2018年贵州省高中数学联赛试题

2018年贵州省高中数学联赛试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：每小题6分，本大题共30分.
1.小王在
word
文档中设 计好一张
A4
规格的表格，根据要求，这种规格的表格需要设计
1000
张， 小王欲
使用“复制——粘贴”（用鼠标选中表格，右键点击“复制”，然后在本
word
文档中“粘贴”）的办法满
足要求.请问：小王需要使用“复制——粘贴”的次数至少为（ ）
A．
9
次 B．
10
次 C．
11
次 D．
12
次
2.已知一双曲线的 两条渐近线方程为
x?3y?0
和
3x?y?0
，则它的离心率是（ ）
A．
2
B．
3
C．
22
D．
3?1

B(0,1,0)，
C(0,0,1)
，3.在空间直角坐标系中，已知
O(0,0,0)
，
A(1,0,0)
，则到面
OAB
、面
OBC
、面
OAC
、
面
ABC
的距离相等的点的个数是（ ）
A．
1
B．
4
C．
5
D．无穷多
22
4.若圆柱被一平 面所截，其截面椭圆的离心率为
3
，则此截面与圆柱底面所成的锐二面角是（ ）
arcsin
A．
1122
arccosarcsinarccos
3 B．
3
C．
3
D．
3

5.已知等差数列
?
a
n
?
及< br>?
b
n
?
，设
A
n
?a
1
?a
2
?????a
n
，
B
n
?b
1?b
2
?????b
n
，若对
?n?N
*
，有
A
n
3n?5
a
10
?
?
B
n< br>5n?3
，则
b
6
（ ）
31175155
35
A．
33
B．
29
C．
99
D．
87

二、填空题（每小题6分，本大题共60分）
6.已知
O
为
?ABC
所在平面上一定点，动点
P
满足
的轨迹为 ．
uuuruuur
uuuruuur
ABAC
OP?OA?
?< br>(
uuur
?
uuur
)
ABAC
，其
?< br>?[0,??)
，则
P
点
7.牛得亨先生、他的妹妹、他的儿子，还有 他的女儿都是网球选手.这四人中有以下情况：①最佳选手的孪

生同胞与最差选手性别不 同；②最佳选手与最差选手年龄相同.则这四人中最佳选手是 ．
?
x< br>2
?y
2
?26
?
xy(x?y)??6
的实数解为 ． 8.方程组
?
9.如图，在
?ABD
中，点
C
在
AD
上，
?ABC?
?
2
，
?DBC?
?
6
，
AB?CD?1
，则
AC?
．

22
z?2x?2x?1?2x?10x?13
的最小值是 ． 10.函数
11.若边长为
6
的正
?ABC
的三个顶点到平面< br>?
的距离分别为
1
，
2
，
3
，则
? ABC
的重心
G
到平面
?
的距
离为 ．
12.若实数
a
使得不等式
x?2a?2x?a?a
2
对任 意实数
x
恒成立，则实数
a
的取值范围 ．
x
a?x(a?0,a?1)
有两个不等实根，则实数
a
的取值范围是 ． 13.若方程
22
x?y?9
与双曲线
xy?3
的交点，14. 顺次连结圆得到一个凸四边形.则此凸四边形的面积为 ．
15.函数
y ?2(5?x)sin
?
x?1(0?x?10)
的所有零点之和等于 ．
三、解答题（每小题15分，本大题共60分）
2
y?3x?x?2x
，求该函数的值域. 16.已知函数
2
x< br>2
y
2
e?
??1(a?b?0)
2
2
，直 线
y?2x?1
与
C
交于
A
、
B
两点，且
b
2
17.已知椭圆
C
：
a
的离心率
AB ?
8
5
9
.
（1）求椭圆
C
的方程；
（2）过点
M(2,0)
的直线
l
（斜率不为零）与椭圆
C
交于不同的两点
E
、
F
（
E
在点
F
、M
之间），记

?
?
S
?OME
S
?OMF
，求
?
的取值范围.
1111
????????1
kkkk?1
(n?2,n?N)
；
2?12?22?1
18.证明：（1）
2
1113
（2）分别以< br>1
，
2
，
3
，…，
n
，…为边长的正方形能 互不重叠地全部放入一个边长为
2
的正方形内.

19.已知梯形
ABCD
，边
CD
、
AB
分别为上、下底，且
?ADC?9 0
，对角线
AC?BD
，过
D
作
DE?BC
于点< br>E
.
o

（1）证明：
AC?CD?AB?CD
；
22
AEAC?CD
?
22
（2）证明：
BEAC?CD< br>.

参考答案
一、选择题
1-5: BACBB
二、填空题
?
x??1
?
x?3
??
y?3y??1
6.
?BAC
的角平分线 7. 牛得亨先生的女儿 8.
?
或
?
?
24
?
?
0,,,2
?
3
9 .
2
10.
10
11.
?
33
?

?
33
?
1
?,
??
e
12.
?
22
?
13.
1?a?e
14.
65
15.
60

三、解答题
2
y?3u?3?u?1
，则
u?1
，
u?x?1
16.解：令，则
设
u?1?u?t?0
2
，则
0?t?u
min
11
u?(t?)
?1
2t
，且.
31112< br>y?(t?)?3?(t?)?t?t??3
2t2tt
当
u?0
时， ，
由于
0?t?1
，故函数单调递减，所以
y?1?2?3?6
.
3111
y??(t?)?3?(t?)?t
2t2t
当
u?0时，
2
4?32
1
t?
x?
??2t??3?3?2 2
2
，即
4
t
（当且仅当时取等号）
所以函数的值域为
(??,3?22]U[6,??)
.
e?
17 .解：（1）由
2
222
2
得
a?2c?2b
，所以椭圆的 方程为
x?2y?2b?0
，
?
x
2
?2y
2< br>?2b
2
?0
?
22
y?2x?1
9x?8x?(2 ?2b)?0
，
?
由得
2
??64?36(2?2b)
， 所以

AB?
由
?85
8
1?2
2
?
5
99
，即
b
2
?1
，
9
得< br>x
2
?y
2
?1
所以椭圆
C
的方程为
2
.
（2）设
l
：
x?my?2
，且
E(x< br>1
,y
1
)
、
F(x
2
,y
2)
，
?
x
2
?2y
2
?2?0
?< br>22
x?my?2
(m?2)y?4my?2?0
，
?
由得
2
m?2
，且
??0
所以由解得
y
1
?y
2
??
4m2
y?y?
12
m
2
?2，
m
2
?2
①
?
?
由
S
? OME
S
?OMF
1
?OM?y
1
?
2
1
?OM?y
2
y?
?
y
2
2
得，
1
②
?
m
2
?211
???
222
(1 ?
?
)8m84m
由①②得，
1
?
1
??
2
8(1?
?
)4
，解得
0?
?
?3?22，且
?
?1
. 所以
1111
???????
k
2
k
?12
k
?22
k?1
?1
18.证明：（ 1）
2
1112
k
?
k
?
k
?????< br>k
?
k
?1
2
44
2
2443
22
1
2
k
个
.
1111
????????1
kkkk?1
2?12?22?1
， （2）由（1）知，
2
111
11
kkk?1
kk
故以边长 为
2
，
2?1
，
2?2
，…，
2?1
的正 方形可以并排放入底为
1
，高为
2
的矩形内，而不重
叠.
取
k?2,3,4
，…，即得底分别为
111111
?????? ??????
2
2
2
2
?12
3
?1
，< br>2
3
2
3
?12
4
?1
，
111 1
11
??????
2
4
2
4
?12
5< br>?1
，高分别为
2
2
，
2
3
，
2< br>4
，…的一系列矩形，

这些矩形的底小于
1
，高的和为
11
(1?)2n
111
22
?
3
?
4
?????lim< br>2
x??
111
1
222
?lim(1?
n
)?
1?
x??
222
.
2
11111
因此，以
1
，
2
，
3
，…，
n
，…为边长的正方形 中，除了边长为
1
，
2
，
3
的正方形外，其余的正方形全< br>1
部可以放入底为
1
，高为
2
的矩形中（如图阴影部分）.
113
而边长为
1
，
2
，
3
的三个正方形 显然可以放入底为
2
，高为
1
的矩形内（如图）.

19.证明：如图.
（1）由于
?ADC?90
，故
AC?CD?AD
.
因为 对角线
AC?BD
，所以
?DCA?90??BDC??ADB
.
o
o
222
ADAB
??AD
2
?AB?CD
o< br>而
?ADC?90??BAD
，则
?ACD:?BDA
，故
C DAD
.
因此，有
AC?CD?AB?CD
.
（2）由于
?ADC?90
，故
AC?CD?AD
，
o< br>222
22
AC?CDAC?CDAC?CDAC
???
222
ADAB?CDAB
. 所以
AC?CD
因为
?BAD??DEB?180
，
所以
A
、
B
、
E
、
D
四点共圆，故
?AEB? ?ADB
.
o

由于
?BAC?90??CAD??ADB
，
且
?AEB??BAC
，
?EBA??ABC
，
o
AECA
?
?ABE:?CBA
AB
. 则，故
BE
AEAC?CD
?
22
所以
BEAC?CD
.