高中数学与测试必修一-高中数学 求导
2018年贵州省高中数学联赛试题
第Ⅰ卷(共60分)
一、选择题:每小题6分,本大题共30分.
1.小王在
word
文档中设
计好一张
A4
规格的表格,根据要求,这种规格的表格需要设计
1000
张,
小王欲
使用“复制——粘贴”(用鼠标选中表格,右键点击“复制”,然后在本
word
文档中“粘贴”)的办法满
足要求.请问:小王需要使用“复制——粘贴”的次数至少为( )
A.
9
次 B.
10
次
C.
11
次 D.
12
次
2.已知一双曲线的
两条渐近线方程为
x?3y?0
和
3x?y?0
,则它的离心率是( )
A.
2
B.
3
C.
22
D.
3?1
B(0,1,0),
C(0,0,1)
,3.在空间直角坐标系中,已知
O(0,0,0)
,
A(1,0,0)
,则到面
OAB
、面
OBC
、面
OAC
、
面
ABC
的距离相等的点的个数是( )
A.
1
B.
4
C.
5
D.无穷多
22
4.若圆柱被一平
面所截,其截面椭圆的离心率为
3
,则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是( )
arcsin
A.
1122
arccosarcsinarccos
3 B.
3
C.
3
D.
3
5.已知等差数列
?
a
n
?
及<
br>?
b
n
?
,设
A
n
?a
1
?a
2
?????a
n
,
B
n
?b
1?b
2
?????b
n
,若对
?n?N
*
,有
A
n
3n?5
a
10
?
?
B
n<
br>5n?3
,则
b
6
( )
31175155
35
A.
33
B.
29
C.
99
D.
87
二、填空题(每小题6分,本大题共60分)
6.已知
O
为
?ABC
所在平面上一定点,动点
P
满足
的轨迹为
.
uuuruuur
uuuruuur
ABAC
OP?OA?
?<
br>(
uuur
?
uuur
)
ABAC
,其
?<
br>?[0,??)
,则
P
点
7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子,还有
他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况:①最佳选手的孪
生同胞与最差选手性别不
同;②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是 .
?
x<
br>2
?y
2
?26
?
xy(x?y)??6
的实数解为
. 8.方程组
?
9.如图,在
?ABD
中,点
C
在
AD
上,
?ABC?
?
2
,
?DBC?
?
6
,
AB?CD?1
,则
AC?
.
22
z?2x?2x?1?2x?10x?13
的最小值是
. 10.函数
11.若边长为
6
的正
?ABC
的三个顶点到平面<
br>?
的距离分别为
1
,
2
,
3
,则
?
ABC
的重心
G
到平面
?
的距
离为 .
12.若实数
a
使得不等式
x?2a?2x?a?a
2
对任
意实数
x
恒成立,则实数
a
的取值范围 .
x
a?x(a?0,a?1)
有两个不等实根,则实数
a
的取值范围是
. 13.若方程
22
x?y?9
与双曲线
xy?3
的交点,14.
顺次连结圆得到一个凸四边形.则此凸四边形的面积为 .
15.函数
y
?2(5?x)sin
?
x?1(0?x?10)
的所有零点之和等于
.
三、解答题(每小题15分,本大题共60分)
2
y?3x?x?2x
,求该函数的值域. 16.已知函数
2
x<
br>2
y
2
e?
??1(a?b?0)
2
2
,直
线
y?2x?1
与
C
交于
A
、
B
两点,且
b
2
17.已知椭圆
C
:
a
的离心率
AB
?
8
5
9
.
(1)求椭圆
C
的方程;
(2)过点
M(2,0)
的直线
l
(斜率不为零)与椭圆
C
交于不同的两点
E
、
F
(
E
在点
F
、M
之间),记
?
?
S
?OME
S
?OMF
,求
?
的取值范围.
1111
????????1
kkkk?1
(n?2,n?N)
;
2?12?22?1
18.证明:(1)
2
1113
(2)分别以<
br>1
,
2
,
3
,…,
n
,…为边长的正方形能
互不重叠地全部放入一个边长为
2
的正方形内.
19.已知梯形
ABCD
,边
CD
、
AB
分别为上、下底,且
?ADC?9
0
,对角线
AC?BD
,过
D
作
DE?BC
于点<
br>E
.
o
(1)证明:
AC?CD?AB?CD
;
22
AEAC?CD
?
22
(2)证明:
BEAC?CD<
br>.
参考答案
一、选择题
1-5: BACBB
二、填空题
?
x??1
?
x?3
??
y?3y??1
6.
?BAC
的角平分线 7. 牛得亨先生的女儿 8.
?
或
?
?
24
?
?
0,,,2
?
3
9
.
2
10.
10
11.
?
33
?
?
33
?
1
?,
??
e
12.
?
22
?
13.
1?a?e
14.
65
15.
60
三、解答题
2
y?3u?3?u?1
,则
u?1
,
u?x?1
16.解:令,则
设
u?1?u?t?0
2
,则
0?t?u
min
11
u?(t?)
?1
2t
,且.
31112<
br>y?(t?)?3?(t?)?t?t??3
2t2tt
当
u?0
时,
,
由于
0?t?1
,故函数单调递减,所以
y?1?2?3?6
.
3111
y??(t?)?3?(t?)?t
2t2t
当
u?0时,
2
4?32
1
t?
x?
??2t??3?3?2
2
2
,即
4
t
(当且仅当时取等号)
所以函数的值域为
(??,3?22]U[6,??)
.
e?
17
.解:(1)由
2
222
2
得
a?2c?2b
,所以椭圆的
方程为
x?2y?2b?0
,
?
x
2
?2y
2<
br>?2b
2
?0
?
22
y?2x?1
9x?8x?(2
?2b)?0
,
?
由得
2
??64?36(2?2b)
,
所以
AB?
由
?85
8
1?2
2
?
5
99
,即
b
2
?1
,
9
得<
br>x
2
?y
2
?1
所以椭圆
C
的方程为
2
.
(2)设
l
:
x?my?2
,且
E(x<
br>1
,y
1
)
、
F(x
2
,y
2)
,
?
x
2
?2y
2
?2?0
?<
br>22
x?my?2
(m?2)y?4my?2?0
,
?
由得
2
m?2
,且
??0
所以由解得
y
1
?y
2
??
4m2
y?y?
12
m
2
?2,
m
2
?2
①
?
?
由
S
?
OME
S
?OMF
1
?OM?y
1
?
2
1
?OM?y
2
y?
?
y
2
2
得,
1
②
?
m
2
?211
???
222
(1
?
?
)8m84m
由①②得,
1
?
1
??
2
8(1?
?
)4
,解得
0?
?
?3?22,且
?
?1
. 所以
1111
???????
k
2
k
?12
k
?22
k?1
?1
18.证明:(
1)
2
1112
k
?
k
?
k
?????<
br>k
?
k
?1
2
44
2
2443
22
1
2
k
个
.
1111
????????1
kkkk?1
2?12?22?1
,
(2)由(1)知,
2
111
11
kkk?1
kk
故以边长
为
2
,
2?1
,
2?2
,…,
2?1
的正
方形可以并排放入底为
1
,高为
2
的矩形内,而不重
叠.
取
k?2,3,4
,…,即得底分别为
111111
??????
??????
2
2
2
2
?12
3
?1
,<
br>2
3
2
3
?12
4
?1
,
111
1
11
??????
2
4
2
4
?12
5<
br>?1
,高分别为
2
2
,
2
3
,
2<
br>4
,…的一系列矩形,
这些矩形的底小于
1
,高的和为
11
(1?)2n
111
22
?
3
?
4
?????lim<
br>2
x??
111
1
222
?lim(1?
n
)?
1?
x??
222
.
2
11111
因此,以
1
,
2
,
3
,…,
n
,…为边长的正方形
中,除了边长为
1
,
2
,
3
的正方形外,其余的正方形全<
br>1
部可以放入底为
1
,高为
2
的矩形中(如图阴影部分).
113
而边长为
1
,
2
,
3
的三个正方形
显然可以放入底为
2
,高为
1
的矩形内(如图).
19.证明:如图.
(1)由于
?ADC?90
,故
AC?CD?AD
.
因为
对角线
AC?BD
,所以
?DCA?90??BDC??ADB
.
o
o
222
ADAB
??AD
2
?AB?CD
o<
br>而
?ADC?90??BAD
,则
?ACD:?BDA
,故
C
DAD
.
因此,有
AC?CD?AB?CD
.
(2)由于
?ADC?90
,故
AC?CD?AD
,
o<
br>222
22
AC?CDAC?CDAC?CDAC
???
222
ADAB?CDAB
.
所以
AC?CD
因为
?BAD??DEB?180
,
所以
A
、
B
、
E
、
D
四点共圆,故
?AEB?
?ADB
.
o
由于
?BAC?90??CAD??ADB
,
且
?AEB??BAC
,
?EBA??ABC
,
o
AECA
?
?ABE:?CBA
AB
. 则,故
BE
AEAC?CD
?
22
所以
BEAC?CD
.
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