高中数学讲义集合.知识框架

集合
模块框架


高考要求
内容
集合的含义
集合的表示

基本要求
会使用符号“
?
”或“
?
”表示元素与集合之间的关系；
能选择自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题；
理解集合的特征性质，会用集合的特征性质描述一些集合，如常
用数集，方程或不等式的解集等
理解集合之间包含与相等的含义，及子集的概念．在具体情景中，
了解空集和全集的含义； < br>理解两个集合的交集和并集的含义，会求两个简单集合的交集与
并集．理解在给定集合中一个子集 的补集的含义，会求给定子集
的补集
集合间的基本关系
集合的基本运算

掌握有关的术语和符号，会用它们表达集合之间的关系和运算．能
使用维恩图表达集合之间的关 系和运算．

1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合。
（1）集合中的对象 称元素，若a是集合A的元素，记作
a?A
；若b不是集合A的元素，
1
知识内容

记作
b?A
；
（2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性；
确定性：设A是一个给定的集合， x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或者
不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立； < br>互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因
此，同一集合中 不应重复出现同一元素；
无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关；
（3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法；
列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内；
例如：
{1,2,3,4,5}
，
{1,2,3,4,5,L}

描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。
例如：大于
3
的所有整数表示为：
{x?Z|x?3}

方 程
x
2
?2x?5?0
的所有实数根表示为：{
x?R
|< br>x
2
?2x?5?0
}
具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元 素的一般符号及取值（或变化）范围，再
画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。
注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一
般集合中 元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。
（4）常用数集及其记法：
非负整数集（或自然数集），记作N；
正整数集，记作N
*
或N
+
；
整数集，记作Z；
有理数集，记作Q；
实数集，记作R。
<教师备案>⑴集合是数学中最原始的概念 之一，不能用其他的概念给它下定义，所以集合是
不定义的概念，只能做描述性的说明．
⑵ 构成集合的元素除了常见的数、式、点等数学对象之外，还可以是其他任何
．．
对象．
例：{小明，机器猫，哈里波特}
⑶正确认识一个集合的关键是理解集合中的元素特征． < br>①任何一个对象都能确定它是不是某一个集合的元素，这是集合中元素的最
基本的特征——确定性 ，反例：“很小的数”，“个子较高的同学”；
②集合中的任何两个元素都是不同的对象，即在同一集 合里不能重复出现相
同元素——互异性，事实告诉我们，集合中元素的互异性常被忽略，从而
导 致解题出错．例：方程
(x?1)
2
(x?2)?0
的解集不能写成
{1,1,2}
，而应写
成
{1,2}

③在同一集合里，通常不考虑元素之间的顺序——无序性
例：集合
{a,b,c}
与集合
{b,c,a}
是相同集合
⑷用描述法表示集合，对其元素的属性要准确理解．
例如：集合
?
xy?x
2
?
表示自变量
x
值的全体，即
?
xx?R
?
；集合
?
yy?x
2
?
y)y?x
2
?
表示抛物线
y?x
2
上
表示函数值
y
的全体，即
?
yy≥0
?
；集合
?
(x，
的点的全体，是点的 集合（一条抛物线）；而集合
?
y?x
2
?
则是用列举法表示
2

的单元素集．
⑸关于集合的表示方法之间的转换
6
??
12，4，，56，9
?

例如：①
A?< br>?
x?Z，x?N
?
，用列举法表示为
A?
?
0，，
?
3?x
?
?ab?
??
a，是非零实数b
02< br>?

②
A?
?
xx??，
?
，用列举法表示 为
A?
?
?2，，
ab
??
??

2．集合的包含关系：
（1）集合A的任何一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集（ 或B包含A），
记作A
?
B（或
A?B
）；
集合相等：构 成两个集合的元素完全一样。若A
?
B且B
?
A，则称A等于B，记作A=B ；
若A
?
B且A≠B，则称A是B的真子集，记作A B；

（2）简单性质：1）A
?
A；2）
?
?
A；3）若A
?
B，B
?
C，则A
?
C；4）若集合A
是n个元素的集合， 则集合A有2
n
个子集（其中2
n
－1个真子集）；
3．全集与补集：
（1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U；
（2）若S是一 个集合，A
?
S，则，
C
S
=
{x|x?S且x?A}称S中子集A的补集；
（3）简单性质：1）
C
S
(
C
S
)=A；2）
C
S
S=
?
，
C
S?
=S。
<教师备案>⑴强调说明，加深印象：
①表示元素和集合之间的关系：属于“
?
”和不属于“
?
”
②表示集合与集合之间的关系：
包含关系：如果对于任意
a?A?a?B
， 则集合
A
是集合
B
的子集，记为
A?B
或
B?A< br>；注意提示：
A?A
，
??A

真 子集关系：对于两个集合
A
与
B
，若
A?B
且
．< br>A?B
，则集合
A
是集合
B
的
真子集，
记作
A?B
（或
B?A
）
相等 关系：对于两个集合
A
与
B
，如果
A?B
，且那么集合A
与
B
相
．
B?A
，
等，记作
A?B

注意提示：如果“
A ?B
”，那么有
A?B
或
A?B
，两种情况二者必居其一；
而
A?B
是不允许
A?B< br>，所以即使
A?B
，
A?B
不一定成立；
反之，
A ?B
可以说
A?B
；
A?B
也可说
A?B

不包含关系：如果集合
A
中存在着不属于集合
B< br>的元素，那么集合
A
不包含
于
B
，
或
B< br>不包含
A
．分别记作
A赲B
，或
B?A

⑵
0
，
{0}
，
?
，
{?}
之间的区别与联 系
①
0
与
{0}
是不同的，
0
只是一个数字，而
{0}
则表示集合，这个集合中含有一
个元素
0
，它们的关系是0?{0}

3

②
?与
{0}
是不同的，
?
中没有任何元素，
{0}
则表示 含有一个元素
0
的集合，
它们的关系是两个集合之间的关系（
??
?
0
?
）
③
?
与
{?}
是不同的，
?
中没有任何元素，
{?}
则表示含有一个元素
?
的集
合，它们的关系是
??{?}
或
??{?}
或
??
?
?
?

④显然，
0??
，
0?{?}

⑶集合中的计数问题
当研究有限集合问题时，常有一些计数问题． 在计数时常用下列结论：设集
合A中元素个数为
n
，则①子集的个数为
2
n
，②真子集的个数为
2
n
?
1
，
③非空真子集的个数为
2
n
?2


4．交集与并集：
（1）一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合 ，叫做集合A与B的交
集。交集
A?B?{x|x?A且x?B}
。
（2） 一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B
的并集。
并集A ?B?{x|x?A或x?B}
。
注意：求集合的并、交、补是集合间的基本运算，运算结果 仍然还是集合，区分交集与并集
的关键是“且”与“或”，在处理有关交集与并集的问题时，常常从这两 个字眼出发去揭示、
挖掘题设条件，结合Venn图或数轴进而用集合语言表达，增强数形结合的思想方 法。
<教师备案>1．理解两个集合的并集、交集、补集的含义，会求两个简单集合的并集与交集
⑴能使用Venn图表示集合的并集、交集、补集；
⑵能使用数轴表示不等式或不等式组的解 集和表示集合
A
的补集
?
R
A

2．基础知识点拨：
⑴交集的概念：一般地，由属于集合
A
且属于集合
B
的所有元素组成的集合，
称为
A
与
B
的交集，记作
AIB
（读作“
A
交
B
”），即
A IB?{x|x?A,
且
x?B}

① 数学符号表示：
AIB?{x|x?A,
且
x?B}

② Venn图反映：

A
B
A
B
A
B
A
B

⑵并集的概念：一般地，由所有属于集合
A
或属于集合
B
的元素组成的集合，
4

称为集合
A
与
B
的并集，记作
AUB
（读作“
A
并
B
”），即
AUB?{x|x?A,
或
x?B}

① 数学符号表示：
AUB?{x|x?A,
或
x?B}

② Venn图反映：
B
A
A
B
A
⑶补集的概念：
B

全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究的问题中涉及的所 有元素，
那么就称这个集合为全集，通常记作
U

补集：对于一个集合
A
，由全集
U
中不属于集合
A
的所有元素组成的集合
称为 集合
A
相对于全集
U
的补集，记作
?
即
?
U
A
，
U
A?{x|x?U,
且
x?A}

①数学符号表示：
?
U
A?{x|x?U,
且
x?A}

②Venn图反映：
U
A
U
A


AU(?
U
A)?U
；
AI(?
U
A)??
；
痧
U
(
U
A)?A

3．公式定理小结：
⑴
A?A
；
??A
；
⑵若
A?B
，
B?C
，则
A?C
；若
A?B
，
B?C
，则
A?C
；
⑶
AIB?BIA
；
⑷
AIB?A
；
AIB?B
；
⑸
AI???
；
⑹
AUB?BUA
；
⑺
A?AUB
；
B?AUB
；
⑻
AU??A

⑼
AI(?
U
A)??
；
AU(?
U
A)?U
；
⑽
痧
U
(
U
A)?A


5

5．集合的简单性质：
（1）
A?A?A,A????,A?B?B?A;

（2）
A???A,A?B?B?A;

（3）
(A?B)?(A?B);

（4）
A?B?A?B?A;A?B?A?B?B
；
（5）
CS
（A∩B）=（
C
S
A）∪（
C
S
B），< br>C
S
（A∪B）=（
C
S
A）∩（
C
SB）。
6．
集合元素个数公式：
n(AUB)?n(A)?n(B)?n(AI B)
.



竞赛知识
1．集合的概念
集合 是一个原始的概念，是数学中一个不定义的概念．尽管如此，对于一个具体的集合
而言，很多情况下我们 可以通过采用列举或者描述的方法给出它的一个准确而清晰的表示．

2．集合的描述法
对任给的一个性质
P
，存在一个集合
S
，它由恰好是具有性质
P
的所有对象构成，即
S?{x|P(x)}
，
其中
P(x)
表示“
x
具有性质
P
”．

3．元素与集合的关系
一个集合的元素是完全确定的，同时其包含的元素之间具有无序性和互 异性．对于一个
确定的对象
x
和一个确定的集合
A
，“
x? A
”与“
x?A
”有且仅有一个成立．如果对象
x
满
足描述 集合
A
的性质，则有“
x?A
”，此时称对象
x
为集合A
的元素．
集合的元素个数为有限数的集合称为有限集，元素个数为无限的集合称为无限 集．空集
?
不含任何元素．
思考：
{?}
是不是空集，它的元素是什么？

4．集合与集合的关系
集合
A
包含于集合
B
，即“
A?B
”
?
“
?x?A
，有
x?B
．”（“?
”：任给，“
?x?A
”
即“任给集合
A
中的元素< br>x
”）；
集合
A
真包含于集合
B
，即“
A?B
”
?
“
?x?A
，有
x?B
．”且“
?x?B
，使得
x?A
．”
（“
?
”：存在，“
?x?B
”即“存在集合
B
中的元素
x
”）；
集合
A
与集合
B
相等，即“
A?B
”
?
“
A?B
”且“
B?A
”．
思考：如何利用“
?
”和“
?
”通过数学语言叙述命题“对任何自然数
a
，都存在整数
”
b
，使得
a?b
是质数．

5．集合与集合的运算
集合的交集、并集、补集三种基本运算是通过元素与集合的关系来定 义的．有时，我们
还要用到集合的差集的概念．下面给出这四种运算的定义：
交集：
AIB?{x|x?A
，且
x?B
｝，
6

并集：
AUB?{x|x?A
，或
x?B
｝， 补集：如果有
A?B
，则
A
对
B
的补集
?B
A?{x|x?B
，且
x?A
｝．（注意前提条件，如
果A?B
不成立，就
A
对
B
的补集运算就无从谈起．），当给定全 集
U
时，
?
U
A
常记做
A
．
差集：
AB?{x?A
，且
x?B
｝．
利用维恩图可以直观的理解集合与集合的运算，例如交集和并集：
A
B
A
B

思考：补集运算与差集运算的联系，画出补集和差集的维恩图表示．

6．子集以及摩根定律
如果集合
A
与集合
M
间满足关系 ：
A?M
，那么称集合
A
是集合
M
的子集．特别的，
规定空集
?
是任何集合的子集．
摩根定律：如果集合
A
、
B
都是集合
M
的子集，那么 痧
M
(AIB)?
M
AU?
M
B
，
痧
M
(AUB)?
M
AI?
M
B
．
另外 ，如果集合
A
、
B
都是集合
M
的子集，那么
AB? AI?
M
B
．

7．给定一个有限集，写出其所有子集的方法
写出给定有限集的所有子集的方法有很多种，在这里我们通过一个实际的例子介绍通过
添加给 定集合元素得到给定集合所有子集的添加元素法：
例：对给定集合
{1
，
2
，
3}
写出其所有子集．
⑴写出空集
⑵将前一步得到的所有集合照抄，然后将给定集合中第一个元素添加到那些集合< br>中，得到一些新的集合．把照抄的集合和新的集合放在一起，作为该步得到的集
合．
⑶ 与⑵类似，不过这次添加的元素为集合中的第二个元素．重复操作，直到将给定
集合的所有元素都添加完 毕，就得到了给定集合的所有子集．
???
，
{1}??
，
{1}
，
{2}
，
{1
，
2}??
，
{1}
，
{2}
，< br>{1
，
2}
?
?
，
{1}
，
{2}
，
{1
，
2}
，
{3}
，
{1
，
3}
，
{2
，
3}
，
{1
，
2< br>，
3
}
．
思考：写出集合
{1
，
?}
的所有子集．

8．有限集的阶
如果集合
A
为有限集，那么集合
A
的元 素的数目叫做这个集合的阶，记做
|A|
．特别的，
定义空集
?
的阶 为
0
．
思考：如果使用维恩图表示集合，那么可以用面积表示有限集的阶．

9．子集族
某些集合的元素是集合，例如
A?{?
，
{ 1}
，
{1
，
2}
，
{2}}
就是一个含有4个元 素（每
个元素都是集合）的集合．特别的，将集合
M
的若干子集作为元素构成的集合< br>M
*
叫做集合
M
的一个子集族．最简单的子集族是由有限集
M
的全体子集所构成的子集族，简称为
C
族．知识提要7给出的方法，其实就是得到有限 集
M
的
C
族
M
*
中所有元素的方法．
C
族的基本性质：如果集合
M
的阶为
n
，那么集合
M
的
C
族
M
*
的阶为
2
n
．
思考：通过写出给定有限集的所有子集的添加元素法的步骤理解
C
族的基本性质．

10．覆盖和集合的分划
7

覆盖：如果对于一个集 合
M
，
n
个非空集合
A
1
，
A
2
，…，
A
n
满足
U
A
i
?M
，则 称
A
1
，
i?1
n
A
2
，…，
A
n
是集合
M
的一个覆盖．
集合的分划：如果
A
1
，
A
2
，…，
A
n
是集合
M
的一 个覆盖，若
A
1
，
A
2
，…，
A
n
两两间
交集为空集，即“
?1≤i?j≤n
，
A
i
IA< br>j
??
．”，那么这些集合的全体叫做集合
M
的一个
n
-分划．
集合
M
的覆盖
A
1
，
A
2< br>，…，
A
n
构成的集合
M
*
一定是集合
M< br>的一个子集族．例如集合
A?{1,2,3,4,5}
可以写成
{1
，
2}U{2
，
4
，
5}U{3
，
4}
，记
A
1
?{1
，
2}
，
A
2
?{2
，
4
，
5}
，
A
3
?{3
，4}
．所以
A
1
，
A
2
，
A
3
是集合
A
的一个覆盖，它们所构成的集合是集合
A
的一个
子集族，但不是集合
A
的一个分划．
思考：集合
A
的子集族
{?
，
{1}
，
{2
，
3}
，
{4，
5}
｝中的元素是否构成集合
A
的一个
分划，给出集合
A
的一个5-分划．

11．分类与加法原理
分类：对于某个问题，设 所研究的对象的全体形成集合
M
，那么对集合
M
的一个
n
-
分划又叫做研究对象的全体的一个
n
-分类，其中每一个子集叫做所研究对象的一个类 ．从
集合的分划的定义，我们可以看到分类的原则：无重复（两两交集为空集）以及无遗漏（覆
盖）．
加法原理：如果
A
1
，
A
2
，…，
A
n
是有限集
M
的一个
n
-分划，那么
|M|?
?
|A
i
|
．
i?1
n
特别的，对于有 限集
M
的一个2-分划
A
，
?
M
A
，有< br>|M|?|A|?|?
M
A|
．由于补集运算对
交集和并集有摩根定律
痧
M
(AIB)?
M
AU?
M
B
以及痧
M
(AUB)?
M
AI?
M
B
，我们常用到 变
形
|
?
M
A|?|M|?|A|
．

12．容斥原理
如果
A
1
，
A
2
为集合
M
的一个覆盖，那么
|M|?|A
1
|?|A
2
| ?|A
1
IA
2
|
，考虑到集合的覆
盖的定义，我们有|A
1
UA
2
|?|A
1
|?|A
2
|?|A
1
IA
2
|
．由该公式在计算左端集合的元素个数时，右端采用了将“应该有的”包含进来，“不应该有的（或者重复的）”排斥出去的思想方法，
所以称 其为容斥原理．
思考：画出容斥原理的维恩图表示．

13．极端原理
最小数原理：设集合
M
是实数集的一个有限非空子集，则
M
中必有最小数．
推论：设集合
M
是实数集的一个有限非空子集，则
M
中必有最大数．
最小数原理以及其推论称为极端原理．


8