河北省高中数学竞赛试题

2008年河北省高中数学竞赛试题
（时间：5月18日上午8：30～11：30）
一、 选择题
（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）

1．函数y?f(x?2)
的图像过点（-1，3），则函数
f(x)
的图像关于
y
轴对称的图形一定
过点（ ）．
A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D (-3,3)
2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．
A 4 B 6 C 8 D 16
3．若函数y?log
a
?
x
2
?ax?1
?
有最小值， 则a的取值范围是（ ）．
A
0?a?1
B
0?a?2,a?1
C
1?a?2
D
a?2

a
2
?b
2
4．已知
a?b,a b?1,
则的最小值是（ ）．
a?b
A
22
B
2
C 2 D 1
5．已知
cos x?cosy?1
，则
sinx?siny
的取值范围是（ ）．
???
A
?
?1，1
?
B
?
?2，2
?
C
?
?
0，3
?
D
?
?3，3
?

6．函数
f(x)
是
(0 ,??)
上的单调递增函数，当
n?N
*
时，
f(n)?N
*
，且
f[f(n)]?3n
，
则
f(1)
的值等于（ ）．
A 1 B 2 C 3 D 4
二、填空题
（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）

7．设集合S?
?
1，，2?，1
?
5
，
A?
?
a
1
，a
2
，a
3
?
是S的子集，且
?< br>a
1
，a，a
3
?
满足：
2
，
a< br>3
?a
2
?6
，那么满足条件的子集的个数为 ．
1?a
1
2
3
?15
8．已 知数列
{a
n
}
满足
a
1
?0,
a
n?1
?
a
n
?
1
?
21
?
a
n
(n
?
1,2,
?
)
，则
a
n
=___ .
9．已知坐标平面上三点
A
?
0,3
?
,B?3,0,C
???
3,0
，
P
是坐标平面上的点 ，且
?
PA?PB?PC
，则
P
点的轨迹方程为 ．
10． 在三棱锥
S?ABC
中，
SA?4
，
SB?7
，
SC?9
，
AB?5
，
BC?6
，
AC ?8
．则
第 1 页 共 12 页

三棱锥
S?ABC
体积的最大值为 ．
11． 从m个男生，n个女生（
10?m?n?4
）中任选2个人当组长，假设 事件A表示
选出的2个人性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概
率相等，则（m，n）的可能值为 ．
??
????
12．
O,A,B
是平面上不共线三点，向量
OA?a
，
OB?b
，设P为线段AB垂直平分线
?
?
上任意一点，向量
OP?p
．若
|a?|
?
??
?
，
|b|?3< br>，则
p?(a?b)
的值是
5
____ ____．
三、解答题
（本大题共5小题，每题的解答均要求有推理过程，13小题10分, 17小题14分,其余
每小题12分，满分60分）

a,b
是两个不相等的 正数，13．且满足
a
3
?b
3
?a
2
?b
2
，求所有可能的整数c,使得
c?9ab
.










14．如图，斜三棱柱< br>ABC?A
1
B
1
C
1
的所有棱长均为
a< br>，侧面
B
1
C
1
CB?
底面
ABC
，且
AC
1
?BC
.
（1） 求异面直线
AA
1
与
B
1
C
1
间的距离；
（2） 求侧面
A
1
B
1
BA
与底面
AB C
所成二面角的度数．









A
1

C
1
B
1
A
B
B
C
15．设向量
i,j
为直角坐标平面内x轴，y 轴正方向上的单位向量．若向量
a?(x?2）i?yj
，
第 2 页 共 12 页

?
?
b?(x?2）i?yj
，且
?a? ??b???
．
（1）求满足上述条件的点
P(x,y)
的轨迹方程； < br>（2）设
A(?1,0),F(2,0)
，问是否存在常数
?
(
?
?0)
，使得
?PFA?
?
?PAF
恒成
立？ 证明你的结论．







16．在数列
?
a
n
?
中，
a
1
，
a
2
是给定的非零整数，
a
n?2
?a
n?1
? a
n
．
（1）若
a
15
?2
，
a
16
??1
，求
a
2008
；
（2）证明：从
?
a
n
?
中一定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列．





17． 设定义在[0，2]上的函数
f(x)
满足下列条件：
①对于
x?[0,2 ]
，总有
f(2?x)?f(x)
，且
f(x)?1
，
f( 1)?3
；
②对于
x,y?[1,2]
，若
x?y?3
， 则
f(x)?f(y)?f(x?y?2)?1
．
证明：（1）
f(








12
*
)??1
n?N
（）；（2）
x?[1, 2]
时，
1?f(x)?13?6x
．
nn
33
2008年河北省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准
（时间：5月18日上午8：30～11：30）
一、 选择题
（本大题共6小题，每小题6分，满分36分）

第 3 页 共 12 页

1．函数
y?f(x?2)
的图像过点（-1，3），则函 数
f(x)
的图像关于
y
轴对称的图形一定
过点（ ）．
A (1,-3) B (-1,3) C (-3,-3) D (-3,3)
答案：B.
2．把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有（ ）种．
A 4 B 6 C 8 D 16
答案：C.
解： 设
x
2
?y
2
?2008
，即
(x ?y)(x?y)?2008
．2008有8个正因数，分别为1，2，4，
8，251，50 2，1004，2008．而且
(x?y)
与
(x?y)
只能同为偶数，因此 对应的方程组为
?2?4?502?1
?
x?y?

?
x ?y??1004?502?4?2100450242
?
故
?
x，y
?
共有8组不同的值：
(503,501),(?503,?501),(?503,501 ),(503,?501)
；
(253,249),(?253,?249),(?253,2 49),(253,?249)
．
3．若函数
y?log
a
?x
2
?ax?1
?
有最小值，则a的取值范围是（ ）．
A
0?a?1
B
0?a?2,a?1
C
1?a?2
D
a?2

答案：C．
2
解：当
0?a?1
时，
y?log
a
x
是递减函数，由于
t?x?ax?1
没有最大值，所以
2
y?log
a
?x
2
?ax?1
?
没有最小值；当
a?1
时，
y?log
?
有最小值等价于
a
?
x?ax?1
t?x2
?ax?1
有大于0的最小值．这等价于
??a
2
?4?0< br>，因此
1?a?2
．
a
2
?b
2
4．已知
a?b,ab?1,
则的最小值是（ ）．
a?b
A
22
B
答案：A.
2
C 2 D 1
a
2
?b
2
解：记
a?b?t
，则< br>t?0
，
a?b
t?2,即a?
t
2
?22
??t??22
，（当且仅当
tt
6?26?2
,b?
时取等号）． 故选A．
22
第 4 页 共 12 页

5．已知
cosx?cosy?1
，则
sinx?siny
的取值范围是（ ）．
???
A
?
?1，1
?
B
?
?2，2
?
C
?
?
0，3
?
D
?
?3，3
?

答案：D．
t
2
?1t
2
?1
解：设
sinx?siny?t
，易得
cosxco sy?sinxsiny?
，即
cos
?
x?y
?
?
．由于
22
t
2
?1
?1
，解得
?3?t?3
．
?1?cos
?
x?y
?
?1< br>，所以
?1?
2
6．函数
f(x)
是
(0,??)< br>上的单调递增函数，当
n?N
*
时，
f(n)?N
*
，且
f[f(n)]?3n
，
则
f(1)
的值等于（ ）．
A 1 B 2 C 3 D 4
答案：B
解：（用排除法）令
n?1
，则得
f[f(1)]?3
．
若
f(1)?1
，则
f[f(1)]?f(1)?3
，与
f(1)? 1
矛盾；
若
f(1)?3
，则
f[f(1)]?f(3)?3，与“
f(x)
在
(0,??)
上单调递增”矛盾；
若
f(1)?4
，则
f[f(1)]?f(4)?3
，也与“
f(x)
在
(0,??)
上单调递增”矛盾．
故选B．
二、填空题
（本大题共6小题，每小题9分，满分54分）

7．设集合S?
?
1，，2?，1
?
5
，
A?
?
a
1
，a
2
，a
3
?
是S的子集，且
?< br>a
1
，a，a
3
?
满足：
2
，
a< br>3
?a
2
?6
，那么满足条件的子集的个数为 ．
1?a
1
2
3
?15
答案： 371．
解：当
2?a
2
?9
时，
?
a
1
,a
2
?
有
C
9
2
种选择方法， a
3
有6种选择方法，所以
?
a
1
,a
2,a
3
?
共
2
有
6?C
9
当
10?a
2
?14
时，一旦
a
2
取定，
a
1
有
a
2
?1
种选择方法，
a
3
有
?216
种选择方法；
15?a
2
种选择方法，所以选择
?
a
1
,a
2
,a
3
?
的方法有
a< br>2
?10
?
?
a
14
2
?1
??< br>15?a
2
?
?9?5?10?4?11?3?12?2?13?1?155< br>种．
第 5 页 共 12 页

综上，满足条件的子集共有371个．
8．已知数列
{a
n
}
满足
a
1
?0,
a
n?1
?
a
n
?
1
?
21
?
a
n
(n
?
1,2,
?
)
，则
a
n
=___ .
答案：
a
n
?n
2
?1
．
解：由已知得
a
n?1
?1?a
n
?1?21?a
n
?1?(a
n
?1?1)
2
，且
a
n
?1?0
． < br>所以
a
n?1
?1?a
n
?1?1
，即{
a
n
?1
}是首项、公差均为1的等差数列，所以
a
n
?1< br>=n，即有
a
n
?n
2
?1
.
9．已知坐 标平面上三点
A
?
0,3
?
,B?3,0,C
???
3,0
，
P
是坐标平面上的点，且
?
PA?PB?PC
， 则
P
点的轨迹方程为 ． 答案：
x
2
?
?
y?1
?
?4
2?
y?0
?
.
A
解：如图，作正三角形
PCD，由于
?ABC
也是正三角形，所以
可证得
?ACP
≌
?BCD
，所以
BD?AP
．
又因为
BD?PB?PC?PB?PD
，所以点
B,P,D
共线．
?CBP??PAC
，所以P点在
?ABC
的外接圆上，又因为
B
P
C
PA?PB,PA?PC
，所以所求的轨迹方程为
D < br>x
2
?
?
y?1
?
?4
2
?
y?0
?
．
10． 在三棱锥
S?ABC
中，
SA?4
，
SB?7
，
SC?9
，
AB?5
，
BC ?6
，
AC?8
．则
三棱锥
S?ABC
体积的最大值为 ．
答案：
86
.
SA
2
?AB
2
?S B
2
4
2
?5
2
?7
2
1
???
， 解：设
?SAB?
?
，根据余弦定理有
cos
?
?
2?SA?AB2?4?55
故
sin
?
?1?cos
2
?
?
1
26
，
S
?SAB
??SA?A Bsin
?
?46
．由于棱锥的高不超过它的
2
5
1
侧棱长，所以
V
C?SAB
?S
?SAB
?BC?86
. 事实上，取
SB?7
，
BC?6
且
CB?平面SAB
时，< br>3
可以验证满足已知条件，此时
V
SABC
?86
，棱锥的体 积可以达到最大．
第 6 页 共 12 页

11． 从m个男生 ，n个女生（
10?m?n?4
）中任选2个人当组长，假设事件A表示
选出的2个人 性别相同，事件B表示选出的2个人性别不同．如果A的概率和B的概
率相等，则（m，n）的可能值为 ．
答案:（10，6）.
2211
C
m
?C
n
C
m
C
n
2211
解：
P
?
A
?
?
，由于，所以
,PB?
C?C?CC
n
，整理得
PA?PB
??
????
mnm
22
C
m?n
C< br>m?n
?
m?n
?
2
?m?n
．即
m?n< br>是完全平方数，且
9?m?n?19
，因此
?
m?n?9
?
m?n?16
?
m?6
?
m?10

?
，
?
，解得
?
（不合条件），
?
.
?
m?n?3
?
m?n?4
?
n?3
?
n ?6
所以
?
m,n
?
?
?
10,6
?．
??
?
???
12．
O,A,B
是平面上不共线三 点，向量
OA?a
，
OB?b
，设P为线段AB垂直平分线
?
?
|
上任意一点，向量
OP?p
．若
|a?
?
? ?
?
5
，
|b|?3
，则
p?(a?b)
的值是
____ ____．
答案:8．
???????? ????
解：如图,
QP
是线段AB的垂直平分线，
OP?OQ?QP
，
????
1
?
?
????????
OQ?a?b，
QP?BA
，
2
??
?
?
??????? ?????????????????????
p?(a?b)?(OQ?QP)?BA?OQ?BA? QP?BA

P
A
??
Q
O B
?
?
1
????
1
?
?
?(a?b)?(a?b)??a? ??b??8
．
22
??
三、解答题
（本大题共5小题，每题的解 答均要求有推理过程，13小题10分,17小题14分,其余
每小题12分，满分60分）

a,b
是两个不相等的正数，13．且满足
a
3
?b
3?a
2
?b
2
，求所有可能的整数c,使得c?9ab.
解： 由
a
3
?b
3
?a
2
?b
2
得< br>a
2
?ab?b
2
?a?b
,所以
ab?(a?b)
2
?(a?b)?0
,
由此得到
a?b?1
.
14
又因为
(a?b)
2
?ab?(a?b)
2
?(a?b )
,故
1?a?b?
.
………………………4分

43
第 7 页 共 12 页

4
又因为
ab?(a?b)
2
?(a?b)
, 令
t?a?b?(1,)
则
ab?t
2
?t
.
……………6分

3
当
t?1
时，
t
2
?t
关于t单调递增，所以
0? ab?
4
，
0?9ab?4
.
9
因此
c
可以取1，2，3.
…………………………………………………………………
10分

14．如图，斜三 棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的所有棱长均为
a
，侧面
B
1
C
1
CB?
底面
ABC< br>，且
AC
1
?BC
.
（1） 求异面直线
AA
1
与
B
1
C
1
间的距离；
（2） 求侧面
A
1
B
1
BA
与底面
AB C
所成二面角的度数．
解：（1）如图，取
BC
中点D，连
AD ,C
1
D
.

A
1

C
1
B
1
A
B
B
C
1
C
AD?BC
?
?
?BC?平面ADC1
?C
1
D?BC
.
AC
1
?BC
?
A
1

?
平面B
1
C
1
CB?底面ABC
,
∴
C
1
D?平面ABC
.
由
AD?BC知AD? 平面BB
1
C
1
C
.
……………
4分
A
B
1
C
D
B
O
3
a
.
……………
6分
2
AA
1
∥
CC
1
?AA
1
∥ 平面
BB
1
C
1
C
.
所以异面直线
AA
1
与
B
1
C
1
间的距离等于
AD?
E
（2）如图，
过B
1
作BO?BC,交BC于O,则BO?底面ABC .

11
过O作OE?AB,交AB于E,连B
1
E.
< br>则?B
1
EO与所求二面角的平面角互补.
………………………………..…… 8
分
3
a
B
1
O
3a3
2
B1
O?C
1
D?a,OB?,OE??B
1
EO???2.
224OE
3
a
4
?B
1
EO?arcta n2.所以二面角的度数为
?
?arctan2
.
……………………
12分
15．设向量
i,j
为直角坐标平面内x轴，y轴正方向上的单位向量．若向 量
第 8 页 共 12 页

?
?
a?(x?2） i?yj
，
b?(x?2）i?yj
，且
?a???b???
．
（1）求满足上述条件的点
P(x,y)
的轨迹方程；
（2）设
A (?1,0),F(2,0)
，问是否存在常数
?
(
?
?0)
，使得
?PFA?
?
?PAF
恒成
立？证明你的结论．
?
?
解：（1）由条件
?a???b???
可知：
( x?2)
2
?y
2
?(x?2)
2
?y
2
?2
.
y
2
?1(x?0)
.
…………………
4分 由双曲线定义 ，得点P的轨迹方程：
x?
3
2
?
（2）在第一象限内作
P F?x轴，P点坐标为(2,3)
，此时
?PFA?90
?
,

?PAF?45.

?
?2
．
………………………………… ….………………….……
6分
以下证明当PF与x轴不垂直且P在第一象限时，
?PFA?2?PAF
恒成立． < br>k
PA
?
y
1
y2k
PA
2(x
1
?1)y
1
,k
PF
?
1
,
则tan2? PAF??.

222
x
1
?1x
1
?21?(k
PA
)(x
1
?1)?y
1
y
2
?1，得
y
1
2
?3(x
1
2
?1)?3(x1
?1)(x
1
?1)
. 由
x?
3
2
代入上式并化简得
tan2?PAF??
y
1
y
,tan?PFA ??k
PF
??
1
.
……
10分
x
1< br>?2x
1
?2
即tan2?PAF?tan?PFA，所以?PFA?2?PA F.

由对称性知，当P在第四象限时，同样成立．
故存在常数
?
?2
，使得
?PFA?2?PAF
恒成立．
………………….………
12分

16．在数列
?
a
n
?
中，
a
1
，
a
2
是给定的非零整数，
a
n?2
? a
n?1
?a
n
．
（1）若
a
15
?2
，
a
16
??1
，求
a
2008
； （2）证明：从
?
a
n
?
中一定可以选取无穷多项组成两个不同 的常数数列．
解：（1）∵
a
15
?2
，
a
16
??1
，
a
17
?3
，
a
18
? 4
，
a
19
?1
，
a
20
?3
，
a
21
?2
，
a
22
?1
，
a< br>23
?1
，
a
24
?0
，
a
25< br>?1
，
a
26
?1
，
a
27
?0< br>，……
∴自第22项起，每三个相邻的项周期地取值1，1，0，故a
2008
=1．
……
4分
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（ 2）首先证明数列
?
a
n
?
必在有限项后出现零项．假设
?
a
n
?
中没有零项，
由于
a
n?2
?a
n?1
?a
n
，所以.
n?3
时，都有
a
n
?1
．
……………………
6分
当
a
n?1?a
n
时，
a
n?2
?a
n?1
?a
n
?a
n?1
?1
（
n?3
）；
当
a< br>n?1
?a
n
时，
a
n?2
?a
n
?a
n?1
?a
n
?1
（
n?3
），
即
a
n?2
的值要么比
a
n?1
至少小1，要么比
a
n
至少小1．
…………………
8分
?
a (a2n?1
?a
2n?2
)
令
b
n
?
?
2n?1
，
n?1,2,...
，则
0?b
n?1
?b
n
?1
．
a (a?a)
2n?12n?2
?
2n+2
由于
b
1
是确定的正整数，这样下去，必然存在某项
b
k
?0
，这与
b
k
?0
矛盾，从而
?
a
n
?
中必有零项．
……………………………………………………… .……
10分
若第一次出现的零项为
a
n
，记
a
n?1
?M ( M?0)
，则自第
n
项开始，每三个相邻的
?
a
n?3k< br>?0
?
项周期地取值
0,M,M
，即
?
a
n ?3k?1
?M
，
k?0,1,2...

?
a
?
n?3k?2
?M
所以数列
?
a
n
?
中一 定可以选取无穷多项组成两个不同的常数数列.
……
12分
17． 设定义在[0，2]上的函数
f(x)
满足下列条件：
①对于
x?[0,2 ]
，总有
f(2?x)?f(x)
，且
f(x)?1
，
f( 1)?3
；
②对于
x,y?[1,2]
，若
x?y?3
， 则
f(x)?f(y)?f(x?y?2)?1
．
证明：（1）
f(
12
)??1
（
n?N
*
）；（2）
x?[1,2]时，
1?f(x)?13?6x
．
nn
33
证明：由
f(2?x)?f(x)
知，函数
f(x)
图像关于直线
x?1
对称 ，则根据②可知：对
于
x,y?[0,1]
，若
x?y?1
，则f(x?y)?f(x)?f(y)?1
．
……………
2分
设
x
1
,x
2
?[0,1]
，且
x
1
?x< br>2
，则
x
2
?x
1
?[0,1]
．
∵
f(x
2
)?f(x
1
)?f[x
1
?(x< br>2
?x
1
)]?f(x
1
)?f(x
1
)? f(x
2
?x
1
)?1?f(x
1
)

?f(x
2
?x
1
)?1?0
,
∴
f( x)
在[0，1]上是不减函数．
………………………………………………
4分
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（1）∵
f(
111 11111
)?f(??)?f(?)?f()?1?3f()?2
,
3
n ?1
3
n
3
n
3
n
3
n
3
n
3
n
3
n
∴
f(
1
3
n?1
2
)?f()??f()???...?f()??...?

3
3
n?1
3
3
2
3
n?2
3
3
n< br>3
2
3
3
n
3
n?n
3
n
??1?
12
??1
．
…………………………………………………………8分
nn
33
11
?x?
.
3
n
3
n?1
（2）对于任意
x?(0,1]
，则必存在正整数
n
，使得
因为
f(x)
在（0，1）上是不减函数，所以
f(
11< br>)?f(x)?f()
，
nn?1
33
由（1）知
f(121
)??1?6?1?6x?1
.
n?1n?1n
333
由①可得
f(2)?1
，在②中，令
x?y?2
，得
f(2)?1
，∴
f(2)?1
．
而
f(2)?f(0)
，∴
f(0)?1
，又
f(
11
)?f(0)f()?1
， ，∴
3
n
3
n
∴
x?[0,1]
时，
1?f(x)? 6x?1
．.
………………………………………
12分
2?x?[0,1]
，∵
x?[1,2]
时，且
f(x)?f(2?x)
，∴
1 ?f(2?x)?6(2?x)?1?13?6x
，
因此，
x?[1,2]
时，
1?f(x)?13?6x
．
…………………….………….14分



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