高中数学 讲义

高中函数部分附高中必修一到四
点
直线，切线
直线与方程
标准圆，圆与圆
圆与方程，曲线与方程 xy=+ k, - k
一次函数 函数 二次函数
对称轴
求根
不等式，方程组
三角函数，二倍角
、
曲线与方程
在直角坐 标系中，如果某曲线C（看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；

（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。

那么，这个方程叫做曲线的方程，这条曲线叫做方程的曲线。

求曲线的方程

必修一
一、集合
一、集合有关概念
1.集合的含义
2.集合的中元素的三个特性：
(1)元素的确定性如：世界上最高的山
(2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y}
(3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合
3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度
洋,北冰洋}
?用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5}
?集合的表示方法：列举法与描述法。
? 注意：常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集） 记作：N

正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R
1）列举法：{a,b,c……}
2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集
合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}
3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形}
4）Venn图:
4、集合的分类：
(1)有限集 含有有限个元素的集合
(2)无限集 含有无限个元素的集合
(3)空集 不含任何元素的集合 例：{x|x
2
=－5｝
二、集合间的基本关系
1.“包含”关系—子集
注意：
A?B
有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是同一集合。
?
B或B
?
?
A 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A
?
2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x|x
2
-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等”
即：① 任何一个集合是它本身的子集。A?A
②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集，记作
AB(或BA)
③如果 A?B, B?C ,那么 A?C
④ 如果A?B 同时 B?A 那么A=B
3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为
Φ

规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。
? 有n个元素的集合，含有2
n
个子集，2
n-1
个真子集
二、函数
1、函数定义域、值域求法综合
2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略
3、恒成立问题的求解策略
4、反函数的几种题型及方法
5、二次函数根的问题——一题多解
&指数函数y=a^x
a^a*a^b=a^a+b(a>0,a、b属于Q)
(a^a)^b=a^ab(a>0,a、b属于Q)
(ab)^a=a^a*b^a(a>0,a、b属于Q)
指数函数对称规律：
1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称
2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称
3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称
&对数函数y=loga^x 如果
a?0
，且
a?1
，
M?0
，
N?0，那么：
1

log
a
(M
·
N)?
log
a
M
＋
log
a
N
； ○
M
2

log
a
?
log
a
M
－
log
a
N
； ○
N
3

log
a
M
n
?n
log
a
M

(n?R)
． ○
注意：换底公式

log
a
b?
log
c
b
（a?0
，且
a?1
；
c?0
，且
c?1
；b?0
）．
log
c
a
幂函数y=x^a(a属于R) 1、幂函数定义：一般地，形如
y?x
?
(a?R)
的函数称为幂函数， 其中
?
为常数．
2、幂函数性质归纳．
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义并且图象都过点（1，1）；
（2）幂函数的图 象通过原点，并且在区间
[0,??)
上是增函数．特
?
?0
时，< br>别地，当
?
?1
时，幂函数的图象下凸；当
0?
?
? 1
时，幂函数的图象上
凸；
（3）
?
?0
时，幂函数的图 象在区间
(0,??)
上是减函数．在第一象限内，
当
x
从右边趋向 原点时，图象在
y
轴右方无限地逼近
y
轴正半轴，当
x
趋< br>于
??
时，图象在
x
轴上方无限地逼近
x
轴正半轴．
方程的根与函数的零点
1、函数零点的概念：对于函数
y?f(x)(x?D)，把使
f(x)?0
成立的实
数
x
叫做函数
y?f(x )(x?D)
的零点。
2、函数零点的意义：函数
y?f(x)
的零点就是 方程
f(x)?0
实数根，亦
即函数
y?f(x)
的图象与
x
轴交点的横坐标。
即：方程
f(x)?0
有实数根
?
函 数
y?f(x)
的图象与
x
轴有交点
?
函数
y?f (x)
有零点．
3、函数零点的求法：
1 （代数法）求方程
f(x)?0
的实数根；
○
2 （几何法）对于不能用求 根公式的方程，可以将它与函数
y?f(x)
的
○
图象联系起来，并利用函数 的性质找出零点．
4、二次函数的零点：
二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
．
（1）△＞ ０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两不等实根，二次函数的图象与
x
轴
有两个交点，二次函数有两个零点．
（2）△＝０，方程
ax
2
?bx?c?0
有两相等实根，二次函数的图象与
x
轴
有一个交点， 二次函数有一个二重零点或二阶零点．
（3）△＜０，方程
ax
2
?bx? c?0
无实根，二次函数的图象与
x
轴无交点，二次函数无零点．
三、平面向量
向量：既有大小，又有方向的量．
数量：只有大小，没有方向的量．
有向线段的三要素：起点、方向、长度．
零向量：长度为
0
的向量．
单位向量：长度等于
1
个单位的向量．
相等向量：长度相等且方向相同的向量
&向量的运算
加法运算
AB＋BC＝AC，这种计算法则叫做向量加法的三角形法则。
已知两个从同一点O出发的两 个向量OA、OB，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则以O为起点
的对角线OC就是向量O A、OB的和，这种计算法则叫做向量加法的平行四边形法则。
对于零向量和任意向量a，有：0＋a＝a＋0＝a。
|a＋b|≤|a|＋|b|。

向量的加法满足所有的加法运算定律。

减法运算
与a长 度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，－(－a)＝a，零向量的相反向量仍然是零向
量。
（1）a＋(－a)＝(－a)＋a＝0（2）a－b＝a＋(－b)。

数乘运算
实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，|λa|＝|λ||a|，当λ > 0
时，λa的方向和a的方向相同，当λ < 0时，λa的方向和a的方向相反，当λ = 0时，λa = 0。
设λ、μ是实数，那么：（1）(λμ)a = λ(μa)（2）(λ μ)a = λa μa（3）λ(a ± b) = λ
a ± λb（4）(－λ)a =－(λa) = λ(－a)。

向量的加法运算、减法运算、数乘运算统称线性运算。

向量的数量积
已知两个非零向量a、b，那么|a||b|cos θ叫做a与b的数量积或内积，记作a?b，θ是a与b
的夹角，|a|cos θ（|b|cos θ）叫做向量a在b方向上（b在a方向上）的投影。零向量与任意
向量的数量积为0。
a?b的几何意义：数量积a?b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积。
两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和。
四、三角函数
1、善于用“1“巧解题
2、三角问题的非三角化解题策略
3、三角函数有界性求最值解题方法
4、三角函数向量综合题例析
5、三角函数中的数学思想方法
15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

函
性
质



数








图

象
定
义

域
值

域
当
x?2k
?
?
最
值
?
2
?< br>k??
?
当
x?2k
?
?
k??
?
时，
y
max
?1
；当
x?2k
?
?
?
时，
y
max
?1
；当
x?2k
?< br>?
?
2

?
k??
?
时，
y
min
??1
．
既无最大值也无最小
值
?
k??
?
时，
y
min
??1
．

周

期
性
奇
偶
性

奇函数 偶函数

奇函数
在
?
2k
?
?
?
,2k
?
?
?
k??
?
??
??
在
?
2k
?
?,2k
?
?
?

??
??
22
??
单上是增函数；在
在
?
k
?
?,k
?
?
?

22
??
调
k??
?
上是增函数；在
?
2k
?
,2k
?
?
?
?

?
性
?
k??
?
上是增函数．
?
k??
?
上是减函数．
?
k??
?
上是减函数．
对称中心对称中心
?
? ?
对
?
k
?
,0
??
k??
?

k
?
?,0
?
?
k??
?

?
称
2
??
对称轴
性
?
对称轴
x?k
?
?
k??
?

x?k
?
?
?
k??
?

2
对称 中心
?
k
?
?
,0
?
?
k??
?

?
?
2
?
无对称轴
必修四
角
?
的顶点与原点重合，角的始边与
x
轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称< br>?
为第几象限
角．
??
第二象限角的集合为
?
?< br>k?360?90?k?360?180,k??
?

第三象限角的集合为?
?
k?360?180?
?
?k?360?270,k??
?

第四象限角的集合为
?
?
k?360?270?
?
?k?360?360,k??
?

终边在
x
轴上的角的集合为< br>?
??
?k?180,k??
?

终边在
y
轴上的角的集合为
?
??
?k?180?90,k??
?

终边在坐标轴上的角的集合为
?
??
?k?90,k??
?

3、与角
?
终边相同的角的集合为
?
??
?k?360?< br>?
,k??
?

第一象限角的集合为
?
k?360< br>o
?
?
?k?360
o
?90
o
,k??< br>
oooo
oooo
oooo
o
oo
o
o< br>4、已知
?
是第几象限角，确定
?
n??
?
所在象限 的方法：先把各象限均分
n
等份，再从
x
轴的正
?
n
*
半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则
?
原来是第几象限对应的标 号即为
所落在的区域．
5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做
1
弧度．
口诀：奇变偶不变，符号看象限．
公式一：
设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
sin（2kπ＋α）＝sinα
?
终边
n

cos（2kπ＋α）＝cosα
tan（2kπ＋α）＝tanα
cot（2kπ＋α）＝cotα
公式二：
设α为任意角，π α的三角函数值与α的三角函数值之间的关系：
sin（π＋α）＝－sinα
cos（π＋α）＝－cosα
tan（π＋α）＝tanα
cot（π＋α）＝cotα

公式三：
任意角α与 -α的三角函数值之间的关系：
sin（－α）＝－sinα
cos（－α）＝cosα
tan（－α）＝－tanα
cot（－α）＝－cotα

公式四：
利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π－α）＝sinα
cos（π－α）＝－cosα
tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα

公式五：
利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的关系：
sin（2π－α）＝－sinα
cos（2π－α）＝cosα
tan（2π－α）＝－tanα
cot（2π－α）＝－cotα

公式六：
π2±α及3π2±α与α的三角函数值之间的关系：
sin（π2＋α）＝cosα
cos（π2＋α）＝－sinα
tan（π2＋α）＝－cotα
cot（π2＋α）＝－tanα

sin（π2－α）＝cosα
cos（π2－α）＝sinα
tan（π2－α）＝cotα
cot（π2－α）＝tanα

sin（3π2＋α）＝－cosα
cos（3π2＋α）＝sinα
tan（3π2＋α）＝－cotα
cot（3π2＋α）＝－tanα

sin（3π2－α）＝－cosα
cos（3π2－α）＝－sinα
tan（3π2－α）＝cotα
cot（3π2－α）＝tanα

(以上k∈Z)


其他三角函数知识：
同角三角函数基本关系

⒈同角三角函数的基本关系式
倒数关系:
tanα ?cotα＝1
sinα ?cscα＝1
cosα ?secα＝1
商的关系：
sinαcosα＝tanα＝secαcscα
cosαsinα＝cotα＝cscαsecα
平方关系：
sin^2(α)＋cos^2(α)＝1
1＋tan^2(α)＝sec^2(α)
1＋cot^2(α)＝csc^2(α)


两角和差公式
⒉两角和与差的三角函数公式
sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ
sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ
cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ
cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ

tanα＋tanβ
tan（α＋β）＝——————
1－tanα ?tanβ

tanα－tanβ
tan（α－β）＝——————
1＋tanα ?tanβ


倍角公式

⒊二倍角的正弦、余弦和正切公式（升幂缩角公式）
sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos^2(α)－sin^2(α)＝2cos^2(α)－1＝1－2sin^2(α)

2tanα

tan2α＝—————
1－tan^2(α)


半角公式

⒋半角的正弦、余弦和正切公式（降幂扩角公式）

1－cosα
sin^2(α2)＝—————
2

1＋cosα
cos^2(α2)＝—————
2

1－cosα
tan^2(α2)＝—————
1＋cosα


万能公式

⒌万能公式
2tan(α2)
sinα＝——————
1＋tan^2(α2)

1－tan^2(α2)
cosα＝——————
1＋tan^2(α2)

2tan(α2)
tanα＝——————
1－tan^2(α2)


和差化积公式

⒎三角函数的和差化积公式

α＋β α－β
sinα＋sinβ＝2sin—----?cos—---
2 2

α＋β α－β
sinα－sinβ＝2cos—----?sin—----
2 2

α＋β α－β
cosα＋cosβ＝2cos—-----?cos—-----
2 2

α＋β α－β
cosα－cosβ＝－2sin—-----?sin—-----
2 2

积化和差公式

⒏三角函数的积化和差公式
sinα ?cosβ＝0.5[sin（α＋β）＋sin（α－β）]
cosα ?sinβ＝0.5[sin（α＋β）－sin（α－β）]
cosα ?cosβ＝0.5[cos（α＋β）＋cos（α－β）]
sinα ?sinβ＝－ 0.5[cos（α＋β）－cos（α－β）]