数论历届高中数学联赛真题分类汇编含详细答案

数论部分

2018A四、（本题满分50分）数列
?< br>a
n
?
定义如下：
a
1
是任意正整数，对整数
n?1
，
a
n?1
与
素，且不等于
a
1
,a
2
,
?
,.a
n
的最小正整数，证明：每个正整数均在 数列
?
a
n
?
中出现。
★证明：显然
a
1
?1
或者
a
2
?1
.下面考虑整数
m?1
，设
m
有
k
个不同的素因子，我们对
k
归纳证明
?
a
i?1
n
i
互
m
在
?
an
?
中出现.记
S
n
?a
1
?a
2< br>???a
n
，
n?1
.
k?1
时，
m是素数方幂，记
m?p
?
，其中
?
?0
，
p< br>是素数.假设
m
不在
?
a
n
?
中出现.由于
?
a
n
?
各
项互不相同，因此存在正整数
N
，当
n?N
时，都有
a
n
?p
?
.若对某个n?N
，
p
?
|S
n
，那么
p
?与
S
n
互素，又
a
1
,a
2
,
?
,.a
n
中无一项是
p
?
，故有数列定义知
a
n?1
?p
?
，但是
a
n?1
?p
?，矛盾！
因此对每个
n?N
，都有
p|S
n
.又p|S
n?1
，可得
p|a
n?1
，从而
a
n ?1
与
S
n
不互素，这与
a
n?1
的定义
矛盾！
?
??
假设
k?2
，且结论对
k?1
成立 .设
m
的标准分解为
m?p
1
1
p
2
2< br>?
p
k
k
.假设
m
不在
?
a
n
?
中出现，于
是存在正整数
N
，当
n?N
时， 都有
a
n
?m
.取充分大的正整数
?
2
k?1max
M?p
1
?
1
p
2
?
p
k
?
?1
?
1?n?N

a
n
.

?
1
,
?
2
,?
?
k?1
，使 得
我们证明，对
n?N
，有
a
n?1
?M
. 对于任意
n?N
，若
S
n
与
p
1
p< br>2
?p
k
互素，则
m
与
S
n
互素， 又
m
在
a
1
,a
2
,
?
,.a< br>n
中均未出现，而


a
n?1
?m
，这与数列 的定义矛盾，因此我们得到：对于任意
n?N

，
S
n
与p
1
p
2
?p
k
不互素
?
，
⑴若存在
i
（
1?i?k?1
），使得
p
i
|S
n
，则
?
a
n?1
,S
n
?
?1
，故
p
i
?
从而
a
n?1
?M
（ 因为
p
i
|M
）。
|a
n?1
，
⑵若对 每个
i
（
1?i?k?1
），均有
p
i
?
|S
n
，则由
?
知，必有
p
k
|S
n.于是
p
k
?
|a
n?1
，进而
，使得
p
i
0
|S
n?1
，再由
S
n?1
?S
n
?a
n
p
k
?
|S
n
?an?1
，即
p
k
?
|S
n?1
.故由
?
知：存在
i
0
（
1?i
0
?k?1
）< br>及前面的假设
p
i
?
|S
n
，可知
p
i
0
?
|a
n?1
，故
a
n?1
?M< br>。

k?1
max
因此，对
n?N ?1
，均有
a
n
?M
，而
M?p
1
1p
2
2
?
p
k?
a
n
?
中出
1
?
1?n?N

a
n
，故
M
不在
?
??
?
现，这与假设矛盾！因此，若
m
有
k个不同的素因子，则
m
一定在数列
?
a
n
?
中 出现.
由数学归纳法知，所以正整数均在数列
?
a
n
?
中出现。


2018B四、（本题满分50分）给定整数
a?2
。证明：对 任意正整数
n
，存在正整数
k
，使得连续
n
个数
a ?1
，
a
k
?2,?,
a?n
均是合数。
★证明 :设
i
1
?i
2
???i
r
是
1,2,? ,n
中与
a
互素的全体整数，则
1?i?n
，
i
?
?
i
1
,i
2
,
?
,i
r
?
，无论
正整数
k
如何取值，
a?i
均与
a不互素且大于
a
，故
a?i
为合数。
对任意
j?1, 2,?,r
，因
a?i
j
?1
，故
a?i
j
有素因子
p
j
.
我们有
p
j
,a?1
（否则，因
p
j
是素数，故
p
j
|a
，但
p
j
|a?i
j
，从而
p
j
|
i
j
，即
a
与
i
j
不互素，
与
i
j
的取法矛盾）.因此，由费马小定理知，
a
p?1
?1
?
m odp
i
?

现取
k?
?
p
1
? 1
??
p
2
?1
?
?
?
p
r?1
?
?1
，对任意
j?1,2,?,r
，注意到
k? 1modp
j
?1
，故有
kk
kk
??
??
a
k
?i
j
?a?i
j
?0
?
modp
j
?
.又
a
k
?i
j
?a?i
j
?p
j
，故
a
k
?i
j
为合数。
综上所述，当
k?
?
p
1
?1
??
p
2
?1
?
?
?
p
r
?1
?
?1时，
a?1
，
a
k
?2,?,
a?n
均是合数 。
kk

2017A 4、若一个三位数中任意两个相邻数码的差均不超过
1
，则称其为“平稳数”，则平稳数的个数
是
◆答案：
75

★解析：考虑平稳数
abc
。
①若
b?0
，则
a ?1
，
c?
?
0,1
?
，有
2
个平稳数；
1,2
?
，
c?
?
0,1,2
?
，有2?3?6
个平稳数； ②若
b?1
，则
a?
?
③若< br>b?
?
2,8
?
，则
a
，
c?
?< br>b?1,b,b?1
?
，有
7?3?3?63
个平稳数；
8,9
?
，有
2?2?4
个平稳数； ④若
b?9
，则
a,c?
?

综上可知，平稳数的个数为
2?6?63?4?75
。


2017B 8、若正整数
a,b,c
满足
2017?10a?100b?1 000c
，则数组
(a,b,c)
的个数为
◆答案：
574

★解析：由条件知
c?[
2017
]?2
，当
c?1
时，有
10?b?20
，对于每个这样的正整数
b
，由
1000
10b?a?201
知，相应的
a
的个数为
202?10b
，从而这样的正整数组的个数为
b?10
?
(202?10b)?
20
(102?2)?11
?572
，
2
20172017
]
，知，
b?20
，进而
200? a?[]?201
，
10010
当
c?2
时，由
20?b ?[
故
a?200,201
，此时共有2组
(a,b,c)
.
综上所述，满足条件的正整数组的个数为
572?2?574
.


2016A 8、设
a
1
,a
2
,a
3
, a
4
是
1,2,3,?,100
中的
4
个互不相同的数，满 足
?
a
2
1
22222
?a
2
?a
3
a
2
?a
3
?a
4
?(a
1
a
2
?a
2
a
3
?a
3
a
4)
2
，则这样的有序数组
(a
1
,a
2
,a< br>3
,a
4
)
的个数
???
为
◆答案：40
122222
★解析：由柯西不等式知，
(a
1?a
2
?a
3
)(a
2
?a
3
?a< br>4
)?(a
1
a
2
?a
2
a
3?a
3
a
4
)
2
，等号成立的充
分必要条件是
a
1
a
2
a
3
，即
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
成等比数列．于是问题等价于计算满足
??
a
2
a
3
a
4
设等比数列的公比q?1
，且
q
为
{a
1
,a
2
,a< br>3
,a
4
}?{1,2,3,
…
,100}
的等比数 列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
的个 数．
有理数．记
q?
n
，其中
m,n
为互素的正整数，且< br>m?n
．
m
先考虑
n?m
的情况．
a
1
n
3
a
1
n
3
33
l?
此时a
4
?a
1
()?
，注意到互素，故为正整数． 相应地，a
1
,a
2
,a
3
,a
4
分别
m,n
m
m
3
m
3
3223
等于
ml, mnl,mnl,nl
，它们均为正整数．这表明，对任意给定的
q?
n
?1
，满足条件并以
q
为
m

公比的等比数列< br>a
1
,a
2
,a
3
,a
4
的个数， 即为满足不等式
nl?100
的正整数
l
的个数，即
[
3< br>由于
5?100
，故仅需考虑
q?2,3,
3
100
]
．
n
3
34
,4,
这些情况，相应的等比数列的个数为
23
100
[]?[]?[]?[]?[]?12?3?3?1?1?20
．
827276464
当
n?m
时，由对称性可知，亦有20个满足条件的等比 数列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
．
综上可知，共有40个满足条件的有序数组
(a
1
,a
2
, a
3
,a
4
)
．

2016A四、（本题满分5 0分）设
p
与
p?2
均是素数，
p?3
，数列
?< br>a
n
?
定义为
a
1
?2
，
?
pa
?
a
n
?a
n?1
?
?
n?1?
，
n?2,3,?
，这里
?
x
?
表示不小于 实数
x
的最小整数。
?
n
?
证明：对
n?3,4 ,?,p?1
，均有
n|(pa
n?1
?1)
成立。
★证 明：首先注意到，数列
?
a
n
?
是整数数列。对
n
用数学归纳法。
当
n?3
时，由条件知
a
2
?2?p，故
pa
2
?1?
?
p?1
?
，又
p
与
p?2
均是素数，且
p?3
，故
2
必须
3|p?1
，因此
3|pa
2
?1
，即
n?3
时， 结论成立。

对
3?n?p?1
，设
k?3,4,?,n?1
时结论成立，即
k|pa
k?1
?1
，此时
?
?
pa
k?1
?
pa
k?1
?1
，
?
?< br>k
?
k
?
k?2k?2
故
pa
k?1
?1?p
?
?
a
k?2
?
?
k?1
?< br>?
?
?1?p
?
a
k?2
?
k?1
?
?1?
??
?
??
?
?
?
pa
?
?
?
pa
?
?
pa
k?2
?1
??
p?k?1
?

k?1
故对
3?n?p?1
时，有
pa
n?1
? 1?
?
p?n?1
?
?
pa
n?1
n?2
?1
?
?
?
p?n?1
??
p?n?2
?
?
pa
n?1n?2
2
n?3
?
1
?
?< br>?
?

?
?
p?n?1
??
p?n?2?
?
?
p?3
?
?
pa
n?1n?23
?1
?
?
2n(p?1)
n
C
p?n
，
(p?n)(p?2)
显然
n|(p?n)(p?2)(pa
n?1
?1)
，★
因为
n?p
，
p
是素数，故
(n,n?p) ?(n,p)?1
，又
p?2
是大于
n
的自然数，故
(n, p?2)?1
，

从而
n
与
(n?p)(p ?2)
互素，故由★可知
n|(pa
n?1
?1)
。
由数 学归纳法知，对
n?3,4,?,p?1
，均有
n|(pa
n?1
? 1)
成立。

2016B 8、设正整数
n
满足
n?20 16
，且
??
?
??
?
??
?
?
?
n
??
n
??
n
??
n
?
?< br>?3
．这样的
n
的个数
24612
????????
为 ．这里
?
x
?
?x?
?
x
?< br>，其中
?
x
?
表示不超过
x
的最大整数．
◆答案：
168

?
n
??
n
??
n
??
n
?
13511
★解析：由于对任意整数
n
，有
??
?
??
?
??
?
??
???? ?3,

?
2
??
4
??
6
??
12
?
24612
等号成立的充分必要条件是
n??1
?
m od12
?
，结合
1?n?2016
知，满足条件的所有正整数为
n ?12k?1
?
k?1,2,,168,
168
个．
?
共 有
?
x
??
y
?
★解析：首先注意到，若
m
为正整数，则对任意整数
x,y
，若
x?y
?
modm
?
，则
??
?
??
.
这是因
?
m
? ?
m
?
为，当
x?y
?
modm
?
时，< br>x?y?mt
，这里
t
是一个整数，故
y
?
y?
y
??
y
??
x
?
x
?
x
?
y?mt
?
y?mt
?
y
?
?
?
??t?t?
??
??
??
?
?
m
?< br>m
?
?
m
?
?
m
?
?
?< br>m
?
.

mmmmm
????????????
因此 ，当整数
n
1
,n
2
满足
n
1
?n
2
?
mod12
?
时，
?
n
1
??< br>n
1
??
n
1
??
n
1
??
n
2
??
n
2
??
n
2
??
n
2
?
??
?
??
?
??
?
??< br>?
??
?
??
?
??
?
??
.
?
2
??
4
??
6
??
12
??
2
??
4
??
6
??
12
?
?
n
??
n
??
n
??
n
?
容 易验证，当正整数满足
1?n?12
时，只有当
n?11
时，等式
? ?
?
??
?
??
?
??
?3
才成
?
2
??
4
??
6
??
12
?
?
n
??
n
??
n
??
n
?
立．而
2016?12?168
，故当
1?n?2016
时，满足
???
??
?
??
?
??
?3
正整数
n< br>的个数为
168.

?
2
??
4
??
6
??
12
?

2016B一、（本题满分40分）非负实数x
1
,x
2
,?,x
2016
和实数
y
1
,y
2
,?,y
2016
满足：
22
（1）
x
k
?y
k
?1
,
k?1,2,?,2016；
（2）
y
1
?y
2
???y
2016是奇数．
求
x
1
?x
2
???x
2016< br>的最小值．
★解析：由已知条件（1）可得：
x
k
?1,y
k
?1,k?1,2,,2016,
于是（注意
x
i
?0
）

2016
k?1
?
x
k
?
?
x
k
2
?
?
1?y
k
2
?2 016?
?
y
k
2
?2016?
?
y
k< br>.
①
k?1k?1k?1k?1
20162016
??
20162016
不妨设
y
1
,
m
,y
m
?0,y
m?1
,,y
2016
?0,0?m?2016,
则
?
y
k
?m,?
k?1
2016
k?m?1m2016
k?m?1
?
y
k
?2016?m.

若
?
y
k
?m?1
，并且
?
k ?1
?
y
k
?2015?m,

令
2016k?1
?
y
k?1
m2016
k
?m?1?a,?m2016
k?m?1
?
y
k
?2015?m?b,
则
0?a,b?1,
于是
?
y?
?
y
k
k ?1
k
?
k?m?1
?
y
k
?m?1?a?
?
2015?m?b
?

?2m?2016?a?b,
由条件（2 ）知，
?
y
k
是奇数，所以
a?b
是奇数，这与
0 ?a,b?1
矛盾．
k?1
2016
因此必有
?
y
k
?m?1
，或者
?
k?1
m2016
k?m?1
?
y
k
?2015?m,
则
?
y
k
?< br>?
y
k
?
k?1k?1
2016m2016
k?m? 1
?
y
k
?2015.

于是结合①得
?
x
k
?1.

k?1
20 16
又当
x
1
?x
2
??x
2015
?0 ,x
2016
?1,y
1
?y
2
??y
2015< br>?1,y
2016
?0
时满足题设条件，且使得不等式
等号成立，所以
x
1
?x
2
??x
2016
的最小值为1．

2016B二、（本题满分40分）设
n,k
是正整数，且
n是奇数．已知
2n
的不超过
k
的正约数的个数为
奇数，证明：< br>2n
有一个约数
d
，满足
k?d?2k

证明：记< br>A?
?
d|d|2n
,
d
是奇数，
0?d?k ?
，
A?
?
d|d|2n
,
d
是偶数，
0?d?k
?
，则
A?B?
?
,
2n
的不超过
k
的正约数的集合是
A?B

★证明：记
A?
?< br>d|d|2n,0?d?k,d是奇数
?
，
B?
?
d|d|2 n,0?d?k,d是偶数
?
，则
A
的不超过
k
的正约数的 集合是
A
B??,2n
B.

若结论不成立，我们证明
A?B.

对
d?A
，因为
d
是奇数，故
2d|2n
，又
2d?2k
，而
2n
没有在区间
?
k,2k
?
中的约数，故
2d?k
，
即
2d?B
，故
A?B.

反过来，对
d?B
， 设
d?2d
?
，则
d
?
|n
，
d
?
是奇数，又
d
?
?
k
?k
，故
d
?
?A,
从而
B?A.

2
所以
A?B.
故
2n
的不超过
k
的正约数的个数为偶数，与已知矛盾．从而结论成立．

∴
AM?5?4?1
，
BM?5?4 ?9
，
CN?5?3?8DN?5?3?2
．
若设
q?2
，则同法可得
u?3
，
v?4
，与
u?v
矛盾，舍去．
又证：在得出
p,q
互质且其中必有一为偶数之后．
由于
p
m
,q
n
?1
，故必存在互质的正整数
a,b
(
a?b
)，使
a
2
?b
2
?q
n
，
2ab?p
m
，
??
a
2
?b
2
?r< br>．或
a
2
?b
2
?p
m
，
2ab? q
n
，
a
2
?b
2
?r
．
若< br>2ab?p
m
，得
p?2
，
a|2
m
，b|2
m
，故
a?2
，
b?2
，由
a,b互质，得
?
?0
，∴
b?1
，
??
a?2m?1
．
q
n
?2
2m?2
?1?2
m?1< br>?12
m?1
?1
．故
2
m?1
?1?q
?
，
2
m?1
?1?q
?
，(
?
?
?
?n
，且
????
?
?
?
)．
∴ < br>2?q
?
?q
?
?q
?
q
?
??
?1
．由
q
为奇数，得
?
?0
，
2 ?q
n
?1
，
q
n
?3
，
从而
q?3,n?1,a
2
?4,a?2,m?2
．仍得上解．

??