高中数学联赛模拟题

全国高中数学联赛模拟试题6
一 试
一、填空题
（每小题８分，共６４分）

1．满足
2sinx?si nx?sin2x?3cosx
的锐角
x
=
2 ．已知复数
z
满足
z?1,
则
z
3
?3z?2的最大值为
３．过抛物线
y?4x
的焦点作一倾斜 角为
?
，长度不超过8的弦，弦所在的直线与椭圆
2
2
3x
2
?2y
2
?2
有公共点，则
?
的取值围为
4．满足
(
m?n
)
?n?
1413
的正整数对< br>(m,n)
为
5．在正方体
ABC D?A
1
B
1
C
1
D
1
中，
P< br>为棱
AB
上一点，过点
P
在空间作直线
l
，使得l
与平面
ABCD
和平面
ABC
1
D
1
均成
30
角，则这样的直线
l
有 条。
6．设
f(x)?
mm
x
20
?2
2011
?2
2010
?2
2
?2
，则
f(2011)?
=
7．整系数多项式
P(x)
满足
P(19)?P(99)?2011,
则
P(x)
常数项为=
（已知其绝对值不超过1000）
8．在空间给出不共面的4点以这些点作为顶点的不同的平行六面体有 个．

二、解答题
（共５６分）

9．（16分）
在平面上给定不共线的 三点
A,B,C
,以线段
AB
为一条轴（长轴或短轴）作一个不经过
C
的椭圆，与另两条线段
AC,BC
分别交于点
E,F
,过
E,F
分别作椭圆的切线，设这两条切线
交于点
C
0
,类似地，再以 线段
BC,AC
为一条轴各作椭圆，分别相应得到切线的交点
A
0
, B
0
,
证明:不论每个椭圆的另一条轴的长度如何选择，三条直线
AA
0
,
BB
0
,
CC
0
都经过一个定点.


10．
（20分）设函数
f(x)
满足
axf (x)?b?f(x),(ab?0)
且
f(1)?2,f(2?x)??f(2?x)
，
（1）求函数
f(x)
的解析式；
（2）数列
?
a
n
?
的前
n
项的和为
S
n
，
?
a
n
?
满足当
n?1
时，
a
1
?f(1) ?2,
当
n?2

时，
S
n
?
21
?
?
n
2
?5n?2
?
,
试给出数列
?
a
n
?
的通项公式并加以证明．
f(a
n
)2

11．（20分）设a
1
,a
2
,a
3
,
n
a
n
是
n
个不全相等的正数，且
?
a
k
?2n
?1
．
k?1
n
?
a
i
a
j
?
2n2
证明：
?
a
k
?n
?
?
?
?
?n
2
．
?
a
i
?
k?11 ?i?j?n
?
a
j
?

2

加 试

1．已知圆⊙
O
1
与⊙
O
2
外切于点
T
，一直线与⊙
O
2
相切于点
X
，与⊙
O
1
交于点
A
、
B
，且
B
⌒
点在线 段
AX
的部，直线
XT
与⊙
O
1
交于另一点
S
，
C
是不包含点
A
、
B
的
TS
上的一点，过
点
C
作⊙
O
2
的切 线，切点为
Y
，且线段
CY
与线段
ST
不相交，直线
SC
与
XY
交于点
I
．证
明
I
是△ABC
的∠
A
的旁切圆的圆心．











2．在区间
[a ,b]
上任意地插入2010个分点
x
2
,x
3
,?,x< br>2011
，满足
a?x
1
?x
2
?
??x
2012
1
k
?b
. 记
y
k
?
?
x
j
(
k
?1,2,?,2012)

k
j?1
2011
（1）证明：存在正常数
M(0?M?1)
，使< br>?
|
y
i?1
i
?y
i?1
|
?M
|
b?a
|
；
（2）求最小正数
M
，使得（1） 中的不等式对满足题设条件的一切
x
i
(i?1,2,?,2012)
都成立.






nA
n
?2(n?1)
2k
3．设
k?N
?
，定义
A
1
?1
，
A
n?1
?
，
n?1,2,?
< br>n?2
证明：当
n?1
时，
A
n
为整数，且
A
n
为奇数的充要条件是
n?1或2(mod4)

4． 求最小的正整数
n
，使得把集合
M?{1,2,?,n}< br>任意划分成两个子集
A,B
（
A?B??,A?B?M
），方程
x
1
?x
2
???x
9
?x
10
至少存 在一组正整数解
(x
1
,x
2
,?,x
10
)（
x
1
,x
2
,?,x
10
的值可以相同）， 而由这一组数值构成的集合
C
，或者
C?A
，或者
C?B
.

模拟试题6参考答案
一 试
1.
?
；
3< br>解析：因
x
为锐角，则
cosx?0
，方程两边同时除以
co sx
得
2sinxtanx?tanx?2sinx?3
即
?
2s inx?1
??
tanx?1
?
?2

?
?
?
f(x)?
?
2sinx?1
??
tanx?1
?在
?
0,
?
严格单调递增
?
2
?
? ?
故
f
(
x
)
?
2
?f
()?x?

33
2.
33
；
又
解析：
z
3
?3z?2?
?
z?1
??
z?2
?
?
?
z?1
?
2
2
?
z?2
?
， 设
z?a?bi
，则
a?b?1

22
原式=
2( a?1)?2(a?1)5?4a?(2a?2)(2a?2)(5?4a)?33
，
12
,b??
时等号成立．
22
?
??
??2
?
3
?
?
,
?
3.
?
,
??
4334
????
当
a?
?
y
2?4x
2222
解析：由
?
得
xtan
?
?( 2tan
?
?4)x?tan
?
?0

?
y?(x ?1)tan
?
2tan
2
?
?4
?2?8
?ta n
2
?
?1

由抛物线定义得弦长=
x
1
?1?x
2
?1?
2
tan
?
?
2y
2< br>?3x
2
?2
2222
又由
?
得
x(3?2 tan
?
)?(4tan
?
)x?2tan
?
?2?0
?
y?(x?1)tan
?
??
2
?
3?
??0
得
tan
2
?
?3
?
??[,][,]

4334
4.
?
3,11
?
；
m
解析 ：由
(
m?n
)
?n?m
，
m?1413
故
m?4
，又由于
m?
?
m?n
?
?n
整除
mmm
?
m?n
?
5. 2
m
经检验
m?3, n?11
?
?
3,11
?
满足
?n
m
? 1413
故
m?1或3，

解析：由于二面角
C
1?AB?D
的平面角为
45
，在这个二面角及其“对顶”二面角，不存在
均成
30
的直线，转而考虑它的补二面角，易知过点过点P且与平面ABCD和平面
A BC
1
D
1
P有且仅有两条直线与其均成
30
。
6. 1 ；
解析：注意到：对任意
a?0
，当
t?[0,2a]
时有
t?a?a
而
2011?(2)?2?2
若
2011?2
102011
1011102011

?2
2 011
.2011
10
?2
2011
?2
2010
?2
2010
....
有
f(2011)?2

又
f(2011)
为奇数，
f(2011)?1

7. 225
解析：设
P(x)
常数项为
a
0
，则
P( x)?xQ(x)?a
0
其中
Q(x)
为整系数多项式，设
P(1 9)?19n?a
0
,P(99)?94m?a
0
其中m,n为整数，由于1 9,94互素，
P(19)?P(99)

?19n?94m
于是
n ?94k,m?19k
从而
P(19)?19?94k?a
0
?2011,a
0
?2011?1706k

a
0
?1000,?k?1时，a
0
?225

8. 29
解析：每一平行六面体被所指定的1个顶点和3个中截面所在平面唯一确定。对于给定的 4
个点，存在7个到这4个点等距的平面。从这7个中任取3个，再排除那些平行于某一直
线的 三平面组共
23
C
4
?6?C
7
?6?29
,
8. 解：先考虑以边
AB
为一条轴的椭圆，如图建立直角坐标
x
2
y
2
系，设该椭圆的方程为
2
?
2
?1(a?b )
，它与直线
AC
、
ab
BC
分别交于点
E
、
F
，过
E
、
F
分别作椭圆的两条切线交
于点< br>C
0
．
设
A(?a,0)
，
B(a,0)
，
E(acos
?
,bsin
?
)
，
F(acos
?
,bsin
?
)
．
ybsin
?
y? bsin
?
??
则
l
AE
：
，
l
BF
：
．
x?aa(1?cos
?
)x?aa(1?cos
?
)
?
?
?
acos
2
． 解得点
C
的横坐标
x
C
?
?
?
?
cos
2
xcos
?
ysin
?
xcos?
ysin
?
??1
，
??1
．
故椭圆过点
E
、
F
的切线方程分别为
abab
?
?
?
acos
2
． 由此解得点
C
0
的横坐标
x
C
0
?
?
?
?
cos
2
由
x< br>C
?x
C
0
知，
CC
0
?AB
．同 理，
AA
0
?BC
，
BB
0
?AC
． < br>因此直线
AA
0
、
BB
0
、
CC
0
分别重合于
?ABC
的三条高线．故它们都经过
?ABC
的垂心．
１0.解：⑴由
axf(x)?b?f(x)?
?
ax?1
?
f(x)?b
当
ax?1?0
，b=0与已知矛盾

b又
f(1)?2
得
2a?b?2........
①
ax?1
b?b
?
......
② 又由
f(2?x)?? f(2?x)
得
a(2?x)?1a(2?x)?1
12
由①②得
a ?,b??1?f(x)?

22?x
⑵猜想
a
n
?n?< br>1
下面用数学归纳法证：
当
ax?1?0
，
?f
(
x
)
?
①当n=1显然成立。
②假设
n?k
时成 立，即
a
k
?k?
1
，且
S
k
?a
k
?
1
2
(k?5k?2)
，
2
1
2
S
k?1
?a
k?1
?(
?
k?1
??5
?
k?1
?
?2)
，当
n?k?1
时，
2
11
2
a
k?1
?S
k?1
?S
k
?(
?
k?1
?
?5
?
k?1
??2)?a
k?1
?a
k
?(k
2
?5k?2)?k? 2

22
综上所述，猜想成立
11.证明：运用拉格朗日恒等式，
?
a
k?1
n
2n
k
?
?
?
a
k
k?1
n
n
2
?
,
?
?
a
?
k
k?1
n
?n
2
n
n
? ?
a
a
j
2
i
?n?
?
?
n?
n
?

?
a
i
?
1?i?j?n< br>?
a
j
?
22
2
?
a
i
n
a
j
n
??
a
i
a
j
?
2
代入不等式只需证
?
?
n
?
n
?
?n< br>?
?
?
?
?

???
aaaa
i< br>?
1?i?j?n
?
j
1?i?j?n
?
ji
??
a
i
?
a
j
n
a
i
nn
a
j
n
?
a
i
a
i
?n? ?
?
?
aa
j
a
i
?
j
a
j
?
?
?
?
n?1
?
a
i
?< br>?
?
a
?
j
?
?
?
?
n? 2
?
a
j
?
?
a
i
??
a
j
?
?
?...?
??
??
a
i
?n?1
?n

（等号不成立） 证毕．
加 试

1．证明：过
T
作两圆公切线
MN
，则
∠
ICT
= ∠
SAT
= ∠
STN
= ∠
MTX
= ∠
AXT
, ∠
BCT
= ∠
BAT
．
∴ ∠
BCI
= ∠
ICT
+ ∠
TCB
= ∠
AXS
+ ∠
180?－∠
ACB
XAT
= ∠
ATS
= ∠
ACS
= ．
2
∴
SI
为∠
ACB
外角平分线 … ①
又∵ ∠
SAT
= ∠
AXS
? △
SAT
∽△
SXA
．
2
∴ ∠
ATS
= ∠
XAS
?
SA
=
SB
，而且
SA
=
ST
·
SX
．
又∵ ∠
TCI
= ∠
AXT
= ∠
XYT
?
T
、
C
、
Y
、
I
共圆．
∴ ∠
TIC
= ∠
TYC
= ∠
TXY
．
2
∴ △
STI
∽△
SIX
?
SI
=
SI
·
SX
．∴
SA
=
SI
?
SB
=
ST
．
11
∴ ∠
BIS
= ?180?－∠
BST
? = ?180?－∠
BAC
?．
22
180?－∠
ACB
180?－∠
BAC
∴ ∠
CBI
= 180?－∠
BCI
－∠
BIC
= 180?－ －
22

∠
ACB
+ ∠
BAC
1
= 90?－ ∠
ABC
．
22
∴
IB
为∠
ABC
外角平分线 … ②结合①②可知
I
为△
ABC
旁心，得证．
=
2．解：（1）注意到
y
k
?y
k?1
x
1
? x
2
?
?
?x
k
?kx
k?1
1
k
1
k?1
?
?
x
j
?x?

?
j
k
j?1
k?1
j?1
k(k?1)
?
故
?
(x
i?1
2011
i?1
k
i
?x
k?1
)
?0
，则
|y
k
?y
k?1|?y
k?1
?y
k

2011
i?1
k(k ?1)
?
|y
i
?y
i?1
|?
?
(y< br>i?1
?y
i
)?y
2012
1
?y
1?
2012
2012
i?1
?
x
i
?x
1

x
1
?x
2
???x
2012
?2 012x
1
1
2011
??(2012?i)(x
i?1
? x
i
)
（*）
?
20122012
i?1
2011
2011
20112011
2011
?(x?x)?(x?x)? (b?a)
取
即可
M?
?
i?1i20121
2 012
i?1
20122012
2012
20112011
（2）下 面证明：
M
的最小值为，即对任意的
0?M'?
，只需证明：存在
2 0122012
x
2
,x
3
,?,x
2011
满足
a?x
1
?x
2
?
?
?x
2012
?b
，使
?
|
y
i
?y
i?1
|
?M
'|
b?a
|

i?1
2011
事实上， 令
x
2
?a?
于是，由（*）式得
2011
2
M
'(
b?a
)
，则
a?x
2
?a??(b?a)? b

2
2011
2011
(x
2
?x
1< br>)?M'(b?a)

2012
i?1
2011
综上，对所有 满足条件的一切
x
i
(i?1,2,?,2012)
均成立的最小正数
M
为.
2012
2k
3．证明：注意到
(n?2)A
n ?1
?nA
n
?2(n?1)

1
|y?y|?
?
ii?1
2012
i?1
?
(2012?i)(x
i?1< br>?x
i
)?
2k

(n?1)A
n
?(n?1)A
n?1
?2n

2k?1
?2n
2k?1

得
(n?2)(n?1)An?1
?(n?1)nA
n?1
?2(n?1)
反复运用上式，得
A
n
?
得
2S(n)?
2S(n)
ttt
，其中
S(n)?1?2???n
，
t?2k?1

n(n?1)
t
n
i?1
?
[(n?i)
i?0
n
t
? i]?
?
[(n?1?i)
t
?i
t
]
，从而可知
n(n?1)|2S(n)
，
因此
A
n
(n?1)
是整数
（1）当
n?1或 2(mod4)
时，由
S(n)
有奇数个奇数项知
S(n)
为奇数， 所以
A
n
为奇数
（2）当
n?0(mod4)
时，(
)
?
0(mod4)
，
n
2
t
n
ttt
[(n?i)?i]?(
)
?
0(mod4)
，所以
A
n
为偶数
?
2
i?0
n?1
t
)
?
0(mod4)
， （3）当
n?3(mod4)
时，
(
2
故
S(n)?
n
2

故
S(n)?
tt
[(n?1?i)?i]?(
?
i?1
n?1
2
n?1
t
)
?
0(mod4)
，所以
A
n
为偶数
2
综上所述，命题成立，证毕.

4．解：设计一种划分，使其不满足题目要求，并且使
n
尽可能大：
A?{ 1,2,?,8,81,82,?,88}
，
B?{9,10,?,80}

下面证明：当
n?89
时，一定满足题目要求.
反证法
当
n?89
时，假设存在一种划分A和B不满足题目要求.
不妨设
1?A
，则
9?A
，即
9?B
（这是因为当
x
1< br>?x
2
???x
9
?
1,
x
10
?
9
时不满
足假设）
同理，
81?A
，
下面考虑10
（1）若
10?A
，取
x
1
?x< br>2
???x
8
?
10
，
x
9
?1< br>，
x
10
?81
，得
C?{1,10,81}?A
矛 盾
（2）若
10?B
，因为
10?8?9?89
，所以，
89?B
，否则
取
x
1
?x
2
???x
8
?
10
，
x
9
?9
，
x
10< br>?89
，得
C?{9,10,89}?B
矛盾
因而，
89? A
，但此时，取
x
1
?x
2
???x
8
?
1
，
x
9
?81
，
x
10
?89
，
C?{1,181,89}?A
，矛盾
综上所述，所求的最小的正整数
n
为89.