高中数学群论-高中数学学科素养 评价研修班书面总结
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高一数学：集合讲义
一、集合及其基本概念
1、若干个（有限个或无限个）确定对象的全体，可以看作一个集合。
集合的元素特征：确定性；互异性；无序性。
注意：集合｛0｝与空集
?<
br>的区别：前者是含有一个元素“0”的集合，后者是不含元素的集合。
例1：下列各项中不能组成集合的是
（A）所有正三角形 （B）《数学》教材中所有的习题
（C）所有数学难题
（D）所有无理数
2、元素与集合的关系
一个集合
A
与一个对象
a
，要么
a
是
A
中的元素，记作
a?A
（读作
a
属于
A
）；
要么
a
不是
A
中的元素，记作
a?A
（读作
a
不属于
A
）。
这个性质即为集合中元素的确定性。
在元素与集合之间，只能用
?
或
?表示，它们之间只存在这两种关系。
例2、若A={x | x=0}，则下列各式正确的是
（A）φ=A （B）φ∈A
（C）{ 0 }∈A （D）0 ∈A
3、集合的表示方法
我们用列举法与描述法表示一个集合。
列举法就是把集合中的元素一一列举出来，并写在大括号中。
描述法就是通过描述集合中所有
元素的共同特性来表示集合，一般写作
?
x|x具有某种特性
?
。
+
我们应熟练记住一些常用的数学符号：自然数集可以用
N
表示；正整数集可以用N
表示；整数集可
以用
Z
表示；有理数集可以用
Q
表示
；实数集可以用
R
表示。
例3、用列举法表示集合
?
(x,y)|
2x?y?5?0,x?N,y?N
?
____________________
例4、
解不等式
x?3?2
，并把其正整数解表示出来______________
____________.
二、集合与集合的关系
1、子集
对于两个集合
A
和
B
，如果集合
A
中任何一个元素都属于
集合
B
，那么集合
A
叫做集合
B
的子集，记作
A?
B
。任何集合都是自己的子集；空集是任何集合的子集。
2、真子集
对于两个集合
A
和
B
，如果集合
A?B
，并且
B
中至少
有一个元素不属于
A
，那么集合
A
叫做集合
B
的
真子集，记作
A
?
B
。
含有
n(n?N*)
个元素的有限集合的子集个数为
2
个，真子集个数为
2?1
个，非空 子集个数为
2?1
个，
nnn
?
非空真子集个数为
2?2< br>个。
3、相等的集合
对于两个集合
A
和
B
，若< br>A?B
且
B?A
则称集合
A
与集合
B
相等， 记作
A?B
。也就是说，集合
A
和集合
B
含有完全相同的元 素。
由定义可知，要证集合
A
与
B
相等，只需证明
A?B
且
B?A
。
n
三、集合的运算
集合的运算从文字语言、符号语言和图形语言三个角度来认识和理解。
1、交集
(1)定义 由集合
A
与集合
B
的所有公共元素组成的集合叫做< br>A
与
B
的交集，记作“
AIB
”。即
AIB?
?
x|x?A且x?B
?
(2)交集的性质
。
①
AI B?BIA
；②
AIA?A
；③
AI???
；
④
AIB?A,AIB?B
；⑤若
AIB?A
，则
A?B
；反之亦然。
例5、设集合
A?
?
x|x??2
?
，
B?
?
x|x?3
?
，则A∩B=______________________.
例6、
设集合
A?
?
(x,y)|y?2x?1
?
，
B?
?
(x,y)|y?x?3
?
，求A∩B.
2、并集
（1）定义 由所有属于集合
A
或者属于集合
B
的元素组成的集合叫做集合
A
与
B
的并集，记作“
AU B
”。
即
AUB?
?
x|x?A或x?B
?
。
（2）并集的性质
①
AUB?BUA
；②
AUA?A
；③
AU??A
；
④
A?AUB,B?AUB
；⑤若
AUB? B
，则
A?B
；反之亦然。
例7、设集合
A?
?
x|x??3或x?3
?
，
B?
?
x|x?1或x?4
?< br>，则A∪B=_____________
3、补集
（1）定义 设U
为全集，
A
是
U
的子集，则由
U
中所有不属 于集合
A
的元素组成的集合叫做集合
A
在
全集
U
中的补集，记作
C
U
A
。即
（2）补集的性质
①
C
U
A?
?
x|x?U且x?A
?
。
C
U
?
C
U
A
?
?A
；②
CuU??,Cu??U
；③
C
U
AIA??
，
C
U
AUA?U
；④若
A?B
，则
AIC
U
B??
；若
A?B
，则
BUC
U
A?U
⑤若<
br>C
U
?
AUB
?
?C
U
AIC
U<
br>B
，
C
U
?
AIB
?
?C
U
AUC
U
B
，
。
例8、设集合
A?
?
2,4,6,8,10
?
，
练习：
C
U
A?
?
1,3,5,7,9
?
C
U
B?
?
1,4,6,8,9
?
，求集合B
.
1、已知集合
P?
?
x|x
2
?1
?
，集合
Q?
?
x|ax?1
?
，若
Q?P
，求实数
a
.
n?2
??
A?
?
n?N|?N,
n?5
?
n?1
??
__________________
2、用列举法表示集合
3、用下列符号“
?,?,?,?,?
”填空：
{a,e}___{a,b,c,d,e}
61___
?
x|x?8
?
?
x|
x?3
?
____
?
x|x??1
?
{菱形}____{平行四边形}
?
x|x?2n?1,n?Z
?
?
___
?
x|x?2n?1,n?Z
?
?
4、已知集合A中有10个元素，集合B中有8个元素，集合A∩B中共有4个元素，则集合A∪B中共有<
br>（ ）个元素
（A） 14 （B） 16 （C） 18
（D）不确定
5、满足M={a，b}
?
A
?
{a,b,c,
d}，A集合的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
6、已知全集U={-
4，-3，-2，-1，0}，集合M={- 2，-1，0}，
N={-4，-3，0}，则
(C
u
M)?N?
。
7、已知集合A＝
{x|(x?2)[x?(3a?1)]?0}
，B＝
{x|
x?2a
?0}
。
x?(a
2
?1)
（1）当a＝2时，求A∩B；
（2）求使B
?
A的实数a的取值范围。
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