2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准

2017年高一数学竞赛试题参考答案及评分标准
（考试时间：5月14日上午8：30－11：00）

一、选择题（每小题6分，共36分）
x?2
??
1．已知集合
A ?
?
x?0，x?Z
?
，则集合
A
中所有元素的和为（ ）
x?3
??
A．
?1
B．0 C．2 D．3
【答案】 B
【解答】由
x?2
? 0
，得
?2?x?3
。又
x?Z
。因此
A?
??2，?1，，01，2
?
。
x?3
所以，集合
A
中所有元素的和为0。
2．已知正三棱锥A?BCD
的三条侧棱
AB
、
AC
、
AD
两两 互相垂直，若三棱锥
A?BCD
外接球的表面积为
3
?
，则三棱锥< br>A?BCD
的体积为（ ）
4211
A． B． C． D．
3369
A
【答案】 C
【解答】设
AB?AC?AD?a
，则三棱锥
A?BCD
外接球的半
径
R?
B
C
D
3
a
。
2
3
。 < br>2
由
4
?
R
2
?3
?
，得
R?
（第2题图）

11
∴
a?1
，三棱锥
A ?BCD
的体积
V?a
3
?
。
66

3 ．已知
x
为实数，若存在实数
y
，使得
2x?y?0
，且< br>xy?2x?3y
，则
x
的取值范围为（ ）
?3)?(0，??)
B．
(0，2)?(4，??)
A．
(?4，
?4)?(?3，0)
D．
(??，0)?(2，4)
C．
(??，
【答案】 C
【解答】 由
xy?2x?3y
，得
y?
∵
2x?y?0
，
∴
2x?
2xx(x?4)
?0，即
?0
，解得
x??4
或
?3?x?0
。
x?3x?3
2x

x?3
?4)?(?3，0)
。 ∴
x
的取值范围为
(??，

1

4．
m
、
n
是两条不重合的直线，
?
、
?
是两个不重合的平面，则下列命题中，正确的命
题的个数是（ ）
（1）对
m
、
n
外任意一点
P
，存在过点
P
且与
m< br>、
n
都相交的直线；
（2）若
m?
?
，
n ∥m
，
n∥
?
，则
?
?
?
；
（ 3）若
m?
?
，
n?
?
，且
?
?
?
，则
m?n
；
（4）若
m∥
?
，
n∥
?
，
m∥
?
，
n∥
?
，则
?∥
?
。
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 B
【解答】（1）不正确。如图，在正方体< br>ABCD?A
1
BC
11
D
1
中，
取
m
为直线
BD
，过点
A
的直线
l
如果与直线BD
n
为直线
AC
11
。
相交，则
l
在
面ABCD
内，此时
l
与直线
AC
11
不相交。
（2）、（3）正确。
D
1
A
1
D
A
E
F
B
（第4题图）

C
1
B
1
C
（4）不正确。如图，正方体
ABCD?A
1
BC
11
D< br>1
的面
ABCD
内取两条与
BC
平行的直线，如
图中 的直线
AD
与
EF
，则有
AD∥面BCC
1
B1
，
EF∥面BCC
1
B
1
，
AD∥面A1
B
1
C
1
D
1
，
EF∥面A
1
B
1
C
1
D
1
，但
面BCC
1
B
1
与面
A
1
B
1
C
1
D
1
相交而不平行。

5．已知函数
f(x)?(x
2
?2x)(x
2
?mx?n)
，若对任意实数
x
均有
f(?3?x)?f(?3?x)
，则
f(x)
的最小值为（ ）
A．
?16
B．
?14
C．
?12
D．
?10

【答案】 A
【解答】 依题意，
f(x)
的图像关于直线
x??3
对称。
∴
f(?6)?f(0)?0
，
f(?4)?f(?2)?0
。
?
24(36?6m?n)?0
?
m?10
于是，
?
，解得
?
。
?
8(16?4m?n)?0
?
n?24< br>m?10
，
n?24
时，
f(x)?(x
2
?2x )(x
2
?10x?24)?x(x?2)(x?4)(x?6)?(x
2
? 6x)(x
2
?6x?8)
。
22
??
(x?3)?9?8(x?3)?9
?
∴
f( x)?(x
2
?6x)
2
?8(x
2
?6x)?
?
????
，
2
2
即
f(x)?(x?3)?10(x?3 )?9?
?
?
(x?3)?5
?
?
?16
。 42
2
此时，
f(?3?x)?(x
2
?5)
2
?16
，
f(?3?x)?(x
2
?5)
2
?16
，符合题意。
∴
(x?3)
2
?5?0
，即
x?? 3?5
时，
f(x)
取最小值
?16
。



2

2
c?R
，
b
，
?
2
c?1
，6．已知
a
，若
a
2
?b
且
(a?(1)b(1)?1)c??abc
，则
a
的最小值 为（ ）
1111
A．
?
B．
?
C．
?
D．
?

6543
【答案】 D
【解答】 由
(a?1)(b?1)(c?1)?abc
，得
abc ?ab?bc?ca?a?b?c?1?abc
。
∴
ab?bc?ca?a?b?c?1
。
设
a?b?c?x
，则
ab?bc?ca?x?1
。
∵
a
2
?b
2
?c
2
?(a?b?c)
2< br>?2(ab?bc?ca)?1
，
∴
x
2
?2(x?1 )?1
，解得
x?1
，即
a?b?c?1
，
ab?bc?c a?0
。
∴
ab?(a?b)c?0
，即
ab?(a?b)(1?a?b)?0
。
∴
a
2
?b
2
?ab?a?b?0
，即
b
2
?(a?1)b?a
2
?a?0
。
由
a< br>，
b?R
知，
△?(a?1)
2
?4(a
2
?a)?0
。
11
∴
3a
2
?2a?1?0
，解得
??a?1
。因此，
a??
。
33
12
又 当
a??
时，代入前面解得，
b?c?
。符合题设要求。
33
1
∴
a
的最小值为
?
。
3
二、填空题（每小题6分，共36分）
7．已知定义在
?
?1， 0
?
上的函数
f(x)?log
a
(x?m)
（
a ?0
，且
a?1
）的值域也是
?
?1，0
?
，则
a?m
的值为 。
【答案】
5

2
【解答】当
a?1
时，
f(x)
在
?
?1，0
?
上为增函数，依题意有
?
f(?1)?log
a
(?1?m)??1
，方程组无解。 ?
f(0)?log(0?m)?0
a
?
当
0?a?1
时，
f(x)
在
?
?1，0
?
上为减函数，依题意有 ?
m?2
?
f(?1)?log
a
(?1?m)?0
?
，解得
?
1
。
?
a?
?
f(0)?lo g
a
(0?m)??1
?
?2
所以，
a?m?
5< br>。
2
P
PA?PC?BA?BC?5
，
AC?6
， 8．如图，在三棱锥
P?ABC
中，
PB?4
。设
PA
与< br>面ABC
所成的角为
?
，则
si
?
n
的值< br>
3
A
C
B

为 。
【答案】
23

5
【解答】如图， 取
AC
中点
O
，连接
OP
，
OB
。
∵
PA?PC?BA?BC?5
，
AC?6
，
∴
AC?OP
，
AC?OB
，
OP?OB?4
。
∴
AC?面POB
，
面ABC?面POB
。
又由
PB?4
，知
△POB
是等边三角形。
作
P H?OB
于
H
，则
PH?面ABC
，且
PH?23
。
∴
?PAH
是
PA
与
面ABC
所称的角。
∴
sin
?
?sin?PAH?







12)
，
B(?16，?12)
，
O(0，0)
，点
D
在线段
OB
内，且
AD平分
?OAB
，则9．已知
A(?9，
（第8题图）

P
PH23
。
?
PA5
O
A
H
B
（第8题图）

C
点
D
的坐标为 。
?
【答案】
(?6，
9
)
< br>2
3
x
，
4t，3)t
（
?4?t?0
）设
D(
。
4
【解答】如图，
OB
方程为
y?
又直线
AO
方程为
4x?3y?0
，
AB
方程为
2x4?y?7?30
，
AD
平分
?OAB
。
∴ 点
D
到直线
AO
、
AB
距离相等。
∴
16t?9t96t?21t?300
?
。
525
3
解得，
t?6
（舍去）或
t??
。
2
9
?)
。 因此，点
D
坐标为
(?6，
2

4
（第9题图）

10．设
f(x)是定义在
R
上以2为周期的偶函数，且在区间
?
0，
若
f(
?
)?1
，
1
?
上单调递减。
?
1? x?2
，则不等式组的解集为 。
f(2
?
)?2
?
?
1?f(x)?2
【答案】
?
?
?2，8?
?
2
?

【解答】∵
f(x)
是偶函数，且在区间
?
0，1
?
上单调递减。
∴
f(x)
在区间
?
?1，0
?
上为增函数。
又
f(x)
是以2为周期的周期函数，
∴
f(x)
在区间
?
1，2
?
上为增函数。
又f(
?
)?1
，
f(2
?
)?2
，以及
f(x)
是以2为周期的偶函数。
∴
f(
?
?2)?f(< br>?
)?1
，
f(8?2
?
)?f(2
?
?8 )?f(2
?
)?2
。
又
1?
?
?2?8?2
?
?2
，
∴ 不等式组的解集为
?
?
?2，8?2
?
?
。
< br>11．已知
f(x)?
x
，定义
f
1
(x)?f(x )
，
f
n
(x)?f(f
n?1
(x))
，
n?2
，
3
，
4
，…，则
x?2
f
20 17
(3)?
。
【答案】
3
2
2019
?3

333333
?
3
?
5
，
f
2
(3)??
4
，
f
3
(3)?
，
52?3132?3292?3
【解答】 依题意，有
f
1
(3)?
……………
一般地，有
f
n
(3)?
所以，
f
2017
(3)?

3
2
n?2
?3
。
3
2
2019
?3
。
2
12．已知
x? 0
，
y?0
，
z?0
，且
x
2
?5y2
?z

?1
，则
2xy?yz
的最大值为 。
【答案】
1

2
【解答】由
1?x
2
?5y
2
?z
2
?(x
2
?4y
2
)?(y
2
?z
2
)?4xy?2yz?2(2xy?y z)
，知
2xy?yz?
1
21
，当且仅当
x?2y，且
y?z
，即
x?
，
y?z?
时，等号成立。
2
1010

5

所以，
2xy?yz
的最大值为
1
。
2
三、解答题（第13、14、15、16题每题16分，第17题14分，满分78分） < br>11
13．已知
f(x)?ax
2
?(?a)x?c
，且当< br>?1?x?1
时，
f(x)?
恒成立。
36
（1）求
f(x)
的解析式；
1
A?PB
P (?1，)
，（2）已知
A(x
1
，
且
P
y
1
)
、
B(x
2
，y
2
)
是函数
y?f(x)
图像上不同的两点，
6
。
当
x
1
、
x
2
为整数，
x
1
?x
2
?3
时 ，求直线
AB
的方程。
【解答】（1）依题意，
f(0)?c?
1111
∴
??c?
，且
??c??
。
6626
1
∴
c??
。 …………………………… 4分
6
1
此时，
f(0)??
，可见
f(x)
在 区间
?
?1，1
?
上的最小值为
f(0)
。
6
11
∴
f(x)
的对称轴为
x?0
，即?a?0
，
a?
。
33
1
11
，
f(1)??c?
。
6
36
∴
f(x)?
1
2
1
x?
。 …………………………… 8分
36
（2）由（1）知，
k
PA
∵
PA?PB
，
∴
k
PA
?k
PB
?
1111
(x
1
2
?)?
6
?
366?
x
1
?1
。同理
k?
x
2
?1。
?
PB
3
x
1
?(?1)x
1
? 13
y
1
?
x
1
?1x
2
?1
? ??1
。
33
∴
(x
1
?1)(x
2
?1)??9
。 …………………………… 12分
又
x
1
、
x
2
为整数，且
x
1
?x
2
，
?
x
1?1??1
?
x?1??9
?
x?1??3
∴
?
1
，或
?
1
，或
?
。
x?1 ?9
?
2
?
x
2
?1?1
?
x
2
?1?3
结合
x
2
?3
，得
x
1
??8
，
x
2
?2
。
1277
∴
A
、
B
坐标分别为
A(?8，)
、
B(2，)
。
66

6

∴ 直线
AB
的方程为
12x?6y?31?0
。 …………………………… 16分

14．过直线
l
：
x?y? 10?0
上一点
P
作圆
C
：
(x?4)
2
?(y?2)
2
?4
的两条切线
PA
、
PB
，A
、
B
为切点。
（1）在
l
上是否存在点
P
，使得
?APB?120?
？若存在，求出点
P
的坐标；若不存在，
请说明理由；
（2）若直线
AB
过原点
O
，求点
P
的坐标。
【解答】（1）假设符合条件的点
P
存在。
则由
?APB?120?
，知
?APC?60?
。
∵
CA?2
，
CA?PA
，
∴
PC?
4
。 ……………………………… 4分
3
2)
到直线
l
的距离
d?
另一方面，由圆心
C(4，
4?2?10
2
?22
， 知
PC?22
。
即
4
?22
，矛盾。因此，假设不成立。
3
∴ 符合条件的点
P
不存在。 ……………………………… 8分
（2）设
P(x
0
，y
0)
为直线
l
上一点。
则
PA?PB?(x
0
?4)
2
?(y
0
?2)
2
?4
。
∴ 点
A
、
B
在以
P
为圆心，半径为
(x
0< br>?4)
2
?(y
0
?2)
2
?4
的圆上，
即点
A
、
B
在圆
(x?x
0
)
2
?(y?y
0
)
2
?(x
0
?4)
2?(y
0
?2)
2
?4
上，
即圆
x
2
?y
2
?2x
0
x?2y
0
y?8x
0
?4y
0
?16?0
上。
又点
A
、
B< br>在圆
C
：
(x?4)
2
?(y?2)
2
?4
上，即圆
x
2
?y
2
?8x?4y?16?0
上。
将上述两圆方程联立，消二次项，得
(x
0
?4)x?(y
0
?2)y?4x
0
?2y
0
?16?0
。
∴ 直线< br>AB
方程为
(x
0
?4)x?(y
0
?2)y?4x
0
?2y
0
?16?0
。…………………… 12分
由 直线
AB
过原点
O
知，
?4x
0
?2y
0
?16?0
。
联立
x
0
?y
0
?10? 0
，解得
x
0
??2
，
y
0
?12
。
12)
。 ……………………………… 16分 ∴ 点
P
的坐标为
(?2，





7

15．如图，
△ABC
为锐角三角形，
CF?AB
于
F
，
H
为
△ABC< br>的垂心，
M
为
AH
的中
点。点
G
在线段CM
上，且
CG?GB
。
（1）求证：
?MFG??GCF
；
（2）求证：
?MCA??HAG
。
【解答】（1）由条件知，
BF?FC
，
BG?GC
，
∴
B
、
C
、
G
、
F
四点共圆。
∴
?AFG??BCG
。……………… 4 分
∵
M
为
AH
的中点，
∴
MF?MA?MH
，
?AFM??FAM
。
延长
AH交
BC
于点
N
。由
H
为
△ABC
的垂 心知，
AN?BC
。
A
M
F
B
H
G
C
（第15题图）

∴
?BAN??FCB
。
∴
?AFM??BAN??FCB
。
又
?MFG??AFG??AFM
，
?GCF??BCG??FCB
，
∴
?MFG??GCF
。……………………………… 8分
（2）由（1）知，
?MFG??GCF
。
又
?FMG??CMF
，
∴
△MFG∽△MCF
。
∴
MFMG
?
。…………………… 12分
MCMF
A
M
F
B
N
H
G
又
MF?MA
，
∴
MAMG
?
。
MCMA
C
（第15题图）

又
?CMA??AMG
，
∴
△MCA∽△MAG
。
∴
?MCA??MAG??HAG
。 ……………………………… 16分







8

0)?(0，??)
上的奇函数，且当
x?0
时，16．已知
f(x)
为定义在
(??，
x
?
0x?2
?
2?2，?
f(x)?
?
。
g(x)?f(x)?a
。
x?2
?
?
x?5?1，< br>（1）若函数
g(x)
恰有两个不相同的零点，求实数
a
的值； （2）记
S(a)
为函数
g(x)
的所有零点之和。当
?1?a ?0
时，求
S(a)
的取值范围。
【解答】 （1）如图，作出函数
f(x)
的草图。










由图像可知，当且仅当
a? 2
或
a??2
时，直线
y?a
与函数
y?f(x)
的图像有两个不同的
交点。
所以，当且仅当
a?2
或
a??2时，函数
g(x)
恰有两个不相同的零点。
因此，
a?2
或
a??2
。 ………………………………… 4分
（2）由
f(x)
的图像可知，当
? 1?a?0
时，
g(x)
有6个不同的零点。………… 8分
设这6个零 点从左到右依次设为
x
1
，
x
2
，
x
3< br>，
x
4
，
x
5
，
x
6
。
则
x
1
?x
2
??10
，
x
5< br>?x
6
?10
，
x
3
是方程
?2
? x
?2?a?0
的解，
x
4
是方程
2
x
? 2?a?0
的解。
∴
S(a)??10?log
2
(2?a) ?log
2
(2?a)?10?log
2
∵
?1?a?0
时，
2?a41
??1?(，1)
，
2?a2?a3
2?a
。 …………………… 12分
2?a
（第16题图）

∴
S(a)?(?log
2
3，0)
。
∴
?1?a?0
时，
S(a)
的取值范围为
(?log
2
3，0)
。 ……………………… 16分




9

17．设集合
S
是一个由正整数组成的集合，且具有如下性质：
① 对任 意
x?S
，在
S
中去掉
x
后，剩下的数的算术平均数都是正 整数；
②
1?S
，
901?S
，且
901
是
S
中最大的数。
求
S
的最大值。（符号
S
表示集 合
S
中元素的个数）
【解答】依题意，设
S?
?
x
1
，x
2
，x
3
，L，x
n
?
，且1?x
1
?x
2
?x
3
?L?x
n
? 901
。
记
X?x
1
?x
2
?x
3?L?x
n
，
a
i
?
X?x
i
，则< br>a
i
?N
*
，其中
i?1
，2，3，…，
n
。
n?1
X?x
1
X?x
k
x
k
?x
1
x
k
?1
????N
*
。………… 5分
n?1n?1n?1n?1
∴ 对任意
2?k?n
，有
a
1
?a
k
?
∴ 对任意
2?k?n
，
(n?1)(x
k
?1)
。
又
x
k
?x
k?1
?(x
k
?1)?(x
k?1
?1)
，
∴ 任意
2?k?n
，
(n?1)(x
k
?x
k?1
)
。
∴ 任意
2?k?n
，
(x
k
?x
k?1
)?n?1
。
于是， < br>x
n
?x
1
?(x
n
?x
n?1
) ?(x
n?1
?x
n?2
)?L?(x
2
?x
1< br>)?(n?1)?(n?1)?L?(n?1)?(n?1)
2
。
即
9 01?1?(n?1)
2
，
(n?1)
2
?900
。
∴
n?31
。 ………………………………… 10分
另一方面，令
x
i
?30i?29
，
i?1
，2，3，…，31，则
S?
?
x
1，

x
2
，x
3
，L，x
31
?符合要求。
∴
n
的最大值为31，即
S
的最大值为31。 …………………………… 14分


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