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2017福建省高中数学竞赛预赛试题

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-22 12:05
tags:高中数学联赛试题

人教a版高中数学必修2视频教学-高中数学六个重要思想

2020年9月22日发(作者:金彤)



2017年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛
暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案
(考试时间:2017年5月21日上午9:00-11:30,满分160分)
一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)
1. 已知集合
A?
?
xlog
2
(x?1)?1
?
,< br>B?
?
x
取值范围为 。
,5

)
【答案】
(?1
x?a?2
?
,若
A?B??
,则实数
a

【解答】由
log
2
(x?1)?1
,得
0?x?1?2

1?x?3
A?(1,3)


x?a?2
,得
?2?x?a?2

a?2?x?a?2

B?(a?2,a?2)


A?B??
,则
a?2?1

a?2?3

a??1

a?5

5)
。 ∴
A?B??
时,
a
的取值范围为
(?1,
2.已知
f(x)
是定义在
R
上的奇函数,且函数
y?f(x?1)
为偶函数,当
?1?x?0
时,9
f(x)?x
3
,则
f()?

2
【答案】
1

8
【解答】由函数
y?f(x ?1)
为偶函数,知
f(?x?1)?f(x?1)


f(x)
为奇函数,

f(x?2)?f(?x)??f( x)

f(x?4)??f(x?2)?f(x)

91111

f()?f()??f(?)??(?)
3
?

22228
3.已知
?
a
n
?
为等比数列,且
a
1
a
2017
?1
,若
3
f(x)?
2
1?x
2
,则
f(
1
a?)f(a)
2
?fL(?a)?
2

f

0
(

a

?

)

【答案】
2017

12222x
2
2
???
2
?2
。 【解答】由< br>f(x)?
知,
f(x)?f()?
2
22
1
1?x
x1?x
1?()
2
1?xx?1
x

?a
n
?
为等比数列,且
a
1
a
2017
?1


a
1
a
201
?aa
3
?L
201
?a
7
aa
22
?
0165< br>∴
f(a)?
1
)?f(a
2017

2< br>?
f(a?f(a)
1
)
2
?

1a?2

f(a
2
?)f(a?)
2016
f(a?
3
)f(aL)
5
?
2
?
01

)f (a?(?a
20
)
17
f2
f(L)
3
a??f
2
(a
0
?
1

7
)
?
?
f(a
1
)?f(a
2017
)
?
?
?
f(a
2
)?f(a
2016
)
?
?
?< br>f(a
3
)?f(a
2015
)
?
?L?
?
f(a
2017
)?f(a
1
)
?


1



?2?2017


f(a ?
1
)?f(a
2
)f(
3
a?L)?f()
2< br>a
017
?

20

17
4.将8个三好生 名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级,每班至少1个名额,则甲班恰好
分到2个名额的概率为 。
【答案】
2

7
【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、 丙、丁4个班级,每班至少1个名额的不同
3
分配方案有
C
7
(用隔 板法:将8个名额排成一排,在它们形成的7个空挡中插入3
?35
种。
块隔板,则每 种插入隔板的方式对应一种名额分配方式,反之亦然。)
2
其中,甲班恰好分到2个名额的分 配方案有
C
5
(相当于将6个名额分配个3个
?10
种。
班 级,每班至少1个名额。)
所以,所求的概率为
102
?

35 7
5.三棱锥
P?ABC
中,
△ABC
是边长为
23
的等边三角形,
PB?PC?5
,且二面角
P?BC?A
的大小为
45?
,则三棱锥
P?ABC
的外接球的表面积为 。
【答案】
25
?

【解答】如图,取
BC
中点
D
,连
AD

PD


△ABC< br>是边长为
23
的等边三角形,
PB?PC?5
知,
AD?BC

PD?BC

PD?2

A
二面角
P?BC?A
的平面角,∴
?PD

P
?PDA?45?

BC?面PAD

面PAD?面ABC


PO
1
?AD

O
1
,则
PO
1
?面ABC


PO
1
?O
1
D?1

O
1
A?2

O
1

△ABC
的外心,三
棱锥
P?ABC
为正三棱锥。
设三 棱锥
P?ABC
外接球的球心为
O
,半径为
R


O
在直线
PO
1
上,且
PO
1
?PO< br>22
R?

(R?1
2
)?2?R

2
A
O
1
B
D
C
?O
1
A
2
?OA
2

5
,三棱锥
P?ABC
的外接2
O
球的表面积为
4
?
R
2
?25
?

x
2
y
2
?1
上一点,
F
1

F
2
为双曲线
C
的左、右焦点,
M
、< br>I
分6.已知
P
为双曲线
C

?
412别为
△PF
1
F
2
的重心、内心,若
MI?x
轴,则
△PF
1
F
2
内切圆的半径为 。
【答案】

6

2



【解 答】如图,不妨设点
P
在第一象限,
D

E

F< br>分别为
⊙I

△PF
1
F
2
三边相切的切< br>点。
则由切线长定理以及双曲线定义,得
2a?PF
1
?PF2
?(PF?FF
1
)?(PE?EF
2
)?FF
1< br>?EF
2
?FD?F
2
D

1
?(x
D
?c)?(c?x
D
)?2x
D


x< br>D
?a?2

x
M
?x
I
?x
D< br>?2


P(x
0
,y
0
)
,由
M

△PF
1
F
2
重心,知
x
0
?3x
M
?6

y
0
?46


PF
1
?(6?4)
2
?(46?0)
2< br>?14

PF
2
?(6?4)
2
?(46?0)< br>2
?10


△PF
1
F
2
内切圆半径为
r
,则 < br>S
1
△PF
1
F
2
?
2
(PF1
?PF
2
?F
1
F
2
)?r?16r

另一方面,
S
11
△PF
1
F
2
?
2
?F
1
F
2
?y
0
?
2?8?46?166


16r?166

r?6

7.在
△ABC
中, 内角
A

B

C
所对的边分别是
a
b

c
,且
nsicosC2(
A
2
cos? n)si?C
cosA?
3
5

a?4
,则
△AB C
的面积为 。
【答案】
6

【解 答】由
sinCcos
A
?(2?cosC)sin
A
,知
2sinCcos
2
AAA
222
?2(2?cosC)sin
2< br>cos
2


sinC(?1cAos?)?(2Ccos

A)
sinC?sinCcosA?2sinA?cosCsinA

∴ sinC?siCncAo?sCcosA?sin,A2
sinC?sin(C?A) ?2sinA


sinC?siBn?2sA
,即
inc?b?2a


cosA?
3
5

a?4

∴ < br>4
2
?b
2
?c
2
?2bccos
,即A
4
2
?b
2
?(8?b)
2
?2b(8?b )?
3
5
,解得
b?3

b?5


3
A
2



?
b?3
?
b?5

?
,或
?

c?5c?3
??
114

△ABC
的面积
S?bcsinA??3?5??6

2258.若关于
x
的方程
x
2
?ax?b?3?0

a

b?R
)在区间
?
1,2
?
上有实根,则< br>a
2
?(b?4)
2
的最小值为 。
【答案】
2

【解答】由
x
2
?ax?b ?3?0
知,
b??x
2
?ax?3

22

a
2
?(b?4)?a
2
?(?x
2
?ax?1)
222

?ax?a?(x?1)?2ax(
2
x?1)
? (x
2
?1)(x
2
?1?2ax?a
2
)?(x
2
?1)(x?a)
2
?x
2
?1


x?
?
1,2
?

2

a
2
?(b?4)?x
2
?1?
,当
2
x?1
a??1

b?3
时,等号成立。

a
2
?(b?4)
2
的最小值为2。
9.函数
f(x)?2x?7?12?x?44?x
的最大值为 。
【答案】
11

【解答】由柯西不等式知,
(2x?7? 12?x?44?x)
2
?(3?
?(3?2?6)(
2x?712?x44 ?x
2
?2??6?)

326
2x?712?x44?x
??)?11
2

326
9436
6
??
,即,
x?8
时等号成立。
2x?712?x44?x
44?x
6
当且仅当
32
??< br>2x?712?x
32

f(x)
的最大值为11。
1 0.
A

B

C
为圆
O
上不同的三点,且
?AOB?120?
,点
C
在劣弧
?
AB
内(点< br>C

A

B
uuuruuruuur
不重合),若< br>OC?
?
OA?
?
OB

?

?< br>?R
),则
?
?
?
的取值范围为 。
【答案】
?
1,2
?

【解答】如图,连结
OC

AB
于点
D

uuuruuur
uuuruuruuur

OD?mOC
,则由
OC?
?
OA?
?
OB
,得
uuuruuruuurOD?m
?
OA?m
?
OB


A

D

B
三点共线,

m
?
?m
?
?1

?
?
?
?
1< br>。
m
C
A
E
O
D
B
不妨设圆的半 径为1,作
OE?AB

E
,由
?AOB?120?
,知< br>
4



OE?
1

2
1
,且点
C
在劣弧
?

AB
内(点
C

A

B
不重合)
2
?

OD?OE

1
?m?1
。于是,
1?
?
?
?
?2

2

?
?
?
的取值范围为
?
1,2
?
另解:如图,以
O
为原点,线段
AB
的垂直平分线所在直线为
y
轴建立直角坐标系。
不妨设圆
O
半径为2,则由
?AOB?120 ?
,知
A(?3,1)

B(3,1)

2sin
?
)
。 设
C(2cos
?

u uuruuruuur
则由
OC?
?
OA?
?
OB
,得
(2cos
?
,2sin
?
)?
?
(?3, 1)?
?
(3,1)


?
?
?
?2sin
?

∵ 点
C
在劣弧
?

AB
内(点
C

A

B
不重合)
??
?
?150?

30


1
?sin
?
?

1
?
?
?
?2sin
?
?
?
1,2
?

2

?
?
?
的取值范围为
?
1,2
?


















5



二、解答题(共5小题,每小题20分,满分100分。要求写出解题过程)
11.若数列< br>?
a
n
?
中的相邻两项
a
n

a< br>n?1
是关于
x
的方程
x
2
?nx?c
n< br>?0

n?
1,2,3,…)
的两个实根,且
a
1< br>?1

(1)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)设< br>b
n
?c
2n?1
,求数列
?
b
n
?
的通项公式及
?
b
n
?
的前
n
项的和< br>T
n

(必要时,可以利用:
1
2
?2
2
?3
2
?L?n
2
?
n(n?1)(2n?1)

6
【解答】(1)依题意,由韦达定理,得
a
n
?a
n?1
?n

c
n
?a
n
a
n?1


(a
n?1
?a
n?2
)?(a
n
?a
n?1
)?(n?1)?n?1
,即
a
n?2
?an
?1
。 ……………… 5分

a
1
a
3

a
5
,…;和
a
2

a
4

a
6
,…,都是公差为1的等差数列。

a
1
?1

a
2
?1?a
1
?0

∴ 对
?k?N
*

a
2k?1
?k

a
2k
?k?1

?
n?1
,n为奇数?
?
2

a
n
?
?
。 ……………………… 10分
?
n?2
,n为偶数
?
?2
(2)由(1)知,
b
n
?c
2n?1
?a
2n?1
?a
2n
?
2n?1?12n?2
??n(n?1)?n
2
?n

22
……………………………… 15分

Tn
?(1
2
?2
2
?3
2
?L?n
2
)?(1?2?3?L?n)?
?
n(n?1)(n?1)

3
n(n?1)(2n?1)n(n?1)
?

62
……………………………… 20分











6



x
2
y
2
2
12.已知椭圆< br>C

2
?
2
?1

a?b?0
)过 点
P(?2,
。过点
P
作两
1)
,且离心率为
ab
2
条互相垂直的直线分别交椭圆于
A

B
两点(
A

B
与点
P
不重合)。求证:直线
AB
过定点,< br>并求该定点的坐标。
41
ca
2
?b
2
2
【解答】依题意,有
2
?
2
?1
,且
?

?
ab
aa2
解得
a
2
?6

b
2
?3

x
2
y
2
?1
。 …………………………… 5分 ∴ 椭圆
C
的方程为
?
63
易知 直线
AB
斜率存在,设
AB
方程为
y?kx?m

?
y?kx?m
?

?
x
2
y
2
,得
??1
?
3
?
6
(2k
2
?1) x
2
?4mkx?2m
2
?6?0
……… ①

A(x
1
,y
1
)

B(x
2
,y2
)

4mk
2m
2
?6

x1
?x
2
??
2

x
1
x
2
?

2
2k?1
2k?1

………………………… 10分
uuruur

PA?PB
知,
PA?PB?0


(x
1
?2)x(
2
?2?)y
1
(?1y
2
)(??1x)
1
?(x
2
2?)(

?1)?k2x(?k
2
x1?)(m?
1
)?m0
即 < br>(k
2
?1)x
1
x
2
?(km?k?2)(x1
?x
2
)?m
2
?2m?5?0

2m< br>2
?64mk
?(km?k?2)?(?
2
)?m
2
?2m?5?0
。 ∴
(k?1)?
2
2k?12k?1
2

3m
2
?8mk?4k
2
?2m?1?0
。 …………………………… 15分
m?2k?1)m(?k2?

(31?)

1)
,知
m?2k?1?0
。 由直线AB
不过点
P(?2,
k?1?

0
m?

3m?2
2121
k?
,直线
AB
方程化为
y?k x?k?

3333
21
?)
。 …………………………… 20分 ∴ 直线
AB
过定点
D(?,
33




7



13.如图,
PA

PBC
分别是圆
O
的切线和割线,其中
A
为切点,
M
为切线PA
的中点,

AD

BC
相交于点
E
,弦
AB
延长线上的点
F
,满足
?FBD??FED

求证:
P

F

D
三点共线的充分必要条件是M

B

D
三点共线。
【解答一】由
PA
为圆
O
的切线知,
?PAD??ABD?180?

A< br>M
P
B
F
D
E
C

?FBD??A BD?180?

??F

E

?PAD??FBD
∥AP

EF
。 ………………… 5分
(1)若
M

B

D
三点共线。
设直线
AB

DP
交于点
F
1

(第13题)

A
M
P
F
F
1
B
E
C
AM
PF
1
DE
则由塞瓦定理知,
? ??1

MPF
1
DEA
…………………………… 10分

AM?MP


PF
1
AE

EF
1
∥AP

?
F
1
DED
D
又点
F

F
1< br>均在直线
AB
上,因此
F

F
1
重合。

P

F

D
三点共线。 ……………………………… 15分
(2)若
P

F

D
三点共线。
设直线
DB

AP
相交于点
M
1
则由塞瓦定理知,
A
M
M
1
B
F
D
E
C
AM
1
PFDE
???1

M
1
PFDEA
P

EF∥AP


PFAE
?

FDED
AM
1
?1
,< br>AM
1
?M
1
P

M
1

PA
的中点
M
1
P
M

M
1
重合 。

M

B

D
三点共线。
由( 1)、(2)可得,
P

F

D
三点共线的充分必要条件是
M

B

D
三点共线。
………………………………………………… 20分





8



【解答二】由
?FBD??FED
知,
B

F

D

E
四点共圆。
E

?AFE??BD

A
M
P
B
F
D
E
C

PA
为圆
O
的切线知 ,
?BDE??PAF

??P

A

?AFE??BDE
∥AP

EF
。………………… 5分
(1)若
M

B

D
三点共线。
连结
BM

DP

DF


M
为切线
PA
的中点知,
MPMB
?
MP
2
?MA
2
?MB?MD
,即。
MDMP
A
M
P
B
F
E
C
………………… 10分
∽△MDP

△MPB

??A

P

?MDP??MP B
D
又由
B

F

D

E
四点共圆以及
EF∥AP
知,
?MDF??BDF??BEF??APB

P

?MDF??MD


P

F

D
三点共线。 ………………… 15分
(2)若
P

F

D
三点共线。
设直线
DB

AP
相交于点
M
1
,则
?PDM< br>1
??FDB??FEB??M
1
PB


?PM
1
B??DM
1
P


△M
1
PB∽△M
1
DP

2

M
1
P?M?MD

1
B
1

A
M
1
M
P
B
F
D
E
C

M
1
A
2
?M
1
B?M
1
D

M
1
P
2
?M
1
A
2

M
1
P?M
1
A

因此,
M
1

PA
的中点,
M

M
1
重合。

M

B

D
三点共线。
由(1)、(2)可得,
P

F

D
三点共线的充分必要条 件是
M

B

D
三点共线。
………………………………… 20分






9



14.已知
a?0

f (x)?ln(2x?1)?2ax?4ae
x
?4

(1)当
a?1
时,求
f(x)
的最大值;
(2)判断函数
f(x)
零点的个数,并说明理由。
【解答】(1)当a?1
时,
f(x)?ln(2x?1)?2x?4e
x
?4

f
?
(x)?
1
4

x??
时,f
??
(x)???4e
x
?0

2
2
(2x?1)
1
??)
上为减函数。 ∴
f
?
(x)

(?,
2
2
?2?4e
x< br>。
2x?1

f
?
(0)?2?2?4?0


?
1
?x?0
时,
f
?
(x)?0

x?0
时,
f
?
(x)?0

2
?
1
?

f(x)
在区间
?
?,0
?
上为增函数,在
?
0,??
?
上为减函数。
?
2
?

a?1
时,
f(x)
的最大值为
f(0)?0
。 ……………………………… 5分
(2)
f
?
(x)?
2
4
?2a?4ae
x

f
??
(x)???4ae
x

2
2x?1
(2x?1)
1

a?0
,且
x??
时,
f
??
(x)?0

2
1
??)
上为减函数。 ∴
f
?
(x)

(?,
2
1

x??
时,
f
?
(x)???

x???
时,f
?
(x)???

2

f
?
(x)
存在唯一实根,设此根为
x
0


?
1
?x?x
0
时,
f
?
(x)?0

x?x
0
时,
f
?
(x)?0

2
?
1
?

f(x)
在区间
?
?,x
0
?
上为增函数,在
?
x
0
,??
?
上为减函数。
f(x)
有最大值
f(x
0
)
2
??
……………………………………… 10分
① 当a?1时,由(1)知,
f(x)
有唯一零点。
② 当
0?a?1
时,由
f
?
(0)?2?2a?4a?2?2a?0
知,
x
0
?0


f(x

0f(0?)?4a?4?
0
)?
1

x??
时,
f(x)???

x???
时,
f(x)???

2

10



1
x
0
)

(x
0


f(x)
在区间
(?,
??)
内各有一个零点。
2
∴ 当
0?a?1
时,
f(x)
有两个零点。 …………………… 15分
③ 当
a?1
时,由
f
?
(0 )?2?2a?0
,知
?

f
?
(x
0
) ?
1
?x
0
?0

2
22
?2a?4a e
x
0
?0
,知
4ae
x
0
??2a
2x
0
?12x
0
?1
4x?l
0
n(?2ax?1
0
)
2
2?(a?

2x
0
?1
2)4

f(x
0
)?l nx(
0
2??1)ax
0
2?ae
x
0
4??< br>?ln(2x
0
?1)?2ax
0
?

g(x)?l n(2x?1)?2ax?

?
1
2

??x
0
?0
)。
? 2a?4

2
2x
0
?1
2
?2a?4

2x?1
1
24
?x?0
时,
g
?
(x) ??2a??0

2
2x?1(2x?1)
2
?
1
?

g(x)
在区间
?
?,0
?
上为增函数。
2
??

?
1
?x?0
时,
g(x) ?g(0)?2?2a?0
。于是,
f(x
0
)?0

2

a?1
时,
f(x)
不存在零点。
综合 得,当
0?a?1
时,
f(x)
有两个零点;当
a?1
时,
f(x)
只有1个零点;当
a?1
时,
f(x)
不存在零点 。 …………………………… 20分













11



15.设
a1

a
2

a
3

a
4
a
5
是5个正实数(可以相等)。证明:一定存在4个互不相同的
下标
i

j

k

l
,使得
a
i
a
k
1
??

a
j
a
l< br>2
【解答】不妨设
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
,考虑以下5个分数:
a
a
1< br>aaa

3

1

2

4
,……………………… ①
a
2
a
4
a
5
a3
a
5
它们都属于区间
?
0,1
?
。 …………………………………… 5分
?
1
??
1
??
1
??
1
?
把区间
?
0,
1
?
,由 抽屉原理知,区间
?
0,
?

?
,1
?
中 一
1
?
分成两个区间:
?
0,
?

?
2222
????????
定有一个区间至少包含①中的3个数(记这3个数依 次为
a

b

c
)。
………………………………………… 10分
将①中的5个数依次围成一个圆圈,则①中任意 三个数中都有两个数是相邻的(
是相邻的)。即
a

b

c
中至少有两个数是相邻的。
………………………………………… 15分
假设
a

b
相邻,则
a?b?
1
2
a
1
a

4
a
2
a
5另一方面,由①中5个分数的分子、分母的下标特征知,围成的圆圈中,任意相邻两个
分数的分子、 分母的4个下标互不相同。
于是,
a

b
对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求。
因此,结论成立。 ………………………………… 20分












12

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