29四川高中数学竞赛试题及答案

最新全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、函数
f
?
x
?
对于任意实数
x
满足：
f
?
x?3
?
??
【 】
1
，若
f(0)?2
，则
f(2013)?

f
?
x
?
1
1
A、
?
B、 C、2 D、2013
2
2
2、设等差数列
?
a
n
?
与等比数列
?
b
n
?
满足：
0?a
1
?b
1
?a5
?b
5
，则下述四个结论：
①
a
3
?b
3
； ②
a
3
?b
3
； ③
a
6
?b
6
； ④
a
6
?b
6
中正确的个数是 【 】
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 < br>3、已知二面角
?
?l?
?
的平面角为
?
，
PA?
?
，
PB?
?
，
A
、
B
为 垂足，
PA=5
，
PB=4
，设
A
、
B
到 二面角的棱
l
的距离分别为
x
、
y
，当
?
变化时，点
(x,y)
的轨迹为下
列图形中的 【 】
A、 B、 C、 D、
4、从
[0,10]
上任取一个数
x
，从
[0,6]
上任取一个数
y
，则使得
|x?5|?|y?3|?4
的概
率是 【 】
113
1
A、 B、 C、 D、
5
3
24
5、当平面上的点
(x,y)
的坐标
x
、
y
都为有理数时，该点称为有理点，设
r
是给定的正< br>实数，则圆
(x?1)
2
?(y?2)
2
?r
2上的有理点 【 】
A、最多有一个 B、最多有两个 C、最多有四个 D、可以有无穷多个
6、△ABC中，
?C?90
o
，
?B?30
o
,
AC=2
，M是AB的中点，将△ACM沿CM翻折，
使A、B两点间的距离为
22
，则三棱锥
A?BCM
的体积等于 【 】
A、

2
2
B、
3
3
C、
6

3
D、
22

3
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
3?x
，记< br>f(1)?f(2)?f(4)???f(1024)?m
，
1?x
1111< br>f()?f()?f()???f()?n
，则
m?n?
．
2481024
2342013
8、已知
i
是虚数单位， z?1?i?i?i?i?L?i
，把复数
z
的共轭复数记为
z
，则
z?z
= ．
y
2
2
?1
，则
x2?y
2
的最大值是 ． 9、实数
x,y
满足
x?
16
42
10、关于曲线C：
x?y?1
的下列命题：
7、已知函数
f(x)?
① 曲线C关于原点对称； ② 曲线C关于直线
y=x
对称；
③ 曲线C所围成的面积小于
?
； ④ 曲线C所围成的面积大于
?
，
其中的真命题是 ．（写出所有真命题的编号）
11
11、设
n
是小于100的正整数，且满足
(n
2
?1)?n
为整数，则符合条件的所有正整数
n
的
35

和为 ．
12、已知函数
f(x)?
a
?x
，对任意
x?(0, 1)
，有
f(x)?f(1?x)?1
恒成立，则实数
a
的取
x
π
2
值范围是 ．
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、设实数
?
?0
，已知函数
f(x)?sin
?
x?3sin
?
x? sin(
?
x?)
的最小正周期是
2
πππ
．求
f (x)
在
[,]
上的最大值与最小值．
84
2

x
3
?3x
*
x?f(x)(n?N)
，记
{x}x?2< br>14、已知函数
f(x)?
，数列满足：，
n?1n
n1
2< br>3x?1
x?1
b
n
?log
3
(
n?1< br>)

(n?N
*
)
．
x
n?1
?1
( I ) 求证：数列
{b
n
}< br>成等比数列，并求数列
{b
n
}
的通项公式；
*
（ II）记
c
n
??nb
n
(n?N)
，求数列
{c
n
}
的前
n
项和公式
T
n
．







x
2
15、已知点
B(0,1)
，P、Q为椭圆
+y
2
=1
上异于点B的任意 两点，且
BP?BQ
．
4
（I）若点B在线段PQ上的射影为点M，求M的轨迹方程；
（II）求线段PQ的中垂线l在x轴上的截距的取值范围．












1 6、若实数
x
0
满足
f(x
0
)?x
0
， 则称
x?x
0
为
f(x)
的不动点．已知函数
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?3
，其中
a,b
为常数．
（Ｉ）若
a?0
，求函数
f(x)
的单调递增区间；
（I I）若
a?0
时，存在一个实数
x
0
，使得
x?x
0
既是
f(x)
的不动点，又是
f(x)
的极值
点．求实数
b
的值；
（III）求证：不存在实数组
(a,b)< br>，使得
f(x)
互异的两个极值点皆为不动点．

2013年全国高中数学联赛（四川）初赛试题
参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各题的
评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生 的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时可参
考本评分标准适当划分档次评分， 5分一个档次，不要再增加其它中间档次.
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、A 2、B 3、C 4、C 5、B 6、D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
91
10、①④ 11、635 12、
{a|a?1或a??}

44
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
7、42 8、2 9、
13、已知函数
f(x)?sin
2
?
x?3s in
?
x?sin(
?
x?)(
?
?0)
的最小正 周期是．
π
2
π
2
求
f(x)
在
[,]
上的最大值与最小值．
ππ
84
解：
f(x)?
1?cos2
?
x3311
?sin2
?
x?sin2
?< br>x?cos2
?
x?

22222
?
1
?sin(2
?
x?)?
， （5分）
62
2
??
由条件知
T??
，则
?
?2
．
2
?
2
?
1
于是
f(x)?sin(4x?)?< br>， （10分）
62
??
??
5
?
当
?x?
时，
?4x??
，
84366
1
??
13
故
?sin(4x?)?1
，即
1?sin(4x?)? ?
． （15分）
26622
?
3
?
所以，
f(x)
在
x?
时取最大值，在
x?
时取最小值是
1
． （20分）
64
2
x
3
?3x
*
14、已知函数
f(x)?
，数列
{x
n
}
满足：
x
1< br>?2
，
x
n?1
?f(x
n
)(n?N)
. ，
2
3x?1
记
b
n
?log
3
(x
n?1
?1
)

(n?N
*
)
．
x
n?1
?1
( I ) 求证：数列
{b
n
}< br>成等比数列，并求数列
{b
n
}
的通项公式；
（II）记< br>c
n
??nb
n
(n?N)
，求数列
{c
n
}
的前
n
项和公式
T
n
．
*