(完整word版)No.40全国高中数学联合竞赛模拟试题

No.40 高中数学联赛模拟试卷
1、抛物线
y?x
上到直线x?y?2?0
的距离最小的点的坐标是
________
。
2、s?
2
1
3
?
1
5
?
1
7< br>???
1
99
的整数部分是 。
3、在棱长为
2
的正四面体内任取一点
P
，
P
到四面体四个面的距离分别记为< br>PP
1
，
PP
2
，
PP
3
，
PP
4
，则
PP
1
?PP
2
?PP
3< br>?PP
4
?
。
4、在三棱锥
S?ABC< br>中，侧棱
SA
，
SB
，
SC
两
两垂直，SA?SB?4
，
SC?6
, 在三棱锥的内部
有一个与三棱锥的四面体都相切的球，则此球的半径
R?
.
S
?
x?1,x?0,
5、若
f(x)?
?
则
f(cos2)
= 。
1,x?0
?
当< br>x?[0,2
?
)
且满足
cosx?f(sinx)?1
的< br>x
的集合
为 。

A
B
C
1
??
*
n?N
6、已知
(1? x?x)
?
x?
3
?
的展开式中没有常数项，，且2≤n≤8，则n =______。
．．
x
??
2
n
7、双曲线
x ?y?k
关于直线x-y=1对称的曲线与直线x+2y=1相切，则k的值等于 。
8、求函数
y?
22
x
4
?32x?80?x
2
?4
的最小值和取最小值时
x
的值
222
9、证明圆
(x?a)?(y?b)?r
的两条互相垂直的切线
m,n
的交点P的轨迹方 程是
(x?a)
2
?(y?b)
2
?2r
2
。 < br>10、密码员王超设计了一种给自然数编码的方法：（1）先将自然数表示成五进制数（逢五进
一 ）（2）再将五进制中的
5
个数码与集合
?
V,W,X,Y,Z
?< br>中的元素建立一个一一对应，后来，
他发现三个递增的相邻的十进制自然数被编成
VYZ ,VYX,VVW
求被编成
VWXYZ
的数所对应
的十进制数。
1 1、数列｛a
n
｝的定义是：
a
1
?1,a
2
?1 ,a
3
?2,a
n?3
?
项都是正整数。（德国）
12、已知
a,b
是正数，并且
a
2009
1
(an?1
a
n?2
?7)
，证明，该数列中的
a
n
?b
2009
?a
2007
?b
2007
，求证
a
2
?b
2
?2
。

乌鲁木齐市高级中学数学竞赛培训题3参考答案
2
1、解法1 设 抛物线
y?x
上的点的坐标是
x,x
?
2
?
，则它 到直线
x?y?2?0
的距离是
d?
x?x
2
?2
2
(x?
1
)
2
?
7
24
，当
x??
1
时
d
最小，此时
y?
1
.故所求点的坐标 是
?
24
2
,
1
?
.
?
?
1
24
解法2 如图，将直线
x?y?2?0
平移至与抛物线
y?x
相切，则此时的切点即为所
2
求点.设切线方程为< br>y??x?k
，代入
y?x
，得
x?x?k?0
.由
2
2
y
y=x
2

-2
O
-2
x
?
x??
1
?
y?x
2
?
?
2
得
?
.故所
??o
，即
1?4k?0
， 得
k??
1
.解
?
4
1
y??x?
?y?
1
?
?4
?4
求点的坐标是
?
1
,
1
.
解法3 设所求点的坐标为P
?
x
0
, y
0
?
，则过点P的抛物线的切线
应与直线
x?y?2?0
平行.而其切线方程为
2
x
0
??
1
.
?y
0
?x
0
?
1
. 故所求点的坐标为
?
1
,
1
.
24
24
?
24
?
y?y
0
?x
0
x
，故
2x
0
??1
，
2
?
?

2、解 ?
1
2k?3?2k?1
?
1
22k?1
?
1
2k?1?2k?1
，
即
2k?3?2k?1
12k?1?2k? 1
?
.
?
取
k?1,2,?,49
，得49个式子，
?
2
2
22k?1
并相加，得
101?3?
1
3
?
1
99
1
5
?
1
7
???1
99
?99?1
.
显然
1
3
?
1
5
?
1
7
???
6
2
在8与9之间，故< br>?
?
1
?
3
?
1
5
?
1< br>7
???
1
?
?
?8
.
99
?
拓展 将题中
10
改为
n
，得
推广1 当
n
为大于1的自然数时，
1?
111
????
的整数部分是
2(n?1)
.
2
23
n

推广2 当
n
为大于1的自然数 时，
1?
1
3
2
2
?
1
3
32
?L?
3
1
?
n
?
3
2
的 整数部分是
3(n?1)
.
证明
Q
1
3
k< br>2
?
3
?
k
?
?
?
k
?< br>?
?
k
?
3
2
3
2
3
,?
2
1
3
k
2
?
3
?
3
k ?1?k?1?k?
2
?
2
33
?
k
?
3
2

?3
?
3
k?1?
3
k
，< br>?
1
3
k
2
?
3
?
k
?< br>3
2
?k?k?1?
3
33
?
3
k?1?
?3
?
3
k?
3
k?1.(k?1)
?
令
k?1,2,L,n,
相加得
3
n
3
3< br>?
3
n?1?1?
?
k?1
?
n
3
1
3
k
2
?3
?
3
3
n
3
?1?1
,即
?
3
?
n?1
?
?
?< br>k?1
m
1
3
k
2
?3
?
n?1< br>?
?1
,
?1?
?
m
m?1
m
m? 1
1
3
2
2
?
1
3
3
2
?L?
m?1
1
?
n
?
3
2
m?1
的整数部分是
3(n?1)
.
由于
mk
m?1
?
L
?
?
m
k?1
?
m?1
?
k
?
?
?
k
?
?L?
?
k
?
k
?
?
?
k?1
??
1
??
m
?
?
k
?
m
?
?
k
??
m
m?2
m
k?1

?
m
m
m
m
m
k?k?1
mm
k?k?1
m
,(k?1)
.同理,
m
m
k
m?1
?
1
,故又得
mm
k?1?k
推广3 当
m
、
n
为大于1的自 然数时，
1?
1
m
2
m?1
?L?
m
1< br>?
n
?
m
m?1
的整数部分是
m(n?1)
.

3、解法1 将
P
与正四面体的四个顶点联结，得到以
P< br>为顶点，正四面体的各个面为底面的
四个小棱锥，它们的高分别为
PP
1
，
PP
2
，
PP
3
，
PP
4
, 体积的和等于原正四面体的体积.由于
四个小棱锥的底面与原正四面体的底面一样，所以
PP< br>1
?PP
2
?PP
3
?PP
4
?
正 四面体的高
23?2
2
23
.
?(2)
2
?(?)?
323
解法2 设已知正四面体为
ABCD
，由题意，可知
PP
1
?PP
2
?PP
3
?PP
4
为定值.故不
妨令
P
为正四面体的一个顶点
A
，则
P
到面
ABC
、面
ACD
、面
A DB
的距离都是
0
，故
PP
1
?PP
2
? PP
3
?PP
4
就是点
A
到面
BCD
的距 离，即正四面体的高
23
.
3
4、解：∵
SA
，
SB
，
SC
两两垂直，
SA?SB?4
，
SC?6
，∴
AB?42
，

AC?BC?213
，
S
?SAB
?8
，
S
?SBC
?S
?SAC
?12
，
S
?ABC
?422
，
设此三棱锥的内切球的半径为< br>R
，则
V
S?ABC
?
?
即
1
(3 2?422)R?V
C?SAB
3
1
(S
?SAB
?S?SBC
?S
?SAC
?S
?ABC
)R

3
111
?S
?SAB
?SC???4?4?6?16
，
332
16?222
1

(32?422)R?16
，解得
R?
7
3
5、希望杯16－2－2－12
6、08高考辽宁理科15题。答案 5
7、解 设点P（x
0
,y0
）是双曲线
x?y?k
上任意一点，点P关于直线x－y=1的对称点为
P
’
（x,y）,则
22
y?y
0
x?x
0y?y
0
??1
②，解①、②联立方程组得
??1
①，又< br>x?x
0
22
?
x
0
?y?1
22
22
③.∵P点在双曲线
x?y?k
上，∴
x
0
?y
0
?k
④.③代入④，得
?
?
y
0
?x?1< br>(y?1)
2
?(x?1)
2
?k
⑤，此即对称曲线的方程 ，由x+2y=1，得x=1-2y`,代入⑤并整理，得
3y
2
?2y?k?1?0
.由题意，△=4-12（k-1）=0，解得k=

8、解法1 由已知函数式， 得
x
4
?32x?80?(y?4)?x
2
，两边平方并整理，得< br>4
，故选B.
3
2(y?4)x
2
?32x?(64?8y ?y
2
)?0
，看作关于
x
的方程，由
x?R
，知
?
x
?0
，即
32
2
?8(y?4)(64?8y ?y
2
)?0
，得
?42?y?42
①或
y?12
②，因为
2
即
y?(x?4)?42?4?42
，
x
4?32x?80?(x
2
?4)
2
?8(x?2)
2
? 32?42
，
故舍去①，只取②：
y?12
，将
y?12
代 入已知函数式，得
x?1
，即当且仅当
x?1
时，
y
有最小 值
12
.
解法2 因为
y?
?
(x
2
?8)
2
?(4x?4)
2
?(x
2
?4)
2，所以设
a?(x
2
?8,4x?4)
，
?
?
?
?
?
2
b?(x?4,0)
，则
y?a?b?a?b?( x
2
?8,4x?4)?(x
2
?4,0)?

(?12)
2
?(4x?4)
2
?12
，故当且仅当
x?1
时 ，
y
有最小值
12
.

9、证明 如图，易知四边形AP BO
1
为正方形，所以|PO
1
|=
2|AO
1
| ?2r
，所以点P的轨迹

是以O
1
为圆心，
2r为半径的圆，其方程是
(x?a)?(y?b)?2r
．
10、希望杯16－2－2－22
11、12、由递推公式知，
a
n?3< br>a
n
?a
n?1
a
n?2
?7,a
n?4< br>a
n?1
?a
n?2
a
n?3
?7
，两式相 减，得：
222
a
n?3
a
n
?a
n?4
a
n?1
?a
n?2
a
n?3
?a
n?1
a
n?2
，即
a
n?3
a
n
?a
n?2
a
n?3
?a
n?1
a
n?2
?a
n?4
a
n?1
，
a
n?3
(a
n
?a
n?2
)?a
n?1
(a
n?2
?a
n?4
)
a
n
?a
n?2
a
n?2
?a
n? 4
a?a
n?2
a?a
n?4
?,则b
n+2
?< br>n?2
（*），记
b
n
?
n
，
即b
n
?b
n+2
(**)
a
n?1
a
n?3
a
n?1
a
n?3
a
1
?1,a
2
?1 ,a
3
?2,a
n?3
?
1
(a
n?1
a
n?2
?7),得a
4
?9
，
b
1
?3, b
2
?5,
从而
a
n
a
2k?1
?3a
2k
?a
2k?1
，
a
2k?2
?5a
2k?1
?a
2k
，结合
a
1
?1,a
2
?1,a
3
?2
，知数列中各项为正。
12、证法1 若
a与
b
中有一个等于1,那么另一个也等于1,此时,显然
a?b?2
.
若
a?b
且
b?1
,可将
a
1998
22
?b
1998
?a
1996
?b
1996
改写为< br>a
1996
?
a
2
?1
?
?b
19 96
?
1?b
2
?
,由
2
此推得
0?b? 1
(若
b?1
,则
a?1?0
,得
a?1
,这与< br>a?b
矛盾),由此得
a
2
?1
?
b
??
??
1?b
2
?
a
?
1996
b< br>?
b
?
,?
0??1,0?
??
a
?
a
?
1996
a
2
?1
?1,??1,
得
a
2
?b
2
?2
.
2
1?b
证法2
2a
1998
?b
1998< br>?a
2
?b
2
?????
a
1996
?b< br>1996
?
?a
1998
?a
2
b
1996
?a
1996
b
2
?b
1998
?
?
a
2
?b
2
??
a
1996
?b< br>1996
?
.Qa
2
?b
2
与
a
1 996
?b
1996
同号,
?

?
a
2< br>?b
2
??
a
1996
?b
1996
??0,

?2
?
a
1998
?b
1998?
?
?
a
2
?b
2
??
a
1 996
?b
1996
?
.
Qa
1998
?b
1998
?a
1996
?b
1996
?0,?a
2
?b
2
?2
.
证法3 由
a
1998
?b< br>1998
?a
1996
?b
1996
及
a,b?R< br>?
,得
a
2
?b
2
a
?
?
1996
?b
1996
??
a
2
?b
2
?
a
1998
?b
1998

a
1998
? b
1998
?a
1996
b
2
?a
2
b< br>1996
a
1996
b
2
?a
2
b
1996
??1?.

a
1998
?b
1998
a
1998
?b
1998
Qa
1996
b
2
?a
2
b
1996
?a
1998
?b
1998??
?
a
2
?b
2
??
a
1996< br>?b
1996
?
,

又
a?b
与
a
221996
?b
1996
同号,
??
?
a
2
?b
2
??
a
1996
?b
1996
?
?0,

a
1996
b
2
?a
2
b
1996
??1,?
a
2
?b
2
?2
.
19981998
a?b

推广1 设
a,b?R
,且
a
推广2 设
a,b?R
,且
a
推广3 设
a,b?R
,且
a
1998
?b
1998
?a
1996
?b
199 6
,则
a
2
?b
2
?2
.
?b
2n?2
?a
2n
?b
2n
,其中
n?N
?
,则
a
2
?b
2
?2
.
?b
2m?2 n
?a
2m
?b
2m
,其中
m,n?N
?
,则
a
2n
?b
2n
?2.
.
?Bb
2 m?2n
?Aa
2m
?Bb
2m
,其中
m,n?N
?
,
2n?2
2m?2n
推广4 设
a,b?R
,且< br>Aa
2m?2n
A,B?R
?
,A?B?1
,则
Aa
2n
?Bb
2n
?1
②.