2016年全国高中数学联赛试题与解答A卷(二试)(word版)

2016年全国高中数学联合竞赛
加试
22
一、（本题满分40分 ）设实数
a
1
,a
2
,
…
,a
2016< br>满足
9a
i
?11a
i
2
…。求
,2015 )
(a?a)(a?a
(i?1,2,
1223
)
…
?1< br>2
(a
2015
?a
2016
)(a
2016
?a
1
2
)
的最大值。
222
解：令
P?(a
1
?a
2
)(a
2
?a
3
)
…< br>(a
2015
?a
2016
)(a
2016
?a1
2
)
，
由已知得，对
i?1,2,
…，2015， 均有
a
i
?a
i?1
?
2
若
a
2 016
?a
1
?0
，则
P?0
。……………10分
2
11
2
a
i?1
?a
i
2
?1
?0
。
9
2
以下考虑
a
2016
?a
1
?0
的情况。约定
a
2017
?a
1
。由平均不 等式得
1
2016
2016
1
2016
1
201 6
2
?(a
i
?a
i?1
)?(
?
ai
?
?
a
i
2
?1
)

?< br>2016
i?1
2016
i?1i?1
P
2016
1
2016
1
2016
2
?(
?
a
i
?
?
a
i
)?a
i
(1?a
i
)
………………20分
?
2016
i?1
2016
i?1i?1< br>1
2016
a
i
?(1?a
i
)
2
111
?[]??2016??

?
2016
i?1
220 1644
所以
P?
1
4
2016
。………………30分 < br>当
a
1
?a
2
?
…
?a
2016< br>?
1
)
，此时时，上述不等式等号成立，且有
9a
i
?11a
i
2
,2,
…
,2015
?1
(i?1< br>2
P?
1
4
2016
。
综上所述，所求最大值为

1
4
2016
。………………40分
二、（本题满分40分）如图 所示，在
?ABC
中，X，Y是直线BC上两点（X，B，C，Y顺次排列），使得
B X?AC?CY?AB
。
设
?ACX
，
?ABY
的外心分 别为
O
1
，
O
2
，直线
O
1
O< br>2
与AB，AC分别交于点U，V。
证明：
?AUV
是等腰三角形。

证法一：作
?BAC
的内角平分线交BC于点P ，设三角形ACX和ABY的外接圆分别为
?
1
和
?
2
。由 内角平
BPABBXAB
??
。由条件可得。从而
CYAC
CP
AC
PXBX?BPABBP
???

PYCY?CPACCP
即
CP?PX?BP?PY
。…………20分 分线的性质知，
故P对圆
?
1
和
?
2
的幂相等 ，所以P在
?
1
和
?
2
的根轴上。…………30分
于是
AP?O
1
O
2
，这表明点U，V关于直线AP对称，从而三 角形AUV是等腰三角形。…………40分

证法二：设
?ABC
的外心为 O，连接
OO
1
，
OO
2
。过点
O,O
1
,O
2
，分别作直线BC的垂线，垂足分别为
D,D
1
,D
2
，作于点K。
我们证明。在直角三角形
OKO
1
中，
OO
1
?
O
1
K

sin?O
1
OK
由外心性质，
OO
1
?AC
。又
OD?BC< br>，故
?O
1
OK??ACB
。
而
D,D
1
分别是BC，CX的中点，所以
DD
1
?CD
1
?CD?< br>因此
111
CX?BC?BX
。
222
1
BX< br>O
1
KDD
1
BX
2

OO
1????R
AB
sin?O
1
OKsin?ACBAB
2RCY
这里R是
?ABC
的外接圆半径。同理
OO
2
?R
。…………10分
AC
BXCY
?
由已知条件可得，故
O O
1
?OO
2
。…………20分
ABAC

< br>由于
O
1
O
2
?AC
，所以
?AVU?90°
??OO
1
O
2
。同理
?AUV?
90 °
??OO
2
O
1
。…………30分

又因 为
OO
1
?OO
2
，故
?OO
1
O
2
??OO
2
O
1
，从而
?AUV??AVU
。 这样
AU?AV
，即
?AUV
是
等腰三角形。………………40分

三、（本题满分50分）给定空间中10个点，其中任意四点不在一个平面上，将某些点之间 用线段相连，
若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形，试确定所连线段数目的最大值。
解：以这10个点为顶点，所连线段为边。得到一个10阶简单图G。我们证明G的边数不超过15.
设G的顶点为
v
1
,v
2
,
…
,v
10
，共有
k
条边，用
deg(v
i
)
表示顶点
v
i
的度。若
deg(v
i
)?3
对
i? 1,2,
…，10
都成立，则
1
10
1
k?
?< br>deg(v
i
)??10?3?15

2
i?1
2< br>假设存在
v
i
满足
deg(v
i
)?4
。不 妨设
deg(v
1
)?n?4
，且
v
1
与
v
2
,
…
,v
n?1
均相邻。于是
v
2< br>,
…
,v
n?1
之间
没有边，否则就形成三角形，所以，v
1
,v
2
,
…
,v
n?1
之间恰有
n
条边。…………10分
对每个
j(n?2?j?10)
，（否则 设
v
j
与
v
s
,v
t
(2?s?t?n? 1)
相
v
j
至多与
v
2
,
…
,v
n?1
中的一个顶点相邻
邻，则
v
1
,v
s
,v
j
,v
t
就对应了一个空间四边形的四个顶点，这与题设条件矛盾。） 从而
v
2
,
…
,v
n?1
与
v
n ?2
,
…
,v
10
之间的边数至多
10?(n?1)?9? n
条。…………20分
(9?n)
2
]
条边，因此G的边数 在< br>v
n?2
,
…
,v
10
这
9?n
个 顶点之间，由于没有三角形，由托兰定理，至多
[
4
(9?n)
2
( 9?n)
2
25
k?n?(9?n)?[]?9?[]?9?[]?15
…… ……30分
444

如图给出的图共有15条边，且满足要求。
综上所述，所求边数的最大值为15.………50分

四、（本题满分50分）设< br>p
与
p?2
均是素数，
p?3
。数列
{a
n
}
的定义为
a
1
?2
，
a
n
?a
n?1
?
?
?
pa
n?1
?
，
?
?
n
?
n?2,3,
，…。这里
?
x
?< br>表示不小于实数
x
的最小整数。
证明：对
n?3,4,
…< br>,p?1
均有
n|pa
n?1
?1
成立。
证明：首先注意，
{a
n
}
是整数数列。

对
n
用数学归纳法。当
n?3
时，由条件知
a
2
? 2?p
，故
pa
2
?1?(p?1)
2
。因
p与
p?2
均是素数，
且
p?3
，故必须
3|p?1。因此
3|pa
2
?1
，即
n?3
时结论成立。 对
3?n?p?1
，设对
k?3,
…
,n?1
成立k|pa
k?1
?1
，此时
?
?
pa
k?1< br>?
pa
k?1
?1
，
?
?
k
?< br>k
?
故
pa
k?1
?1?p(a
k?2
?< br>?
k?2
?
)?1?p(a
k?2
?
?
k? 1
?
?
pa
?
pa
k?2
?1
)?1
k?1
?
(pa
k?2
?1)(p?k?1)
……… …10分
k?1
故对
3?n?p?1
，有
p?n?1p?n?1 p?n?2
(pa
n?2
?1)??(pa
n?3
?1)

n?1n?1n?2
p?n?1p?n?2p?3
??
…
?(pa< br>2
?1)
…………20分 =…
?
n?1n?23
pa
n?1
?1?
因此
pa
n?1
?1?
2n(p?1)n
C
p?n

(p?n)(p?2)
n
由此知（注意< br>C
p?n
是整数）
n|(p?n)(p?2)(pa
n?1
? 1)
①…………40分
因
n?p
，
p
是素数，故
(n,n?p)?(n,p)?1
，又
p?2
是大于
n
的素数，故< br>(n,p?2)?1
，从而
n
与
(p?n)(p?2)
互素， 故由①知
n|pa
n?1
?1
，则数学归纳法知，本题得证。………50分