2011年浙江省高中数学竞赛试题及参考答案

2011年浙江省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个 正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括号里，
多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 已知
?
?[
5
?
3
?
,]
，则
1?sin2
?
?1?sin2
?
可化简为（ ）
42
A．
2sin
?
B.
?2sin
?
C.
?2cos
?
D.
2cos
?

2．如果复数
?
a?2i
??
1?i
?
的模为4，则实数a的值为（ ）
A. 2 B.
22
C.
?2
D.
?22

3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：
x?A?B
， 命题q：
x?A
或
x?B
，则p是q的（ ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件
x
2
?y
2
?1
的右焦点F
2
作倾斜角为
45
?
弦AB，则
AB
为（ ） 4. 过椭圆
2
A.
26464243
B. C. D.
3333
?
1?5
?x
5. 函数
f(x)?
?
x
?
5?1
x?0
x?0
，则该函 数为（ ）
A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）
2
2
2
2
2
2
3
1

1

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）
A. 4+
5
?
3
?
?
B. 4+ C. 4+ D. 4+
?

22
2
7．某程序框图如右图所示，现将输出（
x,y)
值依次记为：
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),?,(x
n
,y
n
),?;
若程序运行
中输出的一个数组是
(x,?10),
则数组中的
x?
（ ）

1

A．64 B．32 C．16 D．8
8. 在平面区域
(x,y)|x|?1,|y|?1
上恒有
ax? 2by?2
，则动点
P(a,b)
所形
成平面区域的面积为（ ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
9. 已知函数
f(x)?sin(2x?
为（ ）
A.
?
, 1
?
B
?
, 1
?
C.
?
, 1
?
D.
?
, 1
?

?
2
?
?
2
??
2
??
2
?
10. 已知
a?[?1,1]
，则
x
2
?(a?4)x?4?2a?0
的解为（ ）
A.
x?3
或
x?2
B.
x?2
或
x?1
C.
x?3
或
x?1
D.
1?x?3

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，
共49分）
11. 函数
f(x)?2sin
??
?
?
?
?< br>)?m
在
?
0,
?
上有两个零点，则m的取值范围
6
?
2
?
?
1
?
?
1
??
1
??
1
?
x
?3cosx
的最小正周期为_______ ___。
2
12. 已知等差数列
?
a
n
?
前1 5项的和
S
15
=30，则
a
1
?a
8
? a
15
=__________.
??
?
?
13. 向量
a?(1,sin
?
)
，
b?(cos
?
,3)< br>，
?
?R
，则
a?b
的取值范围为 。
14. 直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
，底面
? ABC
是正三角形，P，E分别为
BB
1
，
CC
1
上的动点（含端点）,D
为BC边上的中点，且
PD?PE
。则直线
AP,P E
的夹角为__。
15．设
x,y
为实数，则
22
max (x?y)?
____________。
22
5x?4y?10x
16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_________种。（用组合 数符
号表示）
17. 设
x,y,z
为整数，且
x?y?z?3, x
3
?y
3
?z
3
?3
，则
x
2
?y
2
?z
2
?
__。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分）
18. 设
a?2
，求
y?(x?2)x
在
[a, 2]
上的最大值和最小值。



2

2
x
n?1
y
n?1
19. 给定两个数列
?
x
n
?
，
?
y
n
?
满 足
x
0
?y
0
?1
，
x
n
? (n?1)
，
y
n
? (n?1)
。
2?x
n?1
1?2y
n?1
证明对于任意的自然数n，都存在自然数
j
n
，使得
y
n
?x
j
n
。











x
2
y
2
20. 已知椭圆
2
?
2
?1
，过其左焦点
F
1
作一条直线交椭圆于A，B两点，D
(a, 0)
为
F
1
右侧一点，连
54
AD、BD分别交椭圆左准线 于M,N。若以MN为直径的圆恰好过
F
1
，求 a的值。

















3

2011年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分标准
1．解答：因为
?
?[
5
?
3
?
,]
，所以
1?sin2
?
?1?sin2
?
=
cos
?
?sin
?
?cos
?
?sin
?

42
s
。正确答案为D。
?2co
?
2．解答：由题 意得
2?a
2
?4?4?a??2
。正确答案为C。
3．解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。
4. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为
y?x?1,
代入椭圆方程得
3x< br>2
?4x?0?x
1
?0,x
2
?
442
。 正确答案为C。
?AB?2(x
1
?x
2
)
2
?
33
5. 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。
6. 解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（
为
2?2 ?1?3
?
?
?
），所以该几何体的体积
2
?
2< br>7. 答案 经计算
x?32
。正确答案为 B。
?4?
5
?
。正确答案为A。
2
8. 解答：平面区域< br>(x,y)|x|?1,|y|?1
的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1） ，（1，1）
满足
ax?2by?2
，即有
a?2b?2,a?2b?2,? a?2b?2,?a?2b?2
,由此计算动点
P(a,b)
所形成
平面区域 的面积为4。正确答案为 A。
9. 解答：问题等价于函数
f(x)?sin(2x???
?
?
?
?
)
与直线
y?m
在?
0,
?
上有两个交点，所以m的取值范
6
?
2
?
围为
?
, 1
?
。正确答案为C。
10. 解答： 不等式的左端看成
a
的一次函数，
f(a)?(x?2)a?(x?4x?4)

由
f(?1)?x?5x?6?0,f(1)?x?3x?2?0?x?1
或x?3
。正确答案为C。
11. 解答：最小正周期为4
?
。
12.解答：由
S
15
?30?a
1
?7d?2
，而a
1
?a
8
?a
15
?3(a
1
?7 d)?6
。
22
2
?
1
?
2
?
?
??
?
22
13. 解答：
a?b?(1?cos
?)?(sin
?
?3)?5?2(cos
?
?3sin
?
)
=
5?4sin(?
?
)
，
6
其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。

4

14. 解答：因为平面ABC⊥平面
BCC
1
B
1
，AD⊥BC，所以AD⊥平面
BCC
1
B
1
，所以AD⊥ PE，又PE⊥PD，
PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为
90
。
15. 解答：
5x
2
?4y
2
?10x?4y
2
?10x?5x
2
?0?0?x?2

?
4(x
2
?y
2
)?10x?x
2
?25?(5?x)
2
? 25?3
2
?x
2
?y
2
?4

300
16. 解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有
C
1710
种关灯方法。
17. 解答：将
z?3?x?y
代入x
3
?y
3
?z
3
?3
得到
xy?3 (x?y)?9?
8
，因为
x,y
都是整数，
x?y
所以< br>?
4
?
x?y?2
?
x?y8?
?
x?y? 1
?
x?y?
前
,
?
,
?
,
?< br>,
两个方程组无解；后两个方程组解得
?5y1y16
?
xy?2?
xy
?
x?
?
x?
x?y?z?1;x?y?4,z ??5
。所以
x
2
?y
2
?z
2
?
3或57。
18. 解答：当
x?0,y??(x?1)
2
?1,
当
x?0,y?(x?1)
2
?1,

由此可知
y
max
?0
。
当
1?a?2,y
min
?a
2
?2a
；当
1?2?a?1,y
min
??1
；
当
a?1?2,y
min
??a
2
?2a
。
19. 解答：由已知得到：
12111
?1???1?2(1?)?{?1}
为等比数列，首项为2，公比
x
n
x
n?1
x
n
x
n?1
x
n
为2， 所以
11
。
?1?2
n?1
?x
n
?
n?1
x
n2?1
(y
n?1
?1)
2
y?1y
n?1
? 1
2
11
2
又由已知，
y
n
?1??
n< br>?()?1??(1?)

1?2y
n?1
y
n
y< br>n?1
y
n
y
n?1
n
111
n
2
由
1?
， 所以取
j
n
?2?1
即可。
?2?1??2?y
n
?
n
y
0
y
n2
2?1
25
20. 解答：
F
1
(?3,0),左准 线方程为x??;AB方程为
y?k(x?3)(k为斜率)
。
3

5

?
y?k(x?3)
?
2
设
A (x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)，由
?
x
2

?(16?2k5x
2
)?1 k5
2
0x?
y
2
?1
?
?
?
2 516
设
M(?
2k
2
2?5
得
4?0

00
2525
(3a?25)y
1
(3a?25)y
2,y
3
),N(?,y
4
)
。由M、A、D共线
y3
?
。
,同理y
4
?
33
3(a?x
1
)3(a?x
2
)
???????????????????????? ??????
1616
又
F
1
M?(?,y
3
), F
1
N?(?,y
4
),由已知得F
1
M?F
1< br>N?F
1
M?F
1
N?0
，
33
256< br>256k
2
（3a?25)
2
y
1
y
2256（3a?25)
2
?,
整理得
?
得
y
3
y
4
??
=
,而y
3
y
4
? ，即
?
9
16?25k
2
9(a?x
1
)(a?x
2
)99(a?x
1
)(a?x
2
)
(1?k2
)(16a
2
?400)?0?a??5,又a??3,所以a?5
。


6