二次函数可配方的特点,结合二次
2
2x
函数的定义城
求出函数的值域.
(3)图像法:根据所给数学式子的特征,构造合适的几何模型.
(4)基本不等式法:注意使用基本不等式的条件,即一正、二定、三相等.
(5)换元法:
分为三角换元法与代数换元法,对于形
y?ax?b?cx?d
的值城,可通过换元将原函数<
br>转化为二次型函数.
(6)分离常数法:对某些齐次分式型的函数进行常数化处理,使函数解析式简化内便于分析.
(7)判别式法:把函数解析式化为关于x的―元二次方程,利用一元二次方程的判别式求值域
,一般地,
形如
y?Ax?B
,
a
x
2
?bx?
c
或
y?
a
x
?bx?c
d
x
?ex?f
2
2
的函数值域问题可运用判别式法(注意x的取值
范围必须为实数集R).
(8) 单调性法:先确定函数在定义域(或它的子集)内的单调性,再求出值域.对于形如
y
?ax?b?cx?d
或
y?ax?b?cx?d
的函数,当ac>0时可利用单调性
法.
(9)有界性法:充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性,求出值域.因为常出现反解出y
的表达式
的过程,故又常称此为反解有界性法.
(10)
导数法:先利用导数求出函数的极大值和极小值,再确定最大(小)值,从而求出函数的值域.
一
观察法
例 2.14 求函数
y?x?1
的值域.
分析
由观察法直接得到函数的值域.
解析
因为
x?0
,所以函数的值域为
[1,??)
.
变式1
函数
y?
x
(x?R)
的值域是 .
x
?1
2
2
变式2 函数
y?
二 配方法
|x|
(x?R)
的值域是 .
|x|?1
例 2.15
求函数
y?5?4x?
x
2
的值域.
分析
对于根式中的二次函数,利用配方法求解.
解析
由
5?4x?
x
2
?0
,得
x?[?1,5]
.
2
y??(x
2
?4x?4)?9??
?
x?2
?
?9?[0,3]
.
变式1
求函数
f(x)?
1
的值域.
1?x(1?x)
变式2
求
f(x)?3?x?5?x
的值域.
变式3 设函数
f(x)?a<
br>x
?bx?c(a?0)
的定义域为D,若所有点
(s,f(t)),(s,t
?D)
构成一个正方
2
形区域,则a的值为( ).
A -2
B -4 C -8 D 不能确定
三
图像法(数形结合)
例 2.16
求函数
y?x
2
?2x?2?x
2
?2x?2
的值域.
分析 由函数表达式易联想到两点间距离公式,可将其转化为动点与两定点的距离之和.
解析 如图2-4所示,
y?
(x?1)
2
?
1
?
2
(x?1)
2
?
1
,所示动点P(x,1)到两定点
A(-1,0)和B
2
(1,0)的距离之和,作点B(1,0)关于直线y=
1的对称点
B(1,2)
,连接
B?A交y=1于点P?(0,1),此时AB?的
长即为PA与PB的长之和的最小值,点P?(0,1)到A,B两点的距
离之和为
22
,故函数的值域为[
22
,+∞﹚.
,
B’
P(x,1)
A’
B’
A O
B
A’’
图2-4
P
评注 本题中也可看着动点P(x,0)与两定点A?(-1,1),B?(1,1)的距离
之和,同理利用数形结合思想,
'''
|PA?|+|PB?|
?|AB|?22,则|PA?|+|PB?|的最小值为
22
.
变式1
求函数y=|x+1|+|x-2|的值域.
变式2
函数
f(x)?
sinx?1
(0?x?2
?
)
的值域是(
).
3?2cosx?2sinx
A
?
?
?
?
2
?
,0
?
B
?
?1,0
?
C
?
?2,0
?
D
?
?3,0
?
????
2
?
变式3
函数
f(x)?
1?
x
?2
2x?3
2
的值域是(
).
A
?
?
6?213?21
?
?
6?
216?21
?
,
,
B
??
?
5
?
5
?
?
5
?
5
??6?21
?
?
?2,
?
5
??
?
6?21
?
,2
?
D C
?
5
??
四 基本不等式法
x
2
?4x?5
例2.17
已知x>2,求函数
f(x)?
的值域.
2x?4
解析
令
t?2x?4?(0,??)
,则
x?
2
t?4
, 2
t?4
?
t?4
?
2
?4??5
??
t1
t?4t1
t1
22
?
y?
?
????2??1
(当且仅当
?
,即t=2,x=3时取等号).故函
4t
t4t4t
4t
数
f
?
x
?
的值域为
[
1,??)
.
变式1
求函数
y?x?
1
的值域.
x?1
xx
五、换元法(代数换元与三角换元)
【例2.18】求函数
f(x)?3?4?2?3,x?[?1,2]
的值域.
2
解析 令
t?2,x?[?1,2]
,则
t?[,4]
,得
y?3t?t?3,t?[,4]
.因为函数
y?3t?t?3
的对称轴
x2
1
2
1
2
t?
111313
,所以函数在区间
[,4]
上单调递增,所以值域为
[,47]
.故函数<
br>f(x)
的值域为
[,47]
.
6244
变式1:求函数
y?x?2?x
的值域.
变式2:求函数
y?x?2?x
2
的值域.
六、分离常数法
2e
x
?1
【例2.19】求
y?
x
的值域.
e?2
分析
本例中的函数是关于
e
的齐次分式,故可以考虑使用分离常数法加以求解.
x
2e
x
?12e
x
?4?33
33
x
??2?<
br>e?0
0??
解析 由题意得
y?
x
,因为,所以.
xx
x
e?1e?2e?2
e?22
?
1
3313
??
x
?0,?2?
x
?2
,故值域为
(,2)
.
2
2e?22e?2
变式1:求函数
y
3x?5
的值域.
x?1
x
2
?5
x?6
变式2:求函数
y?
2
的值域.
x?x?6
七、判别式法
x
2
?x?1
【例2.20】求函数y?
2
的值域.
x?x?1
解析 因为
x?
x?1?(x?)?
22
2
1
2
2
3
?0
恒成立,所以函数的定义域为R.
4
2
原式可化为
y(x?x?1)?x?
x?1
.整理得
(y?1)x?(y?1)x?y?1?0
.若
y?1
,即
2x?0
,即
1
x?0
;若
y?1
,因为<
br>x?R
,即有
??0
,所以
(y?1)
2
?4(y?
1)
2
?0
,解得
?y?3
且
y?1
.综上所3
1
述,函数的值域为
[,3]
.
3
变式1:已知函数
f(x)?
ax?b
的值域为
[?1,4]
,求
a,b
的值.
x
2
?1
mx
2
?8x?n
变式2:已知函数
f
(x)?log
3
的定义域为R,值域为
[0,2]
,求
m,n的值.
2
x?1
八、单调性法
【例2.21】求函数
y?x?1?x?1
的值域.
x?1?x?1
在区间
[1,??)
上单调递增.当
x?1
时,解析 由函数的定义域为
[1,??)
,且函数
y?
y?2
,所以函数的值域为
[2
,??)
.
变式1:求函数
y?
变式2:函数
f(x)?
变式3:求函数
y?
变式4:求函数
y?
x?1?x?1
的值域.
x?5?24?3x
的值域是_______________.
x
2
?2x?5?x
2
?2x?2
的值域.
x
2
?2x?5?x
2
?2x?2
的值域.
九、有界性法
2x
2
(x?R)
的值域. 【例2.22】求函数
y?
2
x?2
2x
2
?yx
2
?2y?2x
2
?
(y?2)x
2
??2y
,即有解析 解法一(有界性法):由题意可得
y
?
2
x?2
x
2
?
?2y?2y
2
2?0
,可得
0?y?2
,因此所求函数的值域为
[0,2)
.
,由
x?R
,可知
x?0
,故
x?
y?2y?2
2
(x
2
?2)?44
4
2
?2?
x?2?2
解法二
(分离常数法):
y?
,由,可知,故
0??2
,
x?R
x
2
?2x
2
?2
x
2
?2
因此函数的值域
为
[0,2)
.
2e
x
(x?[0,1])
,求函数的值域.
变式1:已知函数
y?
x
e?2
变式2:已知函数f(x)?e?1,g(x)??x?4x?3
,若有
f(a)?f(b)
,则<
br>b
的取值范围为( )
x2
A.[2?2,2?2]
B.(2?2,2?2)
C.[1,3]
D.(1,3)
【例2.23】已知
0?x?
?
,求函数
y?
2?cosx
的值域.
sinx
解析
由
ysinx?2?cosx
,得
ysinx?cosx?2
?y
2
?1sin(x?
?
)?2
,且
tan
?
?
1
,故
y
sin(x?
?
)?
2
y?1
2
?1
.得
y?3
或
y??3
.又
x?(0,?
),sinx?0
,
2?cosx?0
,则
y?0
.
故
y?3
.因此函数的值域为
[3,??)
.
评注 本题也可以
用数形结合思想求解,设
u??sinx,v?cosx
,则
y
的几何意义为
点
(0,2)
与点
(u,v)
所
确定直线的斜率,其中
(u
,v)
为单位圆在
y
轴左侧部分.
变式1:已知
x?[0,2
?
)
,求函数
y?
1?sinx
的值域.
2?cosx
十、导数法
【例2.24】求函数
f(x)?12x?x(x?[?3,3])
的值域.
解析 由
f'(x)?12?3x?0
,得
x
1
??2,
x
2
?2
.由表
2?1
看出,
f(x)
的最大值<
br>2
3
f(x)
max
?max{f(?3),f(2)}?16,f(
x)
的最小值
f(x)
min
?min{f(?2),f(3)}??16<
br>,故
f(x)
的值域
为
[?16,16]
.
表2-
1
x?3
f
?
(x)
f(x)?9
?
?3,?2<
br>?
?
]
?2
0
极小值
?
?2,2
?
?
Z
2
0
极大值
?
2,3
?
?<
br>]
3
9
评注
对于三次函数以及复杂的函数求值域一般都用导数法求解,此类解法在第三章导数中有更为系统的
介绍.
变式1:若函数
y?x?bx?cx
在区间
(??,0]
及
[2,??)
上都是增函数,而在
(0,2)
上是减函数,求此函
数在
[?1,4]
上的值域.
32
最有效训练题
1.已知
a?R
,则下列函数中定义域和值域都可能是R的是( )
A.y?x?a
B.y?ax?1
C.y?ax?x?1
D.y?x?ax?1
2.若
函数
f(x)?
2222
x?4
mx?4mx?3
2
的定义
域为R,则实数
m
的取值范围是( )
A.R
B.(0,)
C.(,??)
D.[0,)
3.定义域为R是函数
y?f(x)
的值域为
[a,b]
,则函数
y?f(x?a)
的值域是( )
A.[2a,a?b]
B.[0,b?a]
C.[a,b]
[?a,a?b]
4.函数
y?16?4
x
的值域是( )
A.[0,??)
B.[0,4]
C.[0,4)
D.(0,4)
3
4
3
4
3
4
?
g(x)?x?4(x?g(x))<
br>5.设函数
g(x)?x?2(x?R)
,
f(x)?
?
,则
f(x)
的值域是( )
g(x)?x(x?g(x))
?
2
A.[?
999
,0]?(1,??)
B.[0,??)
C.[?,??)
D.[?,0]?(2,??)
444
6.对任意两实数
a,b<
br>,定义运算“*”如下:
a*b?
?
为( )
?
a(若a?b)
,函数
f(x)?log
1
(3x?2)*log
2
x
的值域
b(若a?b)
?
2
A.(??,0)
B.(0,??)
C.(??,0]
D.[0,??)
7.函数
y?
8.函数
y?
x?1?lg(2?x)
的定义域是_________
_______.
cosx?1
,x?[0,
?
]
的值域为___
_____________.
sinx?2
9.若函数
y?f(x)
的值
域为
[1,3]
,则函数
F(x)?1?2f(x?3)
的值域是_____
_______.
10.已知函数
f(x0?x?3x?4
,定义域为
[0
,m]
,值域为
[?
_________________.
11.求下列函数的定义域.
(1)
y?
2
25
,?4]
,则
m
的取值范围是
4
1
?x
2
?1;
2?|x|
x
2
(2)
y??(5x?4)
0
;
lg(4x?3)
(3)
y?25?x
2
?lgcosx
;
2
(4)
y?log
0.5
(4x?3x)
;
(5)
y?
1
1?e
x
;
(6)
f(x
)?
lg(x
2
?2x)
9?x
2
;
2
(7)已知函数
f(x)
的定义域是
[?2,4]
,求
f(x?3x
)
的定义域;
(8)已知函数
f(x?1)
的定义域为
[?2,3
]
,求
f(2x?2)
的定义域.
2
12.求下列函数的值域.
(1)
y?2x?4x?1(0?x?3)
;
2
1?2
x
(2)
y?
;
1?2
x
(3)
y?4?3?2x?x
2
;
(4)
y?2x?1?2x
;
(5)
y?x?1?x
2
;
sinx
;
2?s
inx
1
(7)
y?log
0.5
(x??1)(x?1)
;
x?1
(6)
y?
x
2
?x?3
(8)
y?
2
.
x?x?1