人教a版高中数学必修2视频教学-高中数学六个重要思想
2017年全国高中数学联赛(福建省赛区)预赛
暨2017年福建省高中数学竞赛试卷参考答案
(考试时间:2017年5月21日上午9:00-11:30,满分160分)
一、填空题(共10小题,每小题6分,满分60分。请直接将答案写在题中的横线上)
1.
已知集合
A?
?
xlog
2
(x?1)?1
?
,<
br>B?
?
x
取值范围为 。
,5
)
【答案】
(?1
x?a?2
?
,若
A?B??
,则实数
a
的
【解答】由
log
2
(x?1)?1
,得
0?x?1?2
,
1?x?3
,A?(1,3)
。
由
x?a?2
,得
?2?x?a?2
,
a?2?x?a?2
,
B?(a?2,a?2)
。
若
A?B??
,则
a?2?1
或
a?2?3
,
a??1
或
a?5
。
5)
。 ∴
A?B??
时,
a
的取值范围为
(?1,
2.已知
f(x)
是定义在
R
上的奇函数,且函数
y?f(x?1)
为偶函数,当
?1?x?0
时,9
f(x)?x
3
,则
f()?
。
2
【答案】
1
8
【解答】由函数
y?f(x
?1)
为偶函数,知
f(?x?1)?f(x?1)
。
又
f(x)
为奇函数,
∴
f(x?2)?f(?x)??f(
x)
,
f(x?4)??f(x?2)?f(x)
。
91111
∴
f()?f()??f(?)??(?)
3
?
。
22228
3.已知
?
a
n
?
为等比数列,且
a
1
a
2017
?1
,若
3
f(x)?
2
1?x
2
,则
f(
1
a?)f(a)
2
?fL(?a)?
2
f
0
(
a
?
)
。
【答案】
2017
12222x
2
2
???
2
?2
。 【解答】由<
br>f(x)?
知,
f(x)?f()?
2
22
1
1?x
x1?x
1?()
2
1?xx?1
x
∵
?a
n
?
为等比数列,且
a
1
a
2017
?1
,
∴
a
1
a
201
?aa
3
?L
201
?a
7
aa
22
?
0165<
br>∴
f(a)?
1
)?f(a
2017
∴
2<
br>?
f(a?f(a)
1
)
2
?
。
1a?2
f(a
2
?)f(a?)
2016
f(a?
3
)f(aL)
5
?
2
?
01
。
)f
(a?(?a
20
)
17
f2
f(L)
3
a??f
2
(a
0
?
1
7
)
?
?
f(a
1
)?f(a
2017
)
?
?
?
f(a
2
)?f(a
2016
)
?
?
?<
br>f(a
3
)?f(a
2015
)
?
?L?
?
f(a
2017
)?f(a
1
)
?
1
?2?2017
。
∴
f(a
?
1
)?f(a
2
)f(
3
a?L)?f()
2<
br>a
017
?
。
20
17
4.将8个三好生
名额分配给甲、乙、丙、丁4个班级,每班至少1个名额,则甲班恰好
分到2个名额的概率为
。
【答案】
2
7
【解答】将8个三好生名额分配给甲、乙、
丙、丁4个班级,每班至少1个名额的不同
3
分配方案有
C
7
(用隔
板法:将8个名额排成一排,在它们形成的7个空挡中插入3
?35
种。
块隔板,则每
种插入隔板的方式对应一种名额分配方式,反之亦然。)
2
其中,甲班恰好分到2个名额的分
配方案有
C
5
(相当于将6个名额分配个3个
?10
种。
班
级,每班至少1个名额。)
所以,所求的概率为
102
?
。
35
7
5.三棱锥
P?ABC
中,
△ABC
是边长为
23
的等边三角形,
PB?PC?5
,且二面角
P?BC?A
的大小为
45?
,则三棱锥
P?ABC
的外接球的表面积为
。
【答案】
25
?
【解答】如图,取
BC
中点
D
,连
AD
,
PD
。
由
△ABC<
br>是边长为
23
的等边三角形,
PB?PC?5
知,
AD?BC
,
PD?BC
,
PD?2
。
A
二面角
P?BC?A
的平面角,∴
?PD
为
P
?PDA?45?
,
BC?面PAD
,
面PAD?面ABC
。
作
PO
1
?AD
于
O
1
,则
PO
1
?面ABC
。
∴
PO
1
?O
1
D?1
,
O
1
A?2
,
O
1
为
△ABC
的外心,三
棱锥
P?ABC
为正三棱锥。
设三
棱锥
P?ABC
外接球的球心为
O
,半径为
R
。
则
O
在直线
PO
1
上,且
PO
1
?PO<
br>22
R?
∴
(R?1
2
)?2?R
,
2
A
O
1
B
D
C
?O
1
A
2
?OA
2
。
5
,三棱锥
P?ABC
的外接2
O
球的表面积为
4
?
R
2
?25
?
。
x
2
y
2
?1
上一点,
F
1
、
F
2
为双曲线
C
的左、右焦点,
M
、<
br>I
分6.已知
P
为双曲线
C
:
?
412别为
△PF
1
F
2
的重心、内心,若
MI?x
轴,则
△PF
1
F
2
内切圆的半径为 。
【答案】
6
2
【解
答】如图,不妨设点
P
在第一象限,
D
、
E
、
F<
br>分别为
⊙I
与
△PF
1
F
2
三边相切的切<
br>点。
则由切线长定理以及双曲线定义,得
2a?PF
1
?PF2
?(PF?FF
1
)?(PE?EF
2
)?FF
1<
br>?EF
2
?FD?F
2
D
1
?(x
D
?c)?(c?x
D
)?2x
D
∴
x<
br>D
?a?2
,
x
M
?x
I
?x
D<
br>?2
。
设
P(x
0
,y
0
)
,由
M
为
△PF
1
F
2
重心,知
x
0
?3x
M
?6
,
y
0
?46
。
∴
PF
1
?(6?4)
2
?(46?0)
2<
br>?14
,
PF
2
?(6?4)
2
?(46?0)<
br>2
?10
。
设
△PF
1
F
2
内切圆半径为
r
,则 <
br>S
1
△PF
1
F
2
?
2
(PF1
?PF
2
?F
1
F
2
)?r?16r
。
另一方面,
S
11
△PF
1
F
2
?
2
?F
1
F
2
?y
0
?
2?8?46?166
。
∴
16r?166
,
r?6
。
7.在
△ABC
中,
内角
A
、
B
、
C
所对的边分别是
a
、b
、
c
,且
nsicosC2(
A
2
cos?
n)si?C
cosA?
3
5
,
a?4
,则
△AB
C
的面积为 。
【答案】
6
【解
答】由
sinCcos
A
?(2?cosC)sin
A
,知
2sinCcos
2
AAA
222
?2(2?cosC)sin
2<
br>cos
2
。
∴
sinC(?1cAos?)?(2Ccos
,
A)
sinC?sinCcosA?2sinA?cosCsinA
。
∴ sinC?siCncAo?sCcosA?sin,A2
sinC?sin(C?A)
?2sinA
。
∴
sinC?siBn?2sA
,即
inc?b?2a
。
又
cosA?
3
5
,
a?4
。
∴ <
br>4
2
?b
2
?c
2
?2bccos
,即A
4
2
?b
2
?(8?b)
2
?2b(8?b
)?
3
5
,解得
b?3
或
b?5
。
3
A
2
,
?
b?3
?
b?5
∴
?
,或
?
。
c?5c?3
??
114
∴
△ABC
的面积
S?bcsinA??3?5??6
。
2258.若关于
x
的方程
x
2
?ax?b?3?0
(
a
,
b?R
)在区间
?
1,2
?
上有实根,则<
br>a
2
?(b?4)
2
的最小值为
。
【答案】
2
【解答】由
x
2
?ax?b
?3?0
知,
b??x
2
?ax?3
。
22
∴
a
2
?(b?4)?a
2
?(?x
2
?ax?1)
222
?ax?a?(x?1)?2ax(
2
x?1)
?
(x
2
?1)(x
2
?1?2ax?a
2
)?(x
2
?1)(x?a)
2
?x
2
?1
。
∵
x?
?
1,2
?
,
2
∴
a
2
?(b?4)?x
2
?1?
,当
2
x?1
,a??1
,
b?3
时,等号成立。
∴
a
2
?(b?4)
2
的最小值为2。
9.函数
f(x)?2x?7?12?x?44?x
的最大值为
。
【答案】
11
【解答】由柯西不等式知,
(2x?7?
12?x?44?x)
2
?(3?
?(3?2?6)(
2x?712?x44
?x
2
?2??6?)
326
2x?712?x44?x
??)?11
2
。
326
9436
6
??
,即,
x?8
时等号成立。
2x?712?x44?x
44?x
6
当且仅当
32
??<
br>2x?712?x
32
∴
f(x)
的最大值为11。
1
0.
A
、
B
、
C
为圆
O
上不同的三点,且
?AOB?120?
,点
C
在劣弧
?
AB
内(点<
br>C
与
A
、
B
uuuruuruuur
不重合),若<
br>OC?
?
OA?
?
OB
(
?
,
?<
br>?R
),则
?
?
?
的取值范围为
。
【答案】
?
1,2
?
【解答】如图,连结
OC
交
AB
于点
D
。
uuuruuur
uuuruuruuur
设
OD?mOC
,则由
OC?
?
OA?
?
OB
,得
uuuruuruuurOD?m
?
OA?m
?
OB
。
∵
A
、
D
、
B
三点共线,
∴
m
?
?m
?
?1
,
?
?
?
?
1<
br>。
m
C
A
E
O
D
B
不妨设圆的半
径为1,作
OE?AB
于
E
,由
?AOB?120?
,知<
br>
4
OE?
1
。
2
1
,且点
C
在劣弧
?
,
AB
内(点
C
与
A
、
B
不重合)
2
?
∵
OD?OE
∴
1
?m?1
。于是,
1?
?
?
?
?2
。
2
∴
?
?
?
的取值范围为
?
1,2
?
。 另解:如图,以
O
为原点,线段
AB
的垂直平分线所在直线为
y
轴建立直角坐标系。
不妨设圆
O
半径为2,则由
?AOB?120
?
,知
A(?3,1)
,
B(3,1)
。
2sin
?
)
。 设
C(2cos
?
,
u
uuruuruuur
则由
OC?
?
OA?
?
OB
,得
(2cos
?
,2sin
?
)?
?
(?3,
1)?
?
(3,1)
。
∴
?
?
?
?2sin
?
。
∵
点
C
在劣弧
?
,
AB
内(点
C
与
A
、
B
不重合)
??
?
?150?
∴
30
。
∴
1
?sin
?
?
,
1
?
?
?
?2sin
?
?
?
1,2
?
。
2
∴
?
?
?
的取值范围为
?
1,2
?
。
5
二、解答题(共5小题,每小题20分,满分100分。要求写出解题过程)
11.若数列<
br>?
a
n
?
中的相邻两项
a
n
、
a<
br>n?1
是关于
x
的方程
x
2
?nx?c
n<
br>?0
(
n?
1,2,3,…)
的两个实根,且
a
1<
br>?1
。
(1)求数列
?
a
n
?
的通项公式;
(2)设<
br>b
n
?c
2n?1
,求数列
?
b
n
?
的通项公式及
?
b
n
?
的前
n
项的和<
br>T
n
。
(必要时,可以利用:
1
2
?2
2
?3
2
?L?n
2
?
n(n?1)(2n?1)
)
6
【解答】(1)依题意,由韦达定理,得
a
n
?a
n?1
?n
,
c
n
?a
n
a
n?1
。
∴
(a
n?1
?a
n?2
)?(a
n
?a
n?1
)?(n?1)?n?1
,即
a
n?2
?an
?1
。 ……………… 5分
∴
a
1
,a
3
,
a
5
,…;和
a
2
,
a
4
,
a
6
,…,都是公差为1的等差数列。
又
a
1
?1
,
a
2
?1?a
1
?0
。
∴ 对
?k?N
*
,
a
2k?1
?k
,
a
2k
?k?1
。
?
n?1
,n为奇数?
?
2
即
a
n
?
?
。
……………………… 10分
?
n?2
,n为偶数
?
?2
(2)由(1)知,
b
n
?c
2n?1
?a
2n?1
?a
2n
?
2n?1?12n?2
??n(n?1)?n
2
?n
。
22
……………………………… 15分
∴
Tn
?(1
2
?2
2
?3
2
?L?n
2
)?(1?2?3?L?n)?
?
n(n?1)(n?1)
。
3
n(n?1)(2n?1)n(n?1)
?
62
……………………………… 20分
6
x
2
y
2
2
12.已知椭圆<
br>C
:
2
?
2
?1
(
a?b?0
)过
点
P(?2,
。过点
P
作两
1)
,且离心率为
ab
2
条互相垂直的直线分别交椭圆于
A
、
B
两点(
A
、
B
与点
P
不重合)。求证:直线
AB
过定点,<
br>并求该定点的坐标。
41
ca
2
?b
2
2
【解答】依题意,有
2
?
2
?1
,且
?
。
?
ab
aa2
解得
a
2
?6
,
b
2
?3
。
x
2
y
2
?1
。
…………………………… 5分 ∴ 椭圆
C
的方程为
?
63
易知
直线
AB
斜率存在,设
AB
方程为
y?kx?m
。
?
y?kx?m
?
由
?
x
2
y
2
,得
??1
?
3
?
6
(2k
2
?1)
x
2
?4mkx?2m
2
?6?0
……… ①
设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y2
)
,
4mk
2m
2
?6
则
x1
?x
2
??
2
,
x
1
x
2
?
。
2
2k?1
2k?1
…
………………………… 10分
uuruur
由
PA?PB
知,
PA?PB?0
。
∴
(x
1
?2)x(
2
?2?)y
1
(?1y
2
)(??1x)
1
?(x
2
2?)(
,
?1)?k2x(?k
2
x1?)(m?
1
)?m0
即 <
br>(k
2
?1)x
1
x
2
?(km?k?2)(x1
?x
2
)?m
2
?2m?5?0
。
2m<
br>2
?64mk
?(km?k?2)?(?
2
)?m
2
?2m?5?0
。 ∴
(k?1)?
2
2k?12k?1
2
∴
3m
2
?8mk?4k
2
?2m?1?0
。
…………………………… 15分
m?2k?1)m(?k2?
∴
(31?)
。
1)
,知
m?2k?1?0
。 由直线AB
不过点
P(?2,
k?1?
,
0
m?
∴
3m?2
2121
k?
,直线
AB
方程化为
y?k
x?k?
。
3333
21
?)
。
…………………………… 20分 ∴
直线
AB
过定点
D(?,
33
7
13.如图,
PA
、
PBC
分别是圆
O
的切线和割线,其中
A
为切点,
M
为切线PA
的中点,
弦
AD
、
BC
相交于点
E
,弦
AB
延长线上的点
F
,满足
?FBD??FED
。
求证:
P
、
F
、
D
三点共线的充分必要条件是M
、
B
、
D
三点共线。
【解答一】由
PA
为圆
O
的切线知,
?PAD??ABD?180?
。
A<
br>M
P
B
F
D
E
C
又
?FBD??A
BD?180?
,
??F
。
E
∴
?PAD??FBD
∥AP
∴
EF
。
………………… 5分
(1)若
M
、
B
、
D
三点共线。
设直线
AB
,
DP
交于点
F
1
。
(第13题)
A
M
P
F
F
1
B
E
C
AM
PF
1
DE
则由塞瓦定理知,
?
??1
。
MPF
1
DEA
…………………………… 10分
∵
AM?MP
,
∴
PF
1
AE
,
EF
1
∥AP
。
?
F
1
DED
D
又点
F
、
F
1<
br>均在直线
AB
上,因此
F
、
F
1
重合。
∴
P
、
F
、
D
三点共线。
……………………………… 15分
(2)若
P
、
F
、
D
三点共线。
设直线
DB
、
AP
相交于点
M
1
。 则由塞瓦定理知,
A
M
M
1
B
F
D
E
C
AM
1
PFDE
???1
。
M
1
PFDEA
P
∵
EF∥AP
,
∴
PFAE
?
,
FDED
AM
1
?1
,<
br>AM
1
?M
1
P
,
M
1
为
PA
的中点
M
1
P
M
、
M
1
重合
。
∴
M
、
B
、
D
三点共线。
由(
1)、(2)可得,
P
、
F
、
D
三点共线的充分必要条件是
M
、
B
、
D
三点共线。
………………………………………………… 20分
8
【解答二】由
?FBD??FED
知,
B
、
F
、
D
、
E
四点共圆。
E
∴
?AFE??BD
。
A
M
P
B
F
D
E
C
由
PA
为圆
O
的切线知
,
?BDE??PAF
。
??P
。
A
∴
?AFE??BDE
∥AP
∴
EF
。………………… 5分
(1)若
M
、
B
、
D
三点共线。
连结
BM
、
DP
、
DF
。
由
M
为切线
PA
的中点知,
MPMB
?
MP
2
?MA
2
?MB?MD
,即。
MDMP
A
M
P
B
F
E
C
………………… 10分
∽△MDP
∴
△MPB
。
??A
。
P
∴
?MDP??MP
B
D
又由
B
、
F
、
D
、
E
四点共圆以及
EF∥AP
知,
?MDF??BDF??BEF??APB
。
P
∴
?MDF??MD
。
∴
P
、
F
、
D
三点共线。 ………………… 15分
(2)若
P
、
F
、
D
三点共线。
设直线
DB
、
AP
相交于点
M
1
,则
?PDM<
br>1
??FDB??FEB??M
1
PB
。
又
?PM
1
B??DM
1
P
,
∴
△M
1
PB∽△M
1
DP
。
2
∴
M
1
P?M?MD
1
B
1
。
A
M
1
M
P
B
F
D
E
C
又
M
1
A
2
?M
1
B?M
1
D,
∴
M
1
P
2
?M
1
A
2
,
M
1
P?M
1
A
。
因此,
M
1
为
PA
的中点,
M
、
M
1
重合。
∴
M
、
B
、
D
三点共线。
由(1)、(2)可得,
P
、
F
、
D
三点共线的充分必要条
件是
M
、
B
、
D
三点共线。
………………………………… 20分
9
14.已知
a?0
,
f
(x)?ln(2x?1)?2ax?4ae
x
?4
。
(1)当
a?1
时,求
f(x)
的最大值;
(2)判断函数
f(x)
零点的个数,并说明理由。
【解答】(1)当a?1
时,
f(x)?ln(2x?1)?2x?4e
x
?4
,
f
?
(x)?
1
4
∵
x??
时,f
??
(x)???4e
x
?0
,
2
2
(2x?1)
1
??)
上为减函数。 ∴
f
?
(x)
在
(?,
2
2
?2?4e
x<
br>。
2x?1
又
f
?
(0)?2?2?4?0
,
∴
?
1
?x?0
时,
f
?
(x)?0
;
x?0
时,
f
?
(x)?0
。
2
?
1
?
∴
f(x)
在区间
?
?,0
?
上为增函数,在
?
0,??
?
上为减函数。
?
2
?
∴
a?1
时,
f(x)
的最大值为
f(0)?0
。
……………………………… 5分
(2)
f
?
(x)?
2
4
?2a?4ae
x
,
f
??
(x)???4ae
x
2
2x?1
(2x?1)
1
当
a?0
,且
x??
时,
f
??
(x)?0
。
2
1
??)
上为减函数。 ∴
f
?
(x)
在
(?,
2
1
∵
x??
时,
f
?
(x)???
;
x???
时,f
?
(x)???
。
2
∴
f
?
(x)
存在唯一实根,设此根为
x
0
。
则
?
1
?x?x
0
时,
f
?
(x)?0
;
x?x
0
时,
f
?
(x)?0
。
2
?
1
?
∴
f(x)
在区间
?
?,x
0
?
上为增函数,在
?
x
0
,??
?
上为减函数。
f(x)
有最大值
f(x
0
)。
2
??
……………………………………… 10分
①
当a?1时,由(1)知,
f(x)
有唯一零点。
② 当
0?a?1
时,由
f
?
(0)?2?2a?4a?2?2a?0
知,
x
0
?0
。
∴
f(x
。
0f(0?)?4a?4?
0
)?
1
又
x??
时,
f(x)???
;
x???
时,
f(x)???
。
2
10
1
x
0
)
,
(x
0
,
∴
f(x)
在区间
(?,
??)
内各有一个零点。
2
∴ 当
0?a?1
时,
f(x)
有两个零点。
…………………… 15分
③ 当
a?1
时,由
f
?
(0
)?2?2a?0
,知
?
由
f
?
(x
0
)
?
1
?x
0
?0
。
2
22
?2a?4a
e
x
0
?0
,知
4ae
x
0
??2a。
2x
0
?12x
0
?1
4x?l
0
n(?2ax?1
0
)
2
2?(a?
2x
0
?1
2)4
∴
f(x
0
)?l
nx(
0
2??1)ax
0
2?ae
x
0
4??<
br>?ln(2x
0
?1)?2ax
0
?
设
g(x)?l
n(2x?1)?2ax?
∵
?
1
2
(
??x
0
?0
)。
?
2a?4
,
2
2x
0
?1
2
?2a?4
。
2x?1
1
24
?x?0
时,
g
?
(x)
??2a??0
,
2
2x?1(2x?1)
2
?
1
?
∴
g(x)
在区间
?
?,0
?
上为增函数。
2
??
∴
?
1
?x?0
时,
g(x)
?g(0)?2?2a?0
。于是,
f(x
0
)?0
。
2
∴
a?1
时,
f(x)
不存在零点。
综合
得,当
0?a?1
时,
f(x)
有两个零点;当
a?1
时,
f(x)
只有1个零点;当
a?1
时,
f(x)
不存在零点
。 …………………………… 20分
11
15.设
a1
,
a
2
,
a
3
,
a
4,
a
5
是5个正实数(可以相等)。证明:一定存在4个互不相同的
下标
i
,
j
,
k
,
l
,使得
a
i
a
k
1
??
。
a
j
a
l<
br>2
【解答】不妨设
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
,考虑以下5个分数:
a
a
1<
br>aaa
,
3
,
1
,
2
,
4
,……………………… ①
a
2
a
4
a
5
a3
a
5
它们都属于区间
?
0,1
?
。
…………………………………… 5分
?
1
??
1
??
1
??
1
?
把区间
?
0,
1
?
,由
抽屉原理知,区间
?
0,
?
或
?
,1
?
中
一
1
?
分成两个区间:
?
0,
?
和
?,
2222
????????
定有一个区间至少包含①中的3个数(记这3个数依
次为
a
,
b
,
c
)。
………………………………………… 10分
将①中的5个数依次围成一个圆圈,则①中任意
三个数中都有两个数是相邻的(
是相邻的)。即
a
,
b
,
c
中至少有两个数是相邻的。
………………………………………… 15分
假设
a
与
b
相邻,则
a?b?
1
。 2
a
1
a
与
4
a
2
a
5另一方面,由①中5个分数的分子、分母的下标特征知,围成的圆圈中,任意相邻两个
分数的分子、
分母的4个下标互不相同。
于是,
a
、
b
对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求。
因此,结论成立。 …………………………………
20分
12
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