高中数学竞赛函数试题1

高中数学竞赛函数试题1

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2

高中数学竞赛 函数练习题
（幂函数、指数函数、对数函数）
一、选择题
1．定义在R上的任意函数f(x) 都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函数h(x)之和，若
f(x)=lg(10
x+1)，则
A．g(x)=x, h(x)=lg(10
x
+10
-x
+2)
11
[lg(10
x
+1)+x], h(x)=[lg(10
x
+1)－x]
22
11
C．g(x)=x, h(x)= lg(10
x
+1)－x
22
11
D．g(x)=－x, h(x)= lg(10
x
+1)－x
22
B．g(x)=
2．若 (log
2
3)
x
－(log
5
3)
x
≥ (log
2
3)
-y
－(log
5
3)
-y
，则
A．x－y≥0 B．x+y≥0 C．x－y≤0 D．x+y≤0
3．已知f( x)=ax
2
－c满足－4≤f(1)≤－1，－1≤f(2)≤5，那么f(3)应该是
A．7≤f(3)≤26 B．－4≤f(3)≤15 C．－1≤f(3)≤20
1023
D．－
3835
≤f(3)≤
33
4．已知f(n)=log
n
(n+1) (n?N*且n≥2)，设
q
(p,q?N*且(p,q)=1)，则p+q=
?
p
n?2
log
f(n)
100
=
1
A． 3 B．1023 C．2000 D．2001
5．如果y=log
5
6?log
6
7?log
7
8?log
8
9?log
9
10，则
A．y?(0,1) B．y=1 C．y?(1,2) D．y?[2,3]
6．若实数a, x满足a>x>1，且A=log
a
(log
a
x )，B=log
a
2
x, C=log
a
x
2
，则
A．A>C>B B．C>B>A C．B>C>A D．C>A>B
7．设a>0,a≠1 ，函数f(x)=log
a
|ax
2
－x|在[3,4]上是增函数，则a的 取值范围是
1111
≤a< D．a>1或8464
8．f(x) 是同期为2的奇函数，当x?[0,1)时，f(x)=2
x
－1，则f(
log1
24
)的值是
A．a>1 B．a>1或C．a>1或
2
11
≤a<
64
A．－
23

24
B．－
5

6
C．－
5

2
D．－
1

2
二、填空题
x
4?b
9．设f(x)=lg(10
x< br>+1)+ax是偶函数，g(x)=是奇函数，则a+b的值为 。
x
2
三、解答题
3

10．已知奇函 数f(x)满足f(x+2)=f(－x)，且当x?(-1,0)时，f(x)=2
x
。
①证明：f(x+4)=f(x)；②求f(
log
1
18
)的值。
2
11．解方程lg(4
x
+2)=lg2
x
+lg3。
?
2
?x
?1　x?0
?
12．设f(x)=
?< br>1
，解不等式f(x)>1。
2
?
?
x　　　x?0
13．设f(x)=
1
2?2
x
，求f(－5)+f(－4)+…+f(0 )+…+f(5)+f(6)。
14．求函数f(x)=3?4
x
－2
x
(x≥0)的最小值。
15．设函数f(x)=|lgx|，若0f(b)，证明：ab<1。
16．设不等式2(
log
1
x
)
2
+9
log
1
x
+9≤0的解集为M，求当x?M时，函数
22
xx
) (log
2
)的最大值、最小值。
28
ty
17．已知实数t满足 关系式log
a
3
=log
t
3
(a>0,a≠1) < br>aa
f(x)=(log
2
①令t=a
x
，求y=f(x)的 表达式；
②若x?(0,2)时，y
min
=8，求a和x的值。
18．解不等式|
1
3
+2|>。
2
log
1< br>x
2
19．解不等式
log
2
x?1
+
1< br>log
1
x
3
+2>0。
2
2
35
, log
c
d=，若a－c＝9，求b－d。
24
20．已知a、b、c、d均为正整数，且log
a
b=
21． 已知函数f(x)=ln[3
x
－
3
(a
2
?2a?2)x
]的定义域为(0,+∞)，求实数a的取值范围。
22．解方程log
5
(3
x
+4
x
)=log
4
(5
x
－3< br>x
)。
1?2
x
???(n?1)
x
?n
x
a
23．设f(x)=lg，其中a是实数，n 是任意给定的自然数，且n≥2。
n
如果f(x)当x?(－∞,1)时有意义，求a的取值范围。
24．f是定义在(1,+ ∞)上且在(1,+∞)中取值的函数，满足条件：对任何x>1,y>1及u>0,v>0,
都有f( x
u
?y
v
)≤
f(x)

1
4u
?
f(y)
1
4v
成立，试确定所有这样的函数f。
4

函数的最值
一、选择题
1．如果在区间[1,2]上， 函数f(x)=x
2
+px+q与g(x)=x+
f(x)在该区间上的最大值是 < br>A．4+
1
在同一点取相同的最小值，那么
2
x
1
3
2
+
3
4

2
D．以上答案都不对
11
3
2
+
3
4

2
B．4－
5
3
2
+
3
4
2
C．1－
2．已知x、y都在区间(－2,2)内，且xy=－1，则函数u=
9
4
+的最小值是
2
2
4?x
9?y
D．A．
8

5
B．
24

11
C．
12

7
12

5
3．已知a、b、c?R*，则f(x)=
x< br>2
?a
+
(c?x)
2
?b
的最小值是
A．
a
+
c
2
?b

C．
B．
c
2
?a
+
b

D．
c?(a?b)

22
2
c+
a
+
b

2
二、填空题
4．f(x)=|x
2
－a|在区间[－1,1]上的最大值M(a)的最小值为 。
5．函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在区间[－3,3]上的最小值是 。
6．若不等式|x－4|+|x－2|+|x－1|+|x|≥a对一切实数x成立，则a的最大可 能值是 。
三、解答题
1x
,2]上，函数f(x)=－x
2+px+q与g(x)=
2
在同一点取得相同的最大值，求
2
x?11
f(x)在区间[,2]上的最小值。
2
7．在区间[
8．已知定义 在R上的函数f(x)对任意实数对(x,y)恒有f(x)+f(y)=f(x+y)，且当x>0时，f(x )<0，
又f(1)=－
2
。
3
ax
+
2
的最小值。
x
x?a
①求证 ：f(x)为奇函数；②求证：f(x)在R上是减函数；③求f(x)在[－3,6]上的最值。
9 ．已知a为正常数，x>0，求函数y=x+
10．已知f(x)=ax
2
+bx+c ，其中a?N*,b?N,c?Z。
①若b>2a，且f(sinx) (x?R)的最大值为2，最小值为－4，试求f(x)的最小值；
②若对任意实数x，不等式4x≤ f(x)≤2(x
2
+1)恒成立，且存在x
0
，使得f(x
0)<2(x
0
2
+1)成立，
5

试求c的值。
x
4
?4x
3
?17x
2
?26x?106
11．求函数y=的最值，其中|x|≤1。
x
2
?2x?7
12．已知f(x)=lg(x+1), g(x)=2lg(2x+t) (t?R是参数)，如果x?[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立，求
参数t的取值范围。
3x
2
?2x?n
13．已知函数f(x)=log
2
(m,n?R)。
mx
2
?1
①若m?N*,x?R且f(x)的最大值为 2，最小值为1，求m,n的值；
②若n=－1，且f(x)的值域为R，求m的取值范围。
14．求函数f(x)=
x
4
?3x
2
?6x?13
－< br>x
4
?x
2
?1
的最大值。
15．设f(x)=－x
2
+2tx－t, x?[－1,1]，求[f(x)
max
]
min
。
16．设f(x)=x
2
+px+q (p,q?R)。若|f(x)|在[－1,1]上的最大值为M，求M的最小值。
17．设关于x的一元二次方程2x
2
―tx―2=0的两个根为????????。
①若x
1
、x
2
为区间????]上的两个不同的点，求证：4x< br>1
x
2
－t(x
1
+x
2
)－4<0； < br>②设f(x)=
4x?t
，f(x)在区间????]上的最大值和最小值分别为fmin
(x)和f
max
(x)，g(t)=f
max
(x)< br>x
2
?1
－f
min
(x)，求g(t)的最小值。
18．设实数x、y满足4x
2
－5xy+4y
2
=5，设S=x
2
+y
2
，求
1
S
min
+
1
S
max
。
19．若函数f(x)=－
1
2
13
x +在区间[a,b]上的最小值为2a，最大值为2b，求[a,b]。
22
20．实数a, b,c和正数?使得f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c, f(x)=0有 三个实数根x
1
、x
2
、x
3
，且满足：
2a3
?27c?9ab
1
①x
2
-x
1
=?；② x
3
>(x
1
+x
2
)；求的最大值。
3
?
2
6

函数的方程迭代
一、填空题
1．已知f(x)+2f(
1
)=3x，则f(x)的解析式为 。
x
2．已知f(x)=ax
2
+bx+c，若f(0)=0且f(x+1 )=f(x)+x+1，则f(x)= 。
二、解答题
3．设f(x)=x
2
+px+q, A={x|x=f(x)}, B={x|f[f(x)]=x}。
①求证：A?B；②如果A={－1,3}，求B。
4．已知f(x)是定义在R上的函数，且f(1)=1，对任意x∈R都有下列两式成立：
①f(x+5)≥f(x)+5；②f(x+1)≤f(x)+1。
若g(x)=f(x)+1－x，求g(6)的值。
5．已知二次函数f(x)=ax
2
+bx (a,b是常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)=f(3－x)，且方程f(x)=2x
有等根。
①求f(x)的解析式；
②是否存在实数m，n (m求出m,n的值；如果不存在，请说明理由。
6．定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：①f(2)=1；②f(xy)=f(x)+f(y)，其中x ,y为任意实数；
③任意正实数x,y满足x>y时，f(x)>f(y)。试求下列问题：
（1）求f(1), f(4)；
（2）试判断函数f(x)的单调性；
（3）如果f(x)+f(x－3)≤2，试求x的取值范围。
7．已知函数f(x)=6x －6x
2
，设函数g
1
(x)=f(x), g
2
(x)=f[g
1
(x)], g
3
(x)=f[g
2
(x)], …,
g
n
(x)=f[g
n-1
(x)], …。
①求证：如 果存在一个实数x
0
，满足g
1
(x
0
)=x
0< br>，那么对一切n∈N*, g
n
(x
0
)=x
0
都成立；
②若实数x
0
，满足g
n
(x
0
)=x
0
，则称x
0
为稳定动点，试求所有这些稳定不动点。
③设区间A=(-∞,0)，对于任意x∈A，有g
1
(x)=f(x)=a<0, g
2
(x)=f[g
1
(x)]=f(0)<0，且n≥2时，
g< br>n
(x)<0。试问是否存在区间B (A∩B≠?)，对于区间内任意实数x，只要n≥2，都有g
n
(x)<0？
8． 对于函数y=f(x)，若存在实数x
0
，满足f(x
0
)=x
0< br>，则称x
0
为f(x)的不动点。已知F
1
(x)=f(x),
F
2
(x)=f[F
1
(x)], F
3
(x)=f[F
2
(x)], …, F
n
(x)=f[F
n-1
(x)] (n∈N*,n≥2)。
①若f(x)存在不动点，试问F
2
(x), F
3
(x), …,F
n
(x)是否存在不动点？写出你的结论，并加以
证明。
②设f(x)=2x-x
2
。求使所有F
n
(x)<0 （n∈N*,n≥2）成立的所有正实数x值的集合。
9．设函数f(x)的定义域是R，对于任意实 数m,n，恒有f(m+n)=f(m)?f(n)，且当x>0时，
0①求证：f(0)=1，且当x<0时，有f(x)>1；
②判断f(x)在R上的单调性；
7

③设集合A={(x,y)|f(x
2
)? f(y
2
)>f(1)}，集合B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R}，若A ∩B=?，求a的
取值范围。
10设p为奇素数，试求
1
12
+=的正整数解。
x
yp
11求方程组
?
?
xz?2yt?3
的整数解。
xt?y z?1
?
12求方程2x
2
y
2
+y
2
= 26x
2
+1201的正整数解(x,y)。
13求x
2
+y
2
=328的正整数解。
14解方程4x
2
－20[x]+23=0。
15求函数f(x)=[x] +[2x]+[
5
x]+[3x]+[4x]在0≤x≤100上所取的不同的整数值的个数。
3
?
10
n
?
16当n是怎样的最小自然数时，方程
??
=1989有整数解？
x
??
17设S=1+
1
2
3
+
1
3
+…+
1
980100
，求[S ]。
18已知S=
1?2?
3
3???
3
2006
，求[S]。
3
单元练习题
1、 若{
a
,1}?{1,2,a}?{1,2,4,a
2
}，求a的值。
2、 已知集合{0,－1,2a}={a－1,－|a|,a+1}，求实数a的值。
3、 集合{x|－1≤
log
1
10
<－
x
1
, x∈N}的真子集的个数是 。
2
4、 已知集合{1,2,3,4,5,6,7 ,8,9,10}，求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含
有2个元素，且每个子集中任意 两个元素的差的绝对值大于1。
4
x
122004
5、 设f(x)=
x
，求f()+f()+…+ f()。
2
4?2
6、 函数f(k)是定义在正整数集N上，在N中取值的严格增函数，且满 足条件f(f(k))=3k，
试求f(1)+f(9)+f(96)的值。、
7、 设函数y=f(x)的定义域为[0,1]，试求G(x)=f(x+a)+f(x－a)的定义域。
8、 设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数，且是偶函数，已知当x∈[2,3]时，f(x )=x，
求当x∈[－2,0]时，f(x)的解析式。
8

9、 设函数f(x)=ax
2
+8x+3(a<0)，对于给定负数a，有一个最大 正数l(a)，使得有整个区间
[0,l(a)]上，不等式|f(x)|≤5都成立。问a为何值时， l(a)最大？求出这个最大的l(a)，证
明你的结论。
10、求函数y=
1998?x
+
x?1997
的值域。
11、函数f(x)=x
2
+3ax－2a+1在区间[0,1]上的最小值为0，求a的值。
12、 已知函数f(x)=x
2
－2x+2, x∈[t,t+1]的最小值为g(t)，试写出函数s=g(t)的解析式，并画
出函数的图象。
13、 函数f定义在实数集上且对于一切实数x满足等式：f(2+x)=f(2－x)和f(7+x )=f(7－x)，
设x=0是f(x)=0的一个根，记f(x)=0在区间[－1000,1000 ]中的根的个数为N，求N的
最小值。
14、 已知a、b、c是实数，函数f(x)=ax
2
+bx+c, g(x)=ax+b，当－1≤ x≤1时，|f(x)|≤1。①
证明：|c|≤1；②证明：当－1≤x≤1时，|g(x)|≤2； ③设a>0，当－1≤x≤1时，g(x)
的最大值为2，求f(x)。
15、 已知x,y>10, xy=1000，求(lgx)(lgy)的取值范围。
16、 设f(x)= 2+log
x
25―
log
x
2
64―
logx
3
8，试确定x的取值范围，分别使f(x)大于零，小
于零，等于零。
17、 设定义域为R的函数f(x)满足下列条件：①对于任意实数x，均有f(x)≥2；②对于任
意实数x
1
、x
2
，均有f(x
1
+x
2
)≤f(x
1
)+f(x
2
)。试证：对于任意实数x
1< br>、x
2
，均有lgf(x
1
+x
2
)
≤lg f(x
1
)+lgf(x
2
)。
18、 求方程lg
2
x―[lgx]―2=0的实数根的个数。
19、 设x、y、z为非负的实数，且满足方程
4
的最大值与最小值的积。
20、 方程< br>5x?9y?4z
－68
2
5x?9y?4z
+256=0，求x+y +z
lg2x
=2中，a为何实数时，方程无解？有一解？有两解？
lg(x?a)
21、 已知a>0, a≠1，试求方程log
a
(x－a k)=
log
a
2
(x
2
－a
2
)有解时 k的取值范围。
22、 解方程log
4x
4x
2
?5x?2
=
1
。
2
23、 求方程2
w
+2
x
+2
y
+2
z
=20.625的满足条件w>x>y>z的整数解。
24、 设?、?分别是方 程log
2
x+x－3=0和2
x
+x－3=0的根，求???和log2
?+2
?
。
25、 解方程lg
2
x－[lgx]－2=0。
26、 已知实数x满足方程x=
x?
11
+
1?
，求[2x]。
xx
9

?
10
93
?
27、 求正整数
?
31
?
的末两倍数字。
10?3
??
28、 前1000个正整数中可以表示成[2x]+[4x]+[6x]+[8x]的正整数有多少个？

10

答案
幂函数、指数函数、对数函数
1 、C；2、B；3、C；4、A；5、C；6、B；7、B；8、D；9、
10、分析：①证明：∵f( x+2)=f(－x)?f(x+2)=－f(x)
∴f(x+4)=－f(x+2)=－[－f(x)]=f(x)
②f(
log1
18
)=－f(log
2
18)=－f(log
2
1 8－4)=－f(log
2
2
1
；
2
988
)=f(log
2
)=
899
11、分 析：∵lg(4
x
+2)=lg2
x
+lg3? lg(4
x
+2)=lg(3?2
x
)?2
2x
－3?2
x
+2=0 ?2
x
=1或2
x
=2?x=0或
x=1
?
x? 0
?
x?0
?
12、分析：∵f(x)>1?
?
?x
或
?
1
?x<－1或x>1
2
?
2?1?1
?
?
x?1
∴所求不等式的解集为(―∞,―1)∪(1,+∞)。
13、分 析：∵f(－x)+f(x+1)=
1
2
?x
?2
+
12
x?1
?2
=
2?2
x
?1
2?2
x
?2
=
2

2
∴f(－5)+f(－4)+…+f(0) +…+f(5)+f(6)=3
2
。
4
x
121000
学 生思考：设f(x)=
x
，求f()+f()+…+f()。
1
4?2
分析：x+y=1?f(x)+f(y)=1
14、分析：∵f( x)=3?4
x
－2
x
=3(2
x
－
∵x≥0?2
x
≥1
∴当2
x
=1?x=0时，f(x)
min
=2
15、分析：∵f(x)=|lgx|=
?
1
2
1
)－
612
?
lgx　　　x?1

0?x?1
?
?lgx　　
∵0f(b)
∴a、b不能同时在区间[1,+∞)上
∵0∴若b?(0,1)，显然ab<1
若b?[1,+∞)，则f(a)>f(b)?－lga>lgb?lg(ab)<0?ab<1 16、分析：∵2(
log
1
x
)
2
+9
lo g
1
x
+9≤0?―3≤
log
1
x
≤―
222
33
?≤log
2
x≤3?2
2
≤x
22< br> 11

≤8
∴M=[2
2
,8] xx
)(log
2
)=(log
2
x－1)(log
2
x－3)=(log
2
x－2)
2
－1
28
3
∵2
2
≤x≤8?≤log
2
x≤3 2
∵f(x)=(log
2
∴当log
2
x=2?x=4时，y
min
=－1
当log
2
x=3?x=8时，y
max
=0。
17、分 析：①∵log
a
∵t=a
x
?x=log
a
t
ty
=log?log
a
t－3=log
t
y－3log
t
a
t
a
3
a
3
log
a
y3
x
2
?3x?3
－?log
a
y=x
2－3x+3?y=
a
(x≠0)
xx
33
②令u= x
2
－3x+3=(x－)
2
+(x≠0)，则y=a
u

24
∴x－3=
∵x?(0,2]时，y
min
=8
∴当0u
有最小值，则u=(x－
上不存在最值。 当a>1时，y=a
u
有最小值，则u=(x－
3
2
3
)+在(0,2]上应有最大值，但u在(0,2]
24
3
2
3
)+ 在(0,2]上应有最小值
24
33
∵当x=时，u
min
=?y
min
=
a
4

24
∴
a
=8?a=16
3
4
3
3

2
111
333
18 、分析：|+2|>?+2<－或+2>?log
2
x<0或log
2
x>2 或
2
log
1
x
2
log
1
x
2
log
1
x
∴a=16, x=
22
2
2
7
02
x4或12
7
。
2
19、分析：∵
log
2
x?1
+
令t=< br>log
2
x?1
(t≥0)
12
13
log
1
x
3
+2>0?
log
2
x?1
－lo g
2
x+2>0
22
2

∴t－
3
2
1
t+>0 (t≥0)?0≤t<1?0≤
l og
2
x?1
<1?1≤log
2
x<2?2≤x<4
22
35
∴所求不等式的解集为[2,4)
35b
d
20、分析：∵log
a
b=, log
c
d=?b=
a
2
, d=
c
4
?a=()
2
, c=()
4
(*)?a|b, c|d
24a
c
?
bd
2
?
b
?5
??1
?
?
2
bbb
ddd
?a
c
?
a
∵a－c＝9?()
2
－()
4=9?[－()
2
][+()
2
]=9?
?
?
?
2

2
aaa
ccc
d
?
b
?
d
?9
?
?4
2
2
?
?
?
c
?
a
c
∴代入(*)得：
?
?
a?25
?
c?16
,
?
?b－d=93。
?
b?125
?
d?32
(a
2
?2a?2)x
21、分析：依题意得： 3
x
－
3
(a
2
?2a?2)x
>0?3x
>
3
?x>(a
2
－2a－2)x? a
2
－2a－2<1
? a
2
－2a－3<0?－1∴所求实数a的取值范围(－1,3)。
22、分析：设y= log
5
( 3
x
+4
x
)=log
4
(5
x
－3x
)
∴5
y
=3
x
+4
x
, 4
y
=5
x
－3
x

∴5
y
+4
y
=5
x
+4
x

∵f(t)= 5
t
+4
t
是单调递增函数
∴f(y)=f(x)?y=x
3
x
4
x
)+()=1
55
3434
∵g(x)= ()
x
+()
x
为单 调递减函数且()
2
+()
2
=1
5555
∴5
x
=3
x
+4
x
?(
∴x=2是原方程的唯一解。
学生思考：解方程10
x
+11
x
+12
x
=(
365
)。
23、分析：求a的取值范围，只需分离参数a与变量x，化成a>g(x)。
依题意得：1+2
x
+3
x
+…+(n－1)
x
+ n
x
a>0?a>－[(
∵－(
1
x
2
x
n?1
x
)+()+…+()] (x≤1)
nnn
k
x
)，当k=1,2,3,…,(n-1)时，在(－∞,1]上都是增函数
n
12n?1x
∴g(x)=－[()
x
+()
x
+…+()]在(－∞,1 ]上都是增函数
nnn
13

12n?1n?1
++…+)=－
nnn2
n?1n?1
∴a>－，即a的取值范围为(－,+∞)。
22
∴g(x)
max
=g(1)= －(
24、分析：取x=y= a,u=v=b，则对任何a>1,b>0有f(a
2b
)≤
f(a)
令a= 10, 2b=lgx，则对任何x>1有f(x)≤
f(10)
1
lgx
1
2b


1
1
再令a=x, 2b=，则对任何x>1有f(x)≥
f(10)
lgx

lgx
∴满足条件f只能是f(x)=
f(10)
1
lgx

1
lgx
令f(10)=c (c为大于1的任何实数)，则f(x)=
c
经检验知：f(x)=
c
1lgx
(c>1)
(c>1)为所求的函数。
函数的最值
1、B；2、D；3、D；4、
1
；5、4；6、5；
2
7、解析：∵g(x)=
1
x1
=≤
2
x
2
?1
x?
1
x
1

2
∴当x=1时，g
max
(x)=
∴f(x)=－(x－1)
2
+
1

2
1
。
2
∴当x=2时，fmin
(x)=－
8、解析：①令x=y=0，则f(0)=0，令y=－x得f(x)+ f(－x)=f(0)=0?f(－x)=－f(x)?f(x)为奇
函数
②设x
1
、x
2
?R且x
1
>x
2
，则x
1
－x
2
>0?f(x
1
－x
2
)<0
∴f(x
1
)－f(x
2
)=f[(x
1
－x
2
) +x
2
]－f(x
2
)= f(x
1
－x
2
)+f(x
2
)－f(x
2
)= f(x
1
－x
2
)<0
∴f(x)为减函数
③由②知f
min
(x)=f(－3)=－f(3)=－[f(2)+f(1)]=－3f(1)=2；f
max
(x)=f(6)=6f(1)=－4。
9、解析：∵y=x+
axa
+
2
= x++
x
x?a
x
1
a
x?
x

14

∴令t= x+
a

x
a
≥2
a

x
∵a为正常数，x>0? t= x+
∴y=t+ (t≥2
a
)
∴①当01
t1
1
时，t+≥2?当t=1≥2
a
时，y
min
=2 ；
4
t
②当a>
1
1
1
时，t≥2
a< br>≥1, y=t+是增函数?当t=2
a
时，y
min
=2
a
+；
4
t
22
10、解析：①∵b>2a?－
∵|sinx|≤1
b
<－1?f(x)在[-1,1]上的增函数
2a
∴f
min
(sinx)=f(－1)=－4, f
max
(sinx)=f(1)=2
?a－b+c=－4, a+b+c=2
?b=3
∴a=1, c=－2
∴f(x)=x
2
+3x－2= (x+
3
2
17
)－
24
∴当x=－
317
时，f
min
(x)=－。
24
②令x=1代入4x≤f(x)≤2(x
2
+1)得f(1)=4?a+b+c =4
∵4x≤f(x)?ax
2
+(b－4)x+c≥0恒成立
∴?≤0 ?(b-4)
2
-4ac≤0?(-a-c)
2
-4ac≤0?(a-c)< br>2
≤0?a=c
∵b?N?a+c≤4?2c≤4?c≤2?c=1或c=2
经检验c=2不合题意，应舍去
∴c=1
15

x
4
?4x
3
?17x
2
?26x?106
6 4
2
11、解析：∵y==(x+2x+7)+－1
2
2
x?2x?7
x?2x?7
设u= x
2
+2x+7=(x+1)
2
+6?[6,10]
∵y=u+
64
－1在[6,8]上是减函数；在[8,10]上的增函数
u
47

3
∴y
min
=15；y
max
=
?
x?1?0
?
x?1?0
?
?
12、 解析：∵f(x)≤g(x)?
?
2x?t?0
?
?
t??2x
?
x?1?(2x?t)
2
?
?
?
t??2 x?x?1
∴x?[0,1]时，f(x)≤g(x)恒成立? x?[0,1]时，t≥－2x+
x?1
恒成立
设h(x)= －2x+
x?1
，令u=
x?1
?x=u
2
－1 (1≤u≤
2
)
∴h(x)=－2(u－
1
2
17
)+
48
∴当u=1?x=0时，h
max
(x)=1
∴t的取值范围为[1,+∞)。
3x
2
?2x?n
13、解析： ①令t=?(3-mt)x
2
+2x+n-t=0
2
mx?1
∵?≥0?4－4(3-mt)( n-t)≥0?mt
2
－(3+mn)t+3n-1≤0
∵2≤t≤4
9
?
m?
?
4m?2(3?mn)?3n?1?0
?
m?1< br>?
?
8
∴
?
?
?
或
?
(不 符合题意，舍去)
?
16m?4(3?mn)?3n?1?0
?
n?3?
n?
10
?
3
?
16

3x
2
?2x?1
②∵t=?(3-mt)x
2
+2x-1 -t=0
2
mx?1
∴?≥0?4-4(3-mt)( -1-t)≥0?mt
2
-(3-m)t-4≤0
(1)当m=0时，t≥-
4
，符合题意
3
(2)当m≠0时，要 使函数的值域包含(0,+∞)，只须m<0时，方程mt
2
-(3-m)t-4=0有两个负
根
?
m?0
?
2
?
[?(3?m)]?4m(? 4)?0
?
∴
?
3?m
?0
?m≤-9或-1≤m<0 < br>?
m
?
4
?
??0
?
m
∴所求m的 联欢会范围为(-∞,9]∪[-1,0]。
14、解析：∵f(x)=
x
4
?3x
2
?6x?13
－
x
4
?x
2
? 1
=
(x?3)
2
?(x
2
?2)
2
－< br>x
2
?(x
2
?1)
2

∴函数y=f(x )的几何意义是抛物线y=x
2
上的点P(x,x
2
)到两定点A(3,2) , B(0,1)的距离之差
∴|PA|－|PB|≤|AB|=
10

1 5、解析：∵f(x)=－x
2
+2tx－t=－(x－t)
2
+t
2
－t, x?[－1,1]
①当t≤－1时，f(x)
max
=f(－1)
②当－1max
=f(t)
③当t≥1时，f(x)
max
=f(1)
17

?
?3t?1　　t??1
?
2
?1?t?1
∴f(x)
max
=
?
t?t　　　
?
t?1　　　t?1
?
∴[f(x)
max
]
min
=－
16、解析：
17、解析：
18、解析：∵x=y=0不满足4x
2
－5xy+4y
2
=5
∴S≠0
1
。
4
∵S=x
2
+y
2< br>?1=
x
2
?y
2

S
x
2
?y
2

S
∴4x
2－5xy+4y
2
=5?4x
2
－5xy+4y
2
=5 ?
不妨设y≠0
∴(4S－5)(
x
2
x
)－5S?+(4S－5)=0
yy
∵
x
?R
y
∴?≥0?(5S)
2
－4(4S－5)
2
≥0?
10103
1
13
≤S≤?≤≤
13310
S
10
∴
1
S
min
+
1
S
max
=
3138
+=
10105
19、解析：分三种情况讨论
18

①若0≤a∴
?
?
f( a)?2b
?
a?1
?
?

?
f(b)?2a?
b?3
②若a<0?
a??2?17
?
f(0)?2b
?
f(0)?2 b
?
∴
?
或
?
?
?

13
?
f(a)?2a
?
f(b)?2a
?
b?
4
?
③若a?
f(a)?2a
∴
?
无解
f(b)?2b
?< br>∴所求的区间为[1,3]或[―2―
17
,
20、解析：∵f(x
3
)=0
∴f(x)=f(x)-f(x
3
)=(x-x
3
)[x
2
+(a+x
3
)x+x
3
2
+ax
3
+b]
∴x
1
,x
2
是方程x
2
+ (a+x
3
)x+x
3
2
+ax
3
+b=0的两根 ?x
1
+x
2
=-(a+x
3
), x
1
x
2
=x
3
2
+ax
3
+b
∵x
2
-x
1
=??(a+x
3
)-4(x
3
2
+ax
3
+b)=?
?
?3x
3
2
+2ax
3
+?
2
+4b-a
2
=0
?x
3
=
13
]。
4
1
(-a+
4a
2
?12b?3
?
2
) (*)且4a
2
-12b-3?
?
≥0 (**)
3
a

3
注意：由条件①②可得x
3
>-
2
a
aa2
3
1
∵f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c=(x+)
3
-(-b)(x+)+a+c-ab
3
33273
12
3
a
3
a
2
a
∵f(x< br>3
)=0?ab-a-c=(x
3
+)-(-b)(x
3
+) (***)
3
32733
19

11
由(*)得x
3
+a=
33
a
2
令p=-b
3< br>23
4a?12b?3
?
=
3
22
a
2?
2

?b?
34
12
3
23
由(* *)(***)得p≥且ab-a-c=
9
4
327
?
2
p ?
?
2
4
(p-?
2
)
令y=
p?
?
2
4

∴y≥0且
12
3
23
2
3
2
ab- a-c=y(y-?)
9
3274
∵y(y
2
-
3
2
1
23
3
3
1
2
1
?)+?=y-x y+?=(y-?)
2
(y+?)≥0
44442
3
3
3
33
2a?27c?9ab
33
12
3
∴ab- a-c≥-??2a
3
+27c-9ab≤?
3
?≤
1822
327
?
3
取a=2
3
, b=2, c=0, ?=2，则f(x)=x
3
+2
3
x
2
+2x有 艰-
3
-1, -
3
+1, 0显然假设条件成立
且
33
2a
3
?27c?9ab
1
33
=(48-36)= 3
2
8
?
∴(
2a
3
?27c?9ab
?
3
2
-x
x
)max=
33

2
函数的方程迭代
1、f(x)=
20

2、f(x)=
1
2
1
x+x
22
3、解析：① 设x
0
是集合A中的任一元素，即有x
0
∈A
∵A={x|x=f(x)}
∴x
0
=f(x
0
)?f[ f(x
0
)]=f(x
0
)=x
0
?x
0
∈B
∴A?B
②∵A={－1,3}={x|x
2
+px+q=x}={ x|x
2
+(p-1)x+q=0}
?
?1?3??(p?1)
?
p??1
∴
?
?
?
?f(x)= x
2
-x-3
?
(?1)?3?q
?
q??3
∵ f[f(x)]=x?x
4
-2x
3
-6x
2
+6x+9= 0?(x
2
-2x-3)(x
2
-3)=0?x=-1或3或
3或-
3

∴B={-1,3,-
3
,
3
}。
4、解析：反复利用②
∵f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2 )+3≤f(x+1)+4≤f(x)+5 (*)
∴f(x+5)=f(x)+5
∴由(*)可以得到f(x+1)=f(x)+1
∴g(6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=f(1)=1
5、解析：①∵方程f(x)=2x有等根?⊿＝0?b=2
∵f(x－1)=f(3－x) ?f(x)=f(2-x)?图象的对称轴为x=-
∴f(x)=-x
2
+2x
②f(x)=-(x-1)
2
+1≤1
∴4n≤1?n≤
b
=1?a=-1
2a
1

4
∵抛物线y=-x
2
+2x的对称轴为x=1
∴n≤
1
时，f(x)在[m,n]上为增函数
4
若满足题设条件的m,n存在，则
?
f(m)?4m
?
m?0或m??2
?
?
?
?
f(n)?4n
?
n?0或n??2
∵m1

4
∴m=-2,n=0，这时定义域为[-2,0]，值域为[-8,0]
∴存在m=-2,n=0，满足条件。
6、解析：
①f(1)=0, f(4)=2；②增函数；③(3,4]。
21

7、解析：
①数学归纳法：当n=1时，g
1
(x
0
)=x
0
显然成立；当n=k时，在g
k
(x
0
)=x
0
(k∈N *)成立，则
g
k+1
(x
0
)=f[g
k
(x) ]=f(x
0
)=g
1
(x
0
)=x
0
， 即当n=k+1时，命题成立。
∴对一切n∈N*，若g
1
(x
0
)=x
0
，则g
n
(x
0
)=x
0
。 < br>②由①知，稳定不动点x
0
只需满足f(x
0
)=x
0
，
∵f(x
0
)=x
0
?6x
0
－6x
0
2
=x
0
?x
0
=0或x
0
=
5
。
6
③∵f(x)<0?6x－2x
2
<0?x<0或x>1
∴g
n
(x)<0?f[g
n-1
(x)]<0? g
n-1
(x)<0或g
n-1
(x)>1
要使一切n∈N,n≥ 2，都有g
n
(x)<0，必须有g
1
(x)<0或g
1
( x)>1
∵g
1
(x)<0?6x－2x
2
<0?x<0或x>1
g
1
(x)>1?6x－2x
2
>1?
3?33?3
66
∴对于区间(-∞,0), (
3?33?3
,)和(1,+ ∞)内的任意x，只要n≥2,n∈N*，都有g
n
(x)<0。
66
8、解析：
①y=f(x)存在不动点x
0
，则f(x
0
)=x
0
，下证x
0
是F
n
(x)的不动点。
∵F
2
(x
0
)=f[F
1
(x
0
)]=f[f(x
0
)]f(x
0
)=x
0

∴x
0
也是F
2
(x)的不动点。
若F
n-1< br>(x)存在不动点x
0
，即F
n-1
(x
0
)=x< br>0

∴F
n
(x
0
)=f[F
n-1(x
0
)]=f(x
0
)=x
0
? F
n
(x)存在不动点x
0

综上所述：对于任意n∈N*,n≥2 ，F
n
(x)都存在不动点，并且有相同的不动点。
②方法一：
∵f(x)<0?2x－x
2
<0?x<0或x>2
∵要使F
n
(x)<0 (n≥2)?f[F
n-1
(x)]<0? 2F
n-1
(x)－[F
n-1
(x)]
2
<0?F
n-1
(x)<0或F
n-1
(x)>2
依此类推，要使F
2< br>(x)<0?f[F
1
(x)]<0?f[f(x)]<0?2f(x)－[f(x)]
2
<0?f(x)<0或f(x)>2?2x－
x
2
<0或2x－x
2
>2?x<0(舍去)或x>2或x∈??x>2
∴所求x的取值范围为(2,+∞)。
9、解析：
①∵f(m+n)= f(m)?f(n) 且当x>0时，0∴f(1)=f(1)f(0)?f(0)=1
设m=x<0,n= -x>0
∴f(0)=f(x)f(-x)?f(x)=
1
>1
f(?x)
②设x
1
2
?x
2
-x
1
>0?0< f(x
2
-x
1
)<1
∴f(x
2
)-f(x< br>1
)=f[(x
2
-x
1
)+x
1
]-f( x
1
)=f(x
2
-x
1
)f(x
1
)- f(x
1
)=f(x
1
)[f(x
2
-x
1
)-1]<0
22

∴f(x)在R上单调递减
③ ∵f(x
2
)?f(y
2
)>f(1)?f(x
2
+y2
)>f(1)? x
2
+y
2
<1
∵f(ax-y+2)=1=f(0)? ax-y+2=0
∵A∩B=?
∴< br>2
a
2
?1
≥1?a
2
+1≤4?－
3≤a≤
3
。
10、解析：∵
1
12
+=?p(x+y )=2xy?4xy－2p(x+y)+p
2
=p
2
?(2x－p)(2y－ p)=p
2

x
yp
∵p是素数，x>0, y>0
?
2x?p?1
?
2x?p?p
?
2x?p?p
2
∴
?
或
?
或
?

2
?
2y?p?p
?
2y?p?1
?
2y?p?p
p?1p(p?1)
??< br>x?x?
?
?
x?p
?
??
22
?
?
或
?
或
?

?
y?
p(p?1)
?
y?p
?
y?
p?1
??
22
??
1 1、解析：∵
?
?
xz?2yt?3
?(xz－2yt)
2
+(xt+yz)
2
=11?(x
2
+2y
2
)(z
2
+2t
2
)=11
?
xt?yz?1
∴x
2
+2y
2
=1或z
2
+2t
2
=1
①x
2
+2y
2
=1?x=±1, y=0
∵xt+yz=1?t=±1
∴z=±3
②z
2
+2t
2
=1?t=0, z=±1
∴y=±1, x=±3
∴所求方程组有4组解：(1,0,3,1)、(－1,0,―3,―1)、(3,1,1, 0)、(―3,―1,―1,0)。
12、解析：∵2x
2
y
2
+ y
2
=26x
2
+1201?(2x
2
+1)(y
2
－13)=1188=2
2
?3
3
?11
∴2x
2
+1与y
2
－13均为2
2
?3
3
?11的因 数
∵2x
2
+1为奇数?2x
2
+1为3
3
?1 1的因数
由下表可知，所求的正整数为(4,7)和(7,5)。


2x
2
+1 3 9 11 27 33 99 297

x 1 2 4 7


y
2
－13 396 132 36 12

y 7 5
23

13、解析：显然x≠y，不妨设x>y>0
∵328是偶数?x、y的奇偶性相同?x±y是偶数
令x+y=2u
1
, x－y=2v
1
(u
1
、v
1
∈Z, u
1
>v
1
>0)?x=u
1
+v
1
, y=u
1
－v
1

∴u
1
2
+v
1
2
=164
同理，令u
1
+v
1
=2u
2
, u
1
－v
1
=2v
2
(u
2
、v
2
∈Z, u
2
>v
2
>0) ?u
1
=u
2
+v
2
, u
1
=u
2
－v
2

∴u
2
2
+v
2
2
=82
同理，令u
2
+v
2
=2u
3
, u
2
－v
2
=2v
3
(u
3
、v
3
∈Z, u
3
>v
3
>0) ?u
2
=u
3
+v
3
, u
2
=u
3
－v
3

∴u
3
2
+v
3
2
=41?u
3
、v
3
必为一奇一 偶，且03
3
≤[
41
]=6
依次取v
3
=1,2,3,…,5代入u
3
2
+v
3
2=41得u
3
=5, v
3
=4?x=18, y=2
∴所求的解为x=18,y=2或x=2, y=18。
注意：合理分层换元是解决本题的关键。
14、分析：这个方程不是二次方程，但可利用不等 式x－1<[x]≤x把方程化为不等式，先
求出x的范围，再在给定的范围内把方程转化为二次方程求 解。
解析：∵x－1<[x]≤x?－20x≤－20[x]<－20(x－1)
∴4x< br>2
－20x+23≤4x
2
－20[x]+23<4x
2
－2 0(x－1)+23
∵4x
2
－20x+23≤0?
5?25?2
≤x≤
22
4x
2
－20(x－1)+23>0?4x
2
－20x+43>0? x∈R
∴
5?25?2
≤x≤
22
5?2
≤x<2时， [x]=1，4x
2
－20[x]+23=0?4x
2
+3=0?x∈?；
2
17
；
2
①当
②当2≤x<3时，[x]=2，4x< br>2
－20[x]+23=0?4x
2
－17=0?x=
③当3≤x<< br>5?2
37
时，[x]=3，4x
2
－20[x]+23=0?4x< br>2
－37=0?x=；
2
2
17
37
和x=。 < br>2
2
∴原方程的解为x=
学生思考：画出y=[x]及y=
1
(4x
2
+23)的图象，找交点所在的范围求解。
20
24
1 5、分析：[x]是一种跳跃取值的函数，由于[x]、[2x]、[3x]、[4x]在0≤x<1时可分别取 到

5
x]则在0≤x<3上可取到5个值。但在0≤x< 3上，当x=0时，
3
1
这5个取整函数同时“跳跃”，在x=1、2时，[x]、[ 2x]、[3x]、[4x]同时“跳跃”，在x=、
2
35
、时，[2x]、[4x ]同时“跳跃”，故在在0≤x<3上f(x)可以取到22个不同的值。
22
0、1、2、 3、4个值，而[
解
0,
析：在0≤x<3时，当x递增依次经过
79971 25811
,,,,,,1,,,,,,,,2,,,,,,时，f(x)的值发生跳跃变
43 25345432345435234
化，在x∈[0,3)时，f(x)取得22个不同的值；
同样在x∈[3,6)时，f(x)取得22个不同的值；
∴在x∈[0,99)时，f(x)取得22×33=726个不同的值；
在x∈[99,100]时，f(x)取得8个不同的值；
∴在x∈[0,100]时，f(x)取得726+8=734个不同的值；
16、分析：利用[x]≤x<[x]+1。
?
10
n
?
10
n
11
n
?
＝1989?1989≤< 1990?×10×10
n

?
x
19901989
?< br>x
?
∵
11
=0.00050251…, =0.00050276…
19901989
∴当n=7时，5025.1…∴n的最小值为7。
17、分析：如能把S限制在两个相邻整数之 间，则S的值可以确定，因此应对S的值适当
放缩以使其较易确定其取值范围。
解析：∵1
n
1
2
<
2
2n
1
3
<< br>2
n?1?n
1
980100
=2(
n
－
n ?1
)
∴S=1+++…+<1+2(
2
－1)+2(
3
－
2
)+…+2(
980100
－
980099
)=1+2 (990－1)=1997
∵
1
n
<
2
2n
1< br>2
+
>
2
n?1?n
1
3
+…+
= 2(
n?1
－
n
)
∴S=1+
1
980100< br>>1+2(
3
－
2
)+2(
4
－
3
)+…+2(
980101
－
980100
)=1+2(
98010 0
－
2
)=1981－2
2
>1978
25

∴1978∴[S]=1978
18、分析：估算出所求数的大致范围，只要能说明该数介于两个相邻整数之间即可。
解析： ∵12
3
=1278<2006<2197=13
3
?12<
32006
<13?2017<2005+
3
2006
<2018
?12<
3
2005?
3
2006
<13?2016<2004+
3
2005?
3
2006
<2017
?12<
2 004?
3
2005?
3
2006
<13?…?
?11<
1715?
3
1716???
3
2006
<12?…?
?1<
1?2?
3
3???
3
2006
<2
∴[S]=1。
3
3
3
3
单元练习题
1、a=0,4
2、a=1或a=－1
3、2
90
－1
4、133
5、1002
6、197
11
≤a≤0时，G(x )的定义域为[－a,1+a]；当022
11< br>a]；而当a<－或a>时，G(x)不存在。
22
7、当－
8、f(x)=3－|x+1|
9、当a=－8时，l(a)
max
=
10、[1,
2
]
11、－2
1
(
5
+1)
2
?
t2
?1　　　　t?0
?
0?t?1
12、g(t)=
?t　　　　　　
?
t
2
?2t?2　　t?1
?
13、 N
min
=401
14、①|f(x)|≤1?|c|≤1；②|g(x)|≤ma x{|g(1)|,|g(－1)|}=2；③f(x)=2x
2
－1
26

15、(2,
9
]
4
444
或 x>1时，f(x)>0；当555
16、当017、
18、3
19、4
2 0、当a≥
11
时，方程无解；当022
21、(－∞,－1)∪(0,1)
22、x=2
23、∵2
w
+2
x
+2
y
+2
z
=20.625=24
+2
2
+2
-1
+2
-3
?w=4,x=2 ,y=－1,z=－3
24、?????和log
2
?+2
?
??。
25、x=
1
3
10
,x=
10
,x=100
26、3
27、08
28、600
27