高中数学计算区间-高中数学名师工作室个人简介
2001年全国初中数学联合竞赛试题及答案
2002年全国初中数学联合竞赛试题及答案
2003年全国初中数学联合竞赛试题及答案
2005年全国初中数学联合竞赛试题及答案
2005年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
2006年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
答案:
2007年全国初中数学联合竞赛决赛试题及答案
答案:
2008年全国初中数学联合竞赛一试试题及答案
答案:
2008年全国初中数学联合竞赛二试试题及答案
答案:
2009年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题(本题满分42分,每小题7分)
1. 设
a?7?1
,则3a
3
?12a
2
?6a?12?
( A )
A.24. B. 25. C.
47?10
. D.
47?12
.
2.在△ABC中,最大角∠A是最小角∠C的两倍,且AB=7,AC=8,则BC=
(
C )
A.
72
. B.
10
.
C.
105
. D.
73
.
3.用
[x]
表示不大于
x
的最大整数,则方程
x
2
?2
[x]?3?0
的解的个数为
( C )
A.1. B. 2.
C. 3. D. 4.
4.设正方形ABCD的中心为点O,在以五个点
A、B、C、D、O为顶点所构成的所有三角
形中任意取出两个,它们的面积相等的概率为
(
B )
A.
33
14
. B.
7
.
C.
1
2
. D.
4
7
.
5.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=2,以BC为直径在矩形内作半圆,自点A作半
圆的切线AE,则
sin?
CBE=
( D )
A.
6
3
. B.
21
10
3
. C.
3
.
D.
10
.
6.设
n
是大于1909的正整数,使得
n?1909
2009?n
为完全平方数的
n
的个数是
(
B )
A.3. B. 4. C. 5. D. 6.
二、填空题(本题满分28分,每小题7分)
1.已知
t
是实数
,若
a,b
是关于
x
的一元二次方程
x
2
?2x?
t?1?0
的两个非负实根,
则
(a
2
?1)(b
2
?1)
的最小值是_____
?3
_______.
A
D
E
B
C
2. 设D是△ABC的边AB上的一点,作DEBC交AC于点E,作DF
AC交BC于点F,
已知△ADE、△DBF的面积分别为
m
和
n
,
则四边形DECF的面积为___
2mn
___.
3.如果实数
a,b
满足条件
a?b?1
,
|1?2a?b|?2a?1?b
2<
br>?a
2
,则
22
a?b?
__
?1
____
.
4.已知
a,b
是正整数,且满足
2(
___7__对. 1515
?)
是整数,则这样的有序数对
(a,b)
共有
ab<
br>第二试
一.(本题满分20分)已知二次函数
y?x
2
?
bx?c(c?0)
的图象与
x
轴的交点分别
为A、B,与
y
轴的交点为C.设△ABC的外接圆的圆心为点P.
(1)证明:⊙P与
y
轴的另一个交点为定点.
(2)如果AB恰好为⊙P
的直径且
S
△ABC
=2
,求
b
和
c
的值
.
解 (1)易求得点
C
的坐标为
(0,c)
,设
A(
x,0)
1
,则
x
1
?x
2
??b
,x
1
x
2
?c
.
B(x
2
,0)<
br>,
设⊙P与
y
轴的另一个交点为D,由于AB、CD是⊙P的两条相交弦,它们
的交点为点O,
所以OA×OB=OC×OD,则
OD?
c
OA?OB
x
1
x
2
???1
.
OCcc
因为
c
?0
,所以点
C
在
y
轴的负半轴上,从而点D在
y
轴的正半轴上,所以点D为定
点,它的坐标为(0,1).
(2)因为AB⊥CD,如果A
B恰好为⊙P的直径,则C、D关于点O对称,所以点
C
的坐
标为
(0,?1
)
,
即
c??1
.
又
AB?x
1
?
x
2
?(x
1
?x
2
)
2
?4x
1
x
2
?(?b)
2
?4c?b
2
?4
,
所以
S
△ABC
?
11
2
AB?OC?b?4?1?2<
br>,
22
解得
b??23
.
二.
(本题满分25分)
已知△ABC中,∠ACB=90°,AB边上的高线CH与△ABC的
两条内角平分线
AM、BN分别交于P、Q两点.PM、QN的中点分别为E、F.求证:EF∥AB.
A
H
F
N
Q
P
E
C
M
B
解 因为BN是∠ABC的平分线,所以
?ABN??CBN
.
又
因为CH⊥AB,所以
?CQN??BQH?90???ABN?90???CBN??CNB
,
因此
CQ?NC
.
又F是QN的中点,所以CF⊥QN,所以
?CFB?90???CHB
,因此C、F、H、B四点
共圆.
又
?FBH=?FBC
,所以FC=FH,故点F在CH的中垂线上.
同理可证,点E在CH的中垂线上.
因此EF⊥CH.
又AB⊥CH,所以EF∥AB.
三.(本题满分25分)已知
a,b,c
为正数,满足如下两个条件:
a?b?c?32
①
b?c?ac?a?ba?b?c1
???
②
bccaab4
是否存在以
a,b,c
为三边长的三角形?如果存在,求
出三角形的最大内角.
解法1 将①②两式相乘,得
(
b?c?ac?a?ba?
b?c
??)(a?b?c)?8
,
bccaab
(b?c)
2<
br>?a
2
(c?a)
2
?b
2
(a?b)
2<
br>?c
2
???8
, 即
bccaab
(b?c)
2
?a
2
(c?a)
2
?b
2
(a?b)
2
?c
2
?4??4??0
, 即
bccaab
(b?c)
2
?a
2
(c?a)
2
?b
2
(a?b)
2
?c
2
???0
, 即
bccaab(b?c?a)(b?c?a)(c?a?b)(c?a?b)(a?b?c)(a?b?c)
??
?0
,
bccaab
(b?c?a)
[a(b?c?a)?b(c?a?b
)?c(a?b?c)]?0
, 即
abc
(b?c?a)(b?c?a)
2
[2ab?a
2
?b
2
?c
2
]?0
,即
[c?(a?b)
2
]?0
,
即
abcabc
(b?c?a)
(c?a?b)(c?a?b)?0
, 即
abc
0
或
c?a?b?0
或
c?a?b?0
,即
b?a?c
或
c?a?b
或所以
b?c?a?
c?b?a<
br>.
即
因此,以
a,b,c
为三边长可构成一个直角三角形,它的最大
内角为90°.
32?2a32?2b32?2c1
???
,
bcca
ab4
1
222
变形,得
1024?2(a?b?c)?abc
③
4
解法2 结合①式,由②式可得
又由①式得
(a?b?c)2
?1024
,即
a
2
?b
2
?c
2
?1024?2(ab?bc?ca)
,
代入③式,得
1024?2[10
24?2(ab?bc?ca)]?
即
abc?16(ab?bc?ca)?4096
.
1
abc
,
4
(a?16)(b?16)(c?16)?a
bc?16(ab?bc?ca)?256(a?b?c)?16
3
??4096?256?32?16
3
?0
,
所以
a?16
或
b?16
或
c?16
.
结合①式可得
b?a?c
或
c?a?b
或
c?b?a
.
因此,以
a,b,c
为三边长可构成一个直角三角形,它的最大内角为90°.
2010年全国初中数学联合竞赛试题参考答案
第一试
一、选择题:(本题满分42分,每小题7分)
1. 若
a,b,c
均为整
数且满足
(a?b)
10
?(a?c)
10
?1
,则
|a?b|?|b?c|?|c?a|?
( B )
A.1. B.2. C.3. D.4.
2.若
实数
a,b,c
满足等式
2a?3|b|?6
,
4a?9|b|?6
c
,则
c
可能取的最大值为
( C )
A.0.
B.1. C.2. D.3.
3.若
a,b
是两个正数,且
a?1b?1
??1?0,
ba
则
( C )
A.
0?a?b?
2
1144
.
B.
?a?b?1
. C.
1?a?b?
.
D.
?a?b?2
.
3333
42
4.若方程
x?3x?
1?0
的两根也是方程
x?ax?bx?c?0
的根,则
a?b?2c
的
值为 ( A )
A.-13. B.-9.
C.6. D. 0.
5.在△
ABC
中,已知
?CAB?6
0?
,
D
,
E
分别是边
AB
,
AC
上的点,且
?AED?60?
,
ED?DB?CE?CDB?2?CDE?DCB?
,,则
( B )
A.15°.
B.20°. C.25°. D.30°.
6.对于自然数
n
,将其各位数字之和记为
a
n
,如
a
2009
?2?0?
0?9?11
,
a
2010
?2?0?1?0?3
( D )
,则
a
1
?a
2
?
a
3
??a
A.28062. B.28065.
C.28067. D.28068.
二、填空题:(本题满分28分,每小题7分)
?
x
3
?y
3
?19,
22
1.已知实数
x,y
满足方程组
?
则
x?y?
13 .
?
x?y?1,
2.二次函数
y?x
2
?b
x?c
的图象与
x
轴正方向交于
A
,
B
两点,与<
br>y
轴正方向交于
点
C
.已知
AB?
1
3AC
,
?CAO?30?
,则
c?
.
93.在等腰直角△ABC中,AB=BC=5,P是△ABC内一点,且PA=
5
,PC=
5,则PB
=___
10
___.
4.将若干个红、黑两种颜色的球摆成一
行,要求两种颜色的球都要出现,且任意中间
夹有5个或10个球的两个球必为同一种颜色的球.按这种
要求摆放,最多可以摆放____15___
个球.
第二试 (A)
一.(本题满分20分)设整数
a,b,c
(
a?b?c
)为三角形的三
边长,满足
a
2
?b
2
?c
2
?ab?ac?bc
?13
,求符合条件且周长不超过30的三角形的个数.
解 由已知等式可得
(
a?b)
2
?(b?c)
2
?(a?c)
2
?26
①
令
a?b?m,b?c?n
,则
a?c?m?n
,其中
m,n
均为自然数.
于是,等式①变为
m?n?(m?n)?26
,即
222
m
2
?n
2
?mn?13
②
由于
m,n
均为自然数,判断易知,使得等式②成立的
m,n
只有两组:
?
?
m?3,
?
m?1,
和
?
?
n?3.
?
n?1
(1)当
m?3,n?1
时,
b?c?
1
,
a?b?3?c?4
.又
a,b,c
为三角形的三边长,所以
b?c?a
,即
(c?1)?c?c?4
,解得
c?3
.又因为三角形的周长不超过30,即
a?b?c?(c?4)?(c?1)?c?30
,解
得
c?
2525
.因此
3?c?
,所以
c
可以取值
4,5,
33
6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
(2)当
m?1,n?3
时,
b?c?3
,
a?b?1?c?4
.又
a,b,c
为三角形的三边长,所
以
b?c?a
,即
(c?3)?c
?c?4
,解得
c?1
.又因为三角形的周长不超过30,即
a?b?c?(
c?4)?(c?3)?c?30
,解得
c?
2323
.因此
1?c
?
,所以
c
可以取值2,3,
33
4,5,6,7,
对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.
二.(本题满分2
5分)已知等腰三角形△ABC中,AB=AC,∠C的平分线与AB边交于
点P,M为△ABC的内切
圆⊙I与BC边的切点,作MDAC,交
⊙I于点D.证明:PD是⊙I的切线.
A
证明 过点P作⊙I的切线PQ(切点为Q)并延长,交BC
于点N.
P
因为CP为∠ACB的平分线,所以∠ACP=∠BCP.
I
又因为PA、PQ均为⊙I的切线,所以∠APC=∠NPC.
Q
又CP公共,所以△ACP≌△NCP,所以∠PAC=∠PNC.
由NM=QN
,BA=BC,所以△QNM∽△BAC,故∠NMQ=∠ACB,
B
M
N
所
以MQAC.
又因为MDAC,所以MD和MQ为同一条直线.
又点Q、D均在⊙I上,所以点Q和点D重合,故PD是⊙I的切线.
三.(本题满分25
分)已知二次函数
y?x
2
?bx?c
的图象经过两点P
(1,a)
,
Q
(2,10a)
.
(1)如果
a,b,c
都
是整数,且
c?b?8a
,求
a,b,c
的值.
(2)设二次函数
y?x
2
?bx?c
的图象与
x
轴的交点为A、B,与y
轴的交点为C.如果
关于
x
的方程
x?bx?c?0
的两个根都是整数,求△ABC的面积.
2
解 点P
(1,a)
、Q(2,10a)
在二次函数
y?x?bx?c
的图象上,故
1?b?c?
a
,
2
C
4?2a?c?10a
,
解得
b?9a?3
,
c?8a?2
.
(1)由
c?b?8a
知
?
?
8a?2?9a?3,
解得
1?a?3
.
?
9a?3?8a,
又
a
为整数,所以
a?2
,
b?9a?3?15
,
c?8a?2?14
.
(2)
设
m,n
是方程的两个整数根,且
m?n
.
由根与系数的关系可得
m?n??b?3?9a
,
mn??c?2?8a
,消去
a
,得
9mn?8(m?n)??
,
6
两边同时乘以9,得
81mn?72(m?n)??54
,分解因式,得
(9m?8)(9n?8)?10
.
?
9m?8?1,
?
9m?8?2,
?
9m?8??1
0,
?
9m?8??5,
所以
?
或
?
或
?
或
?
9n?8?10,9n?8?5,9n?8??1,9n?8??2,
????
1021
???
m?,m??,m?,
??
?
m?1,
?
???
9993
解得
?
或<
br>?
或
?
或
?
?
n?2,
?
n?
13
,
?
n?
7
,
?
n?
2
,
???
993
???
又
m,n
是整数,所以后
面三组解舍去,故
m?1,n?2
.
因此,
b??(m?n)??3
,
c??mn??2
,二次函数的解析式为
y?x
2
?3x?2<
br>.
易求得点A、B的坐标为(1,0)和(2,0),点C的坐标为(0,2),所以△ABC
的面积为
1
?(2?1)?2?1
.
2
第二试 (B)
一.(本题满分20分)设整数
a,b,c
为三角形的三边长,满足
a
2?b
2
?c
2
?ab?ac?bc?13
,求符合条件且周长不
超过30的三角形的个数(全等的三
角形只计算1次).
解
不妨设
a?b?c
,由已知等式可得
(a?b)
2
?(b?c)<
br>2
?(a?c)
2
?26
①
令
a?b?m,b?c
?n
,则
a?c?m?n
,其中
m,n
均为自然数.
于是,等式①变为
m?n?(m?n)?26
,即
222
m
2
?n
2
?mn?13
②
由于
m,n
均为自然数,判断易知,使得等式②成立的
m,n
只有两组:
?
?
m?3,
?
m?1,
和
?
n?3.
n?1
?
?
(1)当
m?3,n?1
时,
b?c?
1
,
a?b?3?c?4
.又
a,b,c
为三角形的三边长,所以
b?c?a
,即
(c?1)?c?c?4
,解得
c?3
.又因为三角形的周长不超过30,即
a?b?c?(c?4)?(c?1)?c?30
,解
得
c?
2525
.因此
3?c?
,所以
c
可以取值
4,5,
33
6,7,8,对应可得到5个符合条件的三角形.
(2)当
m?1,n?3
时,
b?c?3
,
a?b?1?c?4
.又
a,b,c
为三角形的三边长,所
以
b?c?a
,即
(c?3)?c
?c?4
,解得
c?1
.又因为三角形的周长不超过30,即
a?b?c?(c?4)?(c?3)?c?30
,解得
c?
2323
.因此
1?c?
,所以
c
可以取值2,3,
33
4,5,6,7,
对应可得到6个符合条件的三角形.
综合可知:符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11.
二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.
三.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第三题相同.
第二试
(C)
一.(本题满分20分)题目和解答与(B)卷第一题相同.
二.(本题满分25分)题目和解答与(A)卷第二题相同.
三.(本题满分25分)设<
br>p
是大于2的质数,
k
为正整数.若函数
y?x
2
?
px?(k?1)p?4
的图象与
x
轴的两个交点的横坐标至少有一个为整数,求k
的
值.
解 由题意知,方程
x
2
?px?(k?
1)p?4?0
的两根
x
1
,x
2
中至少有一个为整数.
由根与系数的关系可得
x
1
?x
2
??p,x
1<
br>x
2
?(k?1)p?4
,从而有
(x
1
?2)(
x
2
?2)?x
1
x
2
?2(x
1
?x<
br>2
)?4?(k?1)p
①
(1)
若
k?1
,则方程为
x
2
?px?2(p?2)?0
,它有
两个整数根
?2
和
2?p
.
(2)若
k?1
,则
k?1?0
.
因为
x
1
?x
2
??p
为整数,如果
x
1
,x
2
中至少有一个为整数,则
x
1
,x
2
都是整数.
又因为
p
为质数,由①式知
p|x
1
?2
或
p|
x
2
?2
.
不妨设
p|x
1
?2
,则可
设
x
1
?2?mp
(其中
m
为非零整数),则由①式可得<
br>x
2
?2?
k?1
,
m
k?1k?1
,即
x
1
?x
2
?4?mp?
.
mm
k?1
又
x
1
?x
2
??p
,所以
?p?4?m
p?
,即
m
k?1
(m?1)p??4
②
m
k?1k?1
?0
,从而
(m?1)p??6
,如果
m
为正整数,则
(m?1)p?(1?1)?3?6
,
mm
故
(x
1
?2)?(x
2
?2)?mp?
与②式矛盾. <
br>如果
m
为负整数,则
(m?1)p?0
,
k?1k?1
?0
,
?0
,从而
(m?1)p?
与②式矛盾.
mm<
/p>
因此,
k?1
时,方程
x
2
?px?(k?1
)p?4?0
不可能有整数根.
综上所述,
k?1
.
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